线性方程组矩阵及n维向量的关系分析.docx

浅谈线性代数中矩阵、线性方程组及向量组的联系，摘要：线性代数是一门比较抽象的课程，矩阵、线性方程组和向量组是这门课中的三个主要知识点，所以将这三者之间的关系分析清楚十分重要，本文系统地分析了这三者之间的联系，这有助于线性代数这门课程的教学。关键词：线性代数；矩阵；线性方程组；向量组中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：1674-9324（2016）11-0198-02线性代数这门课对大学生来说是一门比较抽象的课程，所以很多学生反映这门课不太好学，而矩阵、线性方程组及向量组是贯穿这门课的三个主要概念，所以条理的理清这三者之间的关系，有助于学生对这门课的学习。x1x2a裳梢1i 梢梢a梢梢（梢2i晌上裳梢晌上上上上上梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢上上上上上上i=1，2，n），n个向上上上上上上上上上上上上ixnami 捎梢上梢上尚捎尚量（i=1，2，n）作成向量组，另外首先，我们介绍一些本文要用到的概念和表达式：i12n有些概念，像矩阵的秩在参考文献中都有详细定义，在这里不再一一陈述。ax+ax+ +ax=0扇设设接下来我们介绍上述矩阵、线性方程组和向量组的关联：1111221nn设设ax+ax+ +ax=0111 122 1nn设齐次线性方程组：设（）设缮设一、线性方程组的表达方式设设设设设设ax+ax+ +ax=0mnn齐次线性方程组（）还有如下两种表示方式：以矩阵形式表示：Ax=0；墒m11m22ax+ax+ +ax=b扇设设1111221nn1设设ax+ax+ +ax=b以向量组形式表示：x+x+x=0。设非齐次线性方程组：设2（）设 1111221nn1122nn缮设非齐次线性方程组（）还有如下两种表示方式：设设设设ax+ax+ +ax=bm以矩阵形式表示：Ax=b；设设墒m11m22mnn以向量组形式表示：x+x+x=b。其中b，b，b不全为零，矩阵1122nn12m所以从某种意义上说，在线性代数这门课产生的最初，矩阵和向量组是作为解线性方程组的工具被提出来的，只是到后来这两者尤其是矩阵理论完全脱离开线性方程组而成为一门独立的学科理论体系。二、线性方程组与矩阵的联系a a a晌上上上上上11121na a aA= 上上称为线性方程组（）和（）的21222n上上上上上上am1am2上尚a a abb晌上裳梢1 梢梢线性方程组与矩阵有对应关系，方程组有无解和矩阵的秩是密切相关的。上上上上上上上上上上上上11121na a a梢梢梢系数矩阵，矩阵B=（Ab）=称21222n2梢梢梢梢梢齐次线性方程组（）与其系数矩阵A一一对应：齐次线性方程组（）有非零解圳方程组（）的非冗余方程的个数小于n圳秩（A）n；齐次线性方程组（）只有零解圳方程组（）的非冗余方程的个数等于n圳秩（A）=n。am1am2amnb梢梢m 捎梢上尚bb晌上裳梢上上上上上上上上上上上上1梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢梢为线性方程组（）的增广矩阵，记m维向量b=，n2m非齐次线性方程组（）与其增广矩阵B一一对应：b上梢尚捎 非齐次线性方程组（）有解圳方程组（）中没有相互矛盾的方程的存在圳秩（）秩（）。方程组（）和（）的求解分别最终转化为对矩阵和进行行初等变换将矩阵化为行最简型，从而相当于对线性方程组进行了消元来得出其解。三、向量组与方程组及矩阵是否可以由该向量组表示，对这个问题的回答，可以从矩阵和线性方程组的角度分析，我们有如下各等价性质：向量可以由向量组，线性表示；存在系数，使得（一）向量组的线性相关性；对于向量组，的线性相关性，我们非齐次线性方程组 有可以得到下列等价性质：解；向量组，线性相关；非齐次线性方程组（）有解；存在不全为零的，使得；齐次线性方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。向量组，的秩和矩阵的秩虽然是有非零以不同的方式给出的定义，但最终可知这二者是相等的，向量组，的最大无关组的求解也解；齐次线性方程组（）有非零解；转为对矩阵进行行初等变换将其化为行最简型，行最简型中各非零行的第一个非零元所在的列对应的向量组，中的向量取出来作成的向量秩（）同理可得，如下各个条件等价向量组，线性相关；组就是向量组，的最大无关组，具体过若全为零；齐次线性方程组，则定有，程参考文献中有详细描述。综上，我么可以看出，线性代数这门课的三条主线：矩阵、线性方程组和向量组彼此存在着千万缕的联系，搞清这些联系，可以使得这些抽象的概念和知识点更容易接受，从而更加有助于这门课的讲授和学习。只有零解；齐次线性方程组（）只有零解；秩（）（二）一个向量可否由向量组线性表示参考文献：对于向量组，我们关心的是向量同济大学数学系工程数学线性代数等教育出版社，版北京：高