2015年重庆市高考数学试卷（文科）.doc

第 1 页（共 21 页）2015 年重庆市高考数学试卷（文科）年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=1，3，则 AB=（ ）A2 B1，2 C1，3 D1，2，32 （5 分） “x=1”是“x22x+1=0”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件3 （5 分）函数 f（x）=log2（x2+2x3）的定义域是（ ）A3，1 B （3，1）C （，31，+）D （，3）（1，+）4 （5 分）重庆市 2013 年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）A19B20C21.5D235 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD6 （5 分）若 tan=，tan（+）=，则 tan=（ ）ABCD第 2 页（共 21 页）7 （5 分）已知非零向量满足|=4|，且（）则的夹角为（ ）ABCD8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）ABCD9 （5 分）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 做 A1A2的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A±B±C±1 D±10 （5 分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则 m 的值为（ ）A3B1CD3二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.把答案填写在答题卡相把答案填写在答题卡相第 3 页（共 21 页）应位置上应位置上.11 （5 分）复数（1+2i）i 的实部为 12 （5 分）若点 P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 13 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a=2，cosC=，3sinA=2sinB，则 c= 14 （5 分）设 a，b0，a+b=5，则+的最大值为 15 （5 分）在区间0，5上随机地选择一个数 p，则方程 x2+2px+3p2=0 有两个负根的概率为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤16 （12 分）已知等差数列an满足 a3=2，前 3 项和 S3=（）求an的通项公式；（）设等比数列bn满足 b1=a1，b4=a15，求bn前 n 项和 Tn17 （13 分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号 t12345储蓄存款 y（千亿元）567810（）求 y 关于 t 的回归方程 = t+ （）用所求回归方程预测该地区 2015 年（t=6）的人民币储蓄存款附：回归方程 = t+ 中第 4 页（共 21 页）18 （13 分）已知函数 f（x）=sin2xcos2x（）求 f（x）的最小周期和最小值；（）将函数 f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象当 x时，求 g（x）的值域19 （12 分）已知函数 f（x）=ax3+x2（aR）在 x=处取得极值（）确定 a 的值；（）若 g（x）=f（x）ex，讨论 g（x）的单调性20 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABC=，点D、E 在线段 AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且EFBC（）证明：AB平面 PFE（）若四棱锥 PDFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长21 （13 分）如题图，椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，且过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1（）若|PF1|=2+，|PF2|=2，求椭圆的标准方程（）若|PQ|=|PF1|，且，试确定椭圆离心率 e 的取值范围第 5 页（共 21 页）第 6 页（共 21 页）2015 年重庆市高考数学试卷（文科）年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 A=1，2，3，B=1，3，则 AB=（ ）A2 B1，2 C1，3 D1，2，3【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可【解答】解：集合 A=1，2，3，B=1，3，则 AB=1，3故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力2 （5 分） “x=1”是“x22x+1=0”的（ ）A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】先求出方程 x22x+1=0 的解，再和 x=1 比较，从而得到答案【解答】解：由 x22x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x22x+1=0”的充要条件，故选：A【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题3 （5 分）函数 f（x）=log2（x2+2x3）的定义域是（ ）A3，1 B （3，1）C （，31，+）D （，3）（1，+）【分析】利用对数函数的真数大于 0 求得函数定义域【解答】解：由题意得：x2+2x30，即（x1） （x+3）0解得 x1 或 x3第 7 页（共 21 页）所以定义域为（，3）（1，+）故选：D【点评】本题主要考查函数的定义域的求法属简单题型高考常考题型4 （5 分）重庆市 2013 年各月的平均气温（）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）A19B20C21.5D23【分析】根据中位数的定义进行求解即可【解答】解：样本数据有 12 个，位于中间的两个数为 20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键比较基础5 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【分析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为 1，高为 2，左侧与一个底面半径为 1，高为 1 的半圆锥组成的组合体，几何体的体积为：=第 8 页（共 21 页）故选：B【点评】本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力6 （5 分）若 tan=，tan（+）=，则 tan=（ ）ABCD【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得 tan=tan（+）的值【解答】解：tan=，tan（+）=，则 