2015年天津市高考数学试卷（理科）.doc

第 1 页（共 25 页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科）一一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 AUB=（ ）A2，5 B3，6 C2，5，6D2，3，5，6，82 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+6y 的最大值为（ ）A3B4C18D403 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A10 B6C14D184 （5 分）设 xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 （5 分）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，则线段 NE 的长为（ ）第 2 页（共 25 页）AB3CD6 （5 分）已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A=1B=1C=1D=17 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53） ，b=f（log25） ，c=f（2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Ccab Dcba8 （5 分）已知函数 f（x）=，函数 g（x）=bf（2x） ，其中bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）A （，+） B （，）C （0，）D （，2）二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9 （5 分）i 是虚数单位，若复数（12i） （a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为 10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m3第 3 页（共 25 页）11 （5 分）曲线 y=x2与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 12 （5 分）在（x）6的展开式中，x2的系数为 13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC的面积为 3，bc=2，cosA=，则 a 的值为 14 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且=，=，则的最小值为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15 （13 分）已知函数 f（x）=sin2xsin2（x） ，xR（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间，内的最大值和最小值16 （13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17 （13 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点 M 和 N 分别为 B1C 和第 4 页（共 25 页）D1D 的中点（）求证：MN平面 ABCD（）求二面角 D1ACB1的正弦值；（）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为，求线段 A1E 的长18 （13 分）已知数列an满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a1=1，a2=2，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求 q 的值和an的通项公式；（2）设 bn=，nN*，求数列bn的前 n 项和19 （14 分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F（c，0） ，离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c，|FM|=（）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围20 （14 分）已知函数 f（x）=nxxn，xR，其中 nN，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（x） ，求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x） ；第 5 页（共 25 页）（）若关于 x 的方程 f（x）=a（a 为实数）有两个正实数根 x1，x2，求证：|x2x1|+2第 6 页（共 25 页）2015 年天津市高考数学试卷（理科）年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，则集合 AUB=（ ）A2，5 B3，6 C2，5，6D2，3，5，6，8【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合 A=2，3，5，6，集合 B=1，3，4，6，7，UB=2，5，8，则 AUB=2，5故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z=x+6y 的最大值为（ ）A3B4C18D40【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+6y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时，直线 y=x+z 的截距最大，此时 z 最大第 7 页（共 25 页）由，解得，即 A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 z=x+6y，得 z=3×6=18即 z=x+6y 的最大值为 18故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A10 B6C14D18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S 的值，当 i=8 时满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6第 8 页（共 25 页）【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件 i5，i=4，S=14不满足条件 i5，i=8，S=6满足条件 i5，退出循环，输出 S 的值为 6故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 i，S的值是解题的关键，属于基础题4 （5 分）设 xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“|x2|1”得 1x3，由 x2+x20 得 x1 或 x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5 （5 分）如图，在圆 O 中，M、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD，CE 分别经过点 M，N，若 CM=2，MD=4，CN=3，则线段 NE 的长为（ ）AB3CD【分析】由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求 NE 即可第 9 页（共 25 页）【解答】解：由相交弦定理可得 CMMD=AMMB，2×4=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又 CNNE=ANNB，3×NE=4×2，NE=故选：A【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础6 （5 分）已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A=1B=1C=1D=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得 a、b 的另一个方程，求出 a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意，=，抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4x 的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，第 10 页（共 25 页）双曲线的方程为故选：B【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题7 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）=2|xm|1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53） ，b=f（log25） ，c=f（2m） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bacb Ccab Dcba【分析】根据 f（x）为偶函数便可求出 m=0，从而 f（x）=2|x|1，这样便知道f（x）在0，+）上单调递增，根据 f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间0，+）上：a=f（|log0.53|） ，b=f（log25） ，c=f（0） ，然后再比较自变量的值，根据 