tan=tan（+）=，故选：A【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题7 （5 分）已知非零向量满足|=4|，且（）则的夹角为（ ）ABCD【分析】由已知向量垂直得到数量积为 0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值【解答】解：由已知非零向量满足|=4|，且（） ，设两个非零向量的夹角为 ，所以（）=0，即 2=0，所以 cos=，0，所以；故选：C【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键第 9 页（共 21 页）8 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）ABCD【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k，s 的值，当 k=8 时不满足条件 k8，退出循环，输出 s 的值为【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件 k8，k=2，s=满足条件 k8，k=4，s=+满足条件 k8，k=6，s=+满足条件 k8，k=8，s=+=不满足条件 k8，退出循环，输出 s 的值为故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题9 （5 分）设双曲线=1（a0，b0）的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 做 A1A2的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1BA2C，则该双第 10 页（共 21 页）曲线的渐近线的斜率为（ ）A±B±C±1 D±【分析】求得 A1（a，0） ，A2（a，0） ，B（c，） ，C（c，） ，利用A1BA2C，可得，求出 a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率【解答】解：由题意，A1（a，0） ，A2（a，0） ，B（c，） ，C（c，） ，A1BA2C，a=b，双曲线的渐近线的斜率为±1故选：C【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础10 （5 分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则 m 的值为（ ）A3B1CD3【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即 A（2，0） ，则 A（2，0）在直线 xy+2m=0 的下方，第 11 页（共 21 页）即 2+2m0，则 m1，则 A（2，0） ，D（2m，0） ，由，解得，即 B（1m，1+m） ，由，解得，即 C（，） 则三角形 ABC 的面积 SABC=SADBSADC =|AD|yByC|=（2+2m） （1+m）=（1+m） （1+m）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得 m=1 或 m=3（舍） ，故选：B【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.把答案填写在答题卡相把答案填写在答题卡相第 12 页（共 21 页）应位置上应位置上.11 （5 分）复数（1+2i）i 的实部为 2 【分析】利用复数的运算法则化简为 a+bi 的形式，然后找出实部；注意 i2=1【解答】解：（1+2i）i=i+2i2=2+i，所以此复数的实部为2；故答案为：2【点评】本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意 i2=1属于基础题12 （5 分）若点 P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 x+2y5=0 【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点 P 处的切线的方程【解答】解：由题意可得 OP 和切线垂直，故切线的斜率为=，故切线的方程为 y2=（x1） ，即 x+2y5=0，故答案为：x+2y5=0【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题13 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a=2，cosC=，3sinA=2sinB，则 c= 4 【分析】由 3sinA=2sinB 即正弦定理可得 3a=2b，由 a=2，即可求得 b，利用余弦定理结合已知即可得解【解答】解：3sinA=2sinB，由正弦定理可得：3a=2b，a=2，可解得 b=3，第 13 页（共 21 页）又cosC=，由余弦定理可得：c2=a2+b22abcosC=4+92×=16，解得：c=4故答案为：4【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题14 （5 分）设 a，b0，a+b=5，则+的最大值为 3 【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值【解答】解：由题意， （）2（1+1） （a+1+b+3）=18，的最大值为 3，故答案为：3【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键15 （5 分）在区间0，5上随机地选择一个数 p，则方程 x2+2px+3p2=0 有两个负根的概率为 【分析】由一元二次方程根的分布可得 p 的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率【解答】解：方程 x2+2px+3p2=0 有两个负根等价于，解关于 p 的不等式组可得p1 或 p2，所求概率 P=故答案为：【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题第 14 页（共 21 页）三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤16 （12 分）已知等差数列an满足 a3=2，前 3 项和 S3=（）求an的通项公式；（）设等比数列bn满足 b1=a1，b4=a15，求bn前 n 项和 Tn【分析】 （）设等差数列an的公差为 d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前 n 项和公式求得bn前 n 项和 Tn【解答】解：（）设等差数列an的公差为 d，则由已知条件得：，解得代入等差数列的通项公式得：；（）由（）得，设bn的公比为 q，则，从而 q=2，故bn的前 n 项和【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前 n 项和，是中档题17 （13 分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号 t12345储蓄存款 y（千亿元）567810第 15 页（共 21 页）（）求 y 关于 t 的回归方程 = t+ （）用所求回归方程预测该地区 2015 年（t=6）的人民币储蓄存款附：回归方程 = t+ 中【分析】 （）利用公式求出 a，b，即可求 y 