f（x）在0，+）上的单调性即可比较出 a，b，c 的大小【解答】解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x） ；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且 a=f（|log0.53|）=f（log23） ，b=f（log25） ，c=f（0） ；0log23log25；cab第 11 页（共 25 页）故选：C【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用8 （5 分）已知函数 f（x）=，函数 g（x）=bf（2x） ，其中bR，若函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ）A （，+） B （，）C （0，）D （，2）【分析】求出函数 y=f（x）g（x）的表达式，构造函数 h（x）=f（x）+f（2x） ，作出函数 h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）=bf（2x） ，y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x） ，由 f（x）b+f（2x）=0，得 f（x）+f（2x）=b，设 h（x）=f（x）+f（2x） ，若 x0，则x0，2x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若 0x2，则2x0，02x2，则 h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若 x2，x2，2x0，则 h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即 h（x）=，作出函数 h（x）的图象如图：第 12 页（共 25 页）当 x0 时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+，当 x2 时，h（x）=x25x+8=（x）2+，故当 b=时，h（x）=b，有两个交点，当 b=2 时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）g（x）恰有 4 个零点，即 h（x）=b 恰有 4 个根，则满足b2，故选：D【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键二二.填空题（每小题填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9 （5 分）i 是虚数单位，若复数（12i） （a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为 2 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值【解答】解：由（12i） （a+i）=（a+2）+（12a）i 为纯虚数，得，解得：a=2故答案为：2第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题10 （5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为 m3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为 1，高为 2，圆锥底面圆的半径为 1，高为 1；该几何体的体积为V几何体=2×12×1+122=故答案为：【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目11 （5 分）曲线 y=x2与 y=x 所围成的封闭图形的面积为 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可第 14 页（共 25 页）【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0直线 y=x 与曲线 y=x2所围图形的面积 S=01（xx2）dx而01（xx2）dx=（）|01=曲边梯形的面积是故答案为：【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数12 （5 分）在（x）6的展开式中，x2的系数为 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数【解答】解：（x）6的展开式的通项公式为 Tr+1=（x）6r（）r=（）rx62r，令 62r=2，解得 r=2，展开式中 x2的系数为×=，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题13 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC第 15 页（共 25 页）的面积为 3，bc=2，cosA=，则 a 的值为 8 【分析】由 cosA=，A（0，） ，可得 sinA=利用 SABC=，化为 bc=24，又 bc=2，解得 b，c由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA 即可得出【解答】解：A（0，） ，sinA=SABC=bc=，化为 bc=24，又 bc=2，解得 b=6，c=4由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=36+1648×=64解得 a=8故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （5 分）在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60°动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且=，=，则的最小值为 【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于 的代数式，根据具体的形式求最值【解答】解：由题意，得到 AD=BC=CD=1，所以=（）（）=（）（）=2×1×cos60°+1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1+=（当且仅当时等号成立） ；故答案为：第 16 页（共 25 页）【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分）15 （13 分）已知函数 f（x）=sin2xsin2（x） ，xR（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间，内的最大值和最小值【分析】 （）由三角函数公式化简可得 f（x）=sin（2x） ，由周期公式可得；（）由 x，结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值【解答】解：（）化简可得 f（x）=sin2xsin2（x）=（1cos2x）1cos（2x）=（1cos2x1+cos2x+sin2x）=（cos2x+sin2x）=sin（2x）f（x）的最小正周期 T=；（）x，2x，sin（2x）1，sin（2x），f（x）在区间，内的最大值和最小值分别为，【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题16 （13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛第 17 页（共 25 页）（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 （）利用组合知识求出基本事件总数及事件 A 发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有 P（A）=，事件 A 发生的概率为；（）随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4P（X=k）=（k=1，2，3，4） 随机变量 X 的分布列为：X1234P随机变量 X 的数学期望 E（X）=【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题17 （13 分）如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点 M 和 N 分别为 B1C 和D1D 的中点（）求证：MN平面 ABCD第 18 页（共 25 页）（）求二面角 D1ACB1的正弦值；（）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为，求线段 A1E 的长【分析】 （）以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建系，通过平面 ABCD 的一个法向量与的数量积为 0，即得结论；（）通过计算平面 ACD1的法向量与平面 ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（）通过设=，利用平面 ABCD 的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可【解答】 （）证明：如图，以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA1所在直线分别为 x、y、z 轴建系，则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C（2，0，0） ，D（1，2，0） ，A1（0，0，2） ，B1（0，1，2） ，C1（2，0，2） ，D1（1，2，2） ，又M、N 