关于 t 的回归方程 = t+ （）t=6，代入回归方程，即可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款【解答】解：（）由题意， =3， =7.2，=555×32=10，=1205×3×7.2=12， =1.2， =7.21.2×3=3.6，y 关于 t 的回归方程 =1.2t+3.6（）t=6 时， =1.2×6+3.6=10.8（千亿元） 【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题18 （13 分）已知函数 f（x）=sin2xcos2x（）求 f（x）的最小周期和最小值；第 16 页（共 21 页）（）将函数 f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象当 x时，求 g（x）的值域【分析】 （）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f（x）=sin（2x），从而可求最小周期和最小值；（）由函数 y=Asin（x+）的图象变换可得 g（x）=sin（x），由 x，时，可得 x的范围，即可求得 g（x）的值域【解答】解：（）f（x）=sin2xcos2x=sin2x（1+cos2x）=sin（2x），f（x）的最小周期 T=，最小值为：1=（）由条件可知：g（x）=sin（x）当 x，时，有 x，从而 sin（x）的值域为，1，那么 sin（x）的值域为：，故 g（x）在区间，上的值域是，【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数 y=Asin（x+）的图象变换，属于基本知识的考查19 （12 分）已知函数 f（x）=ax3+x2（aR）在 x=处取得极值（）确定 a 的值；（）若 g（x）=f（x）ex，讨论 g（x）的单调性【分析】 （）求导数，利用 f（x）=ax3+x2（aR）在 x=处取得极值，可得f（）=0，即可确定 a 的值；（）由（）得 g（x）=（x3+x2）ex，利用导数的正负可得 g（x）的单调性【解答】解：（）对 f（x）求导得 f（x）=3ax2+2x第 17 页（共 21 页）f（x）=ax3+x2（aR）在 x=处取得极值，f（）=0，3a+2（）=0，a=；（）由（）得 g（x）=（x3+x2）ex，g（x）=（x2+2x）ex+（x3+x2）ex=x（x+1） （x+4）ex，令 g（x）=0，解得 x=0，x=1 或 x=4，当 x4 时，g（x）0，故 g（x）为减函数；当4x1 时，g（x）0，故 g（x）为增函数；当1x0 时，g（x）0，故 g（x）为减函数；当 x0 时，g（x）0，故 g（x）为增函数；综上知 g（x）在（，4）和（1，0）内为减函数，在（4，1）和（0，+）内为增函数【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题20 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABC=，点D、E 在线段 AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且EFBC（）证明：AB平面 PFE（）若四棱锥 PDFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长第 18 页（共 21 页）【分析】 （）由等腰三角形的性质可证 PEAC，可证 PEAB又 EFBC，可证 ABEF，从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE，EF 都垂直，可证 AB平面 PEF（）设 BC=x，可求 AB，SABC，由 EFBC 可得AFEABC，求得 SAFE=SABC，由 AD=AE，可求 SAFD，从而求得四边形 DFBC 的面积，由（）知 PE 为四棱锥 PDFBC 的高，求得 PE，由体积 VPDFBC=SDFBCPE=7，即可解得线段 BC 的长【解答】解：（）如图，由 DE=EC，PD=PC 知，E 为等腰PDC 中 DC 边的中点，故 PEAC，又平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC=AC，PE平面 PAC，PEAC，所以 PE平面 ABC，从而 PEAB因为ABC=，EFBC，故 ABEF，从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE，EF 都垂直，所以 AB平面 PEF（）设 BC=x，则在直角ABC 中，AB=，从而 SABC=ABBC=x，由 EFBC 知，得AFEABC，故=（）2=，即 SAFE=SABC，由 AD=AE，SAFD=SABC=SABC=x，从而四边形 DFBC 的面积为：SDFBC=SABCSAFD=xx=x第 19 页（共 21 页）由（）知，PE平面 ABC，所以 PE 为四棱锥 PDFBC 的高在直角PEC 中，PE=2，故体积 VPDFBC=SDFBCPE=x=7，故得 x436x2+243=0，解得 x2=9 或 x2=27，由于 x0，可得 x=3 或 x=3所以：BC=3 或 BC=3【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题21 （13 分）如题图，椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，且过 F2的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1（）若|PF1|=2+，|PF2|=2，求椭圆的标准方程（）若|PQ|=|PF1|，且，试确定椭圆离心率 e 的取值范围【分析】 （I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|，解得 a设椭圆的半焦距为c，由于 PQPF1，利用勾股定理可得 2c=|F1F2|=，解得c利用 b2=a2c2即可得出椭圆的标准方程第 20 页（共 21 页）（II）如图所示，由 PQPF1，|PQ|=|PF1|，可得|QF1|=，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，解得|PF1|=|PF2|=2a|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，代入化简令 t=1+，则上式化为 e2=，解出即可【解答】解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+）+（2）=4，解得 a=2设椭圆的半焦距为 c，PQPF1，2c=|F1F2|=2，c=b2=a2c2=1椭圆的标准方程为（II）如图所示，由 PQPF1，|PQ|=|PF1|，|QF1|=，由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，|PF1|=4a，解得|PF1|=|PF2|=2a|PF1|=，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=，+=4c2，+=e2第 21 页（共 21 页）令 t=1+，则上式化为=，t=1+，且，t 关于 单调递增，3t4，解得椭圆离心率的取值范围是【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题