分别为 B1C、D1D 的中点，M（1，1） ，N（1，2，1） 由题可知： =（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，=（0，0） ， =0，MN平面 ABCD，MN平面 ABCD；（）解：由（I）可知：=（1，2，2） ，=（2，0，0） ，=（0，1，2） ，设 =（x，y，z）是平面 ACD1的法向量，第 19 页（共 25 页）由，得，取 z=1，得 =（0，1，1） ，设 =（x，y，z）是平面 ACB1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（0，2，1） ，cos ， =，sin ， =，二面角 D1ACB1的正弦值为；（）解：由题意可设=，其中 0，1，E=（0，2） ，=（1，+2，1） ，又 =（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量，cos， =，整理，得 2+43=0，解得 =2 或2（舍） ，线段 A1E 的长为2【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算第 20 页（共 25 页）能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题18 （13 分）已知数列an满足 an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a1=1，a2=2，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求 q 的值和an的通项公式；（2）设 bn=，nN*，求数列bn的前 n 项和【分析】 （1）通过 an+2=qan、a1、a2，可得 a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知 bn=，nN*，写出数列bn的前 n 项和 Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可【解答】解：（1）an+2=qan（q 为实数，且 q1） ，nN*，a1=1，a2=2，a3=q，a5=q2，a4=2q，又a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，2×3q=2+3q+q2，即 q23q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍） ，an=；（2）由（1）知 bn=，nN*，记数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn=1+2+3+4+（n1）+n，2Tn=2+2+3+4+5+（n1）+n，两式相减，得 Tn=3+n第 21 页（共 25 页）=3+n=3+1n=4【点评】本题考查求数列的通项与前 n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题19 （14 分）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F（c，0） ，离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c，|FM|=（）求直线 FM 的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围【分析】 （）通过离心率为，计算可得 a2=3c2、b2=2c2，设直线 FM 的方程为 y=k（x+c） ，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（）通过联立椭圆与直线 FM 的方程，可得 M（c，c） ，利用|FM|=计算即可；（）设动点 P 的坐标为（x，y） ，分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分x（，1）与 x（1，0）两种情况讨论即可得到结论【解答】解：（）离心率为，=，2a2=3b2，a2=3c2，b2=2c2，设直线 FM 的斜率为 k（k0） ，则直线 FM 的方程为 y=k（x+c） ，第 22 页（共 25 页）直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c，圆心（0，0）到直线 FM 的距离 d=，d2+=，即（）2+=，解得 k=，即直线 FM 的斜率为；（）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线 FM 的方程为 y=（x+c） ，联立两个方程，消去 y，整理得 3x2+2cx5c2=0，解得 x=c，或 x=c，点 M 在第一象限，M（c，c） ，|FM|=，=，解得 c=1，a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（）设动点 P 的坐标为（x，y） ，直线 FP 的斜率为 t，F（1，0） ，t=，即 y=t（x+1） （x1） ，联立方程组，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（x+1）2=6，又直线 FP 的斜率大于，62x26（x+1）2，整理得：x（2x+3）0 且 x1，解得x1，或1x0，设直线 OP 的斜率为 m，得 m=，即 y=mx（x0） ，第 23 页（共 25 页）联立方程组，消去 y 并整理，得 m2=当 x（，1）时，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m=，m（，） ；当 x（1，0）时，有 y=t（x+1）0，因此 m0，m=，m（，） ；综上所述，直线 OP 的斜率的取值范围是：（，）（，） 【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题20 （14 分）已知函数 f（x）=nxxn，xR，其中 nN，且 n2（）讨论 f（x）的单调性；（）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（x） ，求证：对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x） ；（）若关于 x 的方程 f（x）=a（a 为实数）有两个正实数根 x1，x2，求证：|x2x1|+2【分析】 （）由 f（x）=nxxn，可得 f（x） ，分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性（）设点 P 的坐标为（x0，0） ，则可求 x0=n，f（x0）=nn2，可求 g（x）=f（x0） （xx0） ，F（x）=f（x）f（x0） 由 f（x）=nxn1+n 在（0，+）上单调递减，可求 F（x）在（0，x0）内单调递增，在（x0，+）上单调递减，即可得证第 24 页（共 25 页）（）设 x1x2，设方程 g（x）=a 的根为，由（）可得 x2设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为 y=h（x） ，可得 h（x）=nx，设方程 h（x）=a 的根为，可得x1，从而可得：x2x1=，由 n2，即2n1=（1+1）n11+=1+n1=n，推得：2=x0，即可得证【解答】 （本题满分为 14 分）解：（）由 f（x）=nxxn，可得 f（x）=nnxn1=n（1xn1） ，其中 nN，且n2下面分两种情况讨论：（1）当 n 为奇数时，令 f（x）=0，解得 x=1，或 x=1，当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表：x（，1） （1，1）（1，+）f（x）+f（x）所以，f（x）在 （，1） ， （1，+）上单调递减，在（1，1）单调递增（2）当 n 为偶数时，当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调递增；当 f（x）0，即 x1 时，函数 f（x）单调递减；所以，f（x）在（，1）单调递增，在（1，+）上单调递减；（）证明：设点 P 的坐标为（x0，0） ，则 x0=n，f（x0）=nn2，曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程为 y=f（x0） （xx0） ，即 g（x）=f（x0） （xx0） ，令 F（x）=f（x）g（x） ，即 F（x）=f（x）f（x0） （xx0） ，则 F（x）=f（x）f（x0） 由于 f（x）=nxn1+n 在（0，+）上单调递减，故 F（x）在（0，+）上单调第 25 页（共 25 页）递减，又因为 F（x0）=0，所以当 x（0，x0）时，F（x）0，当 x（x0，+）时，F（x）0，所以 F（x）在（0，x0）内单调递增，在（x0，+）上单调递减，所以对应任意的正实数 x，都有 F（x）F（x0）=0，即对于任意的正实数 x，都有 f（x）g（x） （）证明：不妨设 x1x2，由（）知 g（x）=（nn2） （xx0） ，设方程 g（x）=a 的根为，可得=，由（）知 g（x2）f（x2）=a=g（） ，可得 x2类似地，设曲线 y=f（x）在原点处的切线方程为 y=h（x） ，可得 h（x）=nx，当 x（0，+） ，f（x）h（x）=xn0，即对于任意的 x（0，+） ，f（x）h（x） ，设方程 h（x）=a 的根为，可得=，因为 h（x）=nx 在（，+）上单调递增，且 h（）=a=f（x1）h（x1） ，因此x1，由此可得：x2x1=，因为 n2，所以 2n1=（1+1）n11+=1+n1=n，故：2=x0所以：|x2x1|+2【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力