等腰三角形(1).ppt

腰腰腰腰底边底边底角底角顶顶角角底角底角ABC证明：证明：作顶角的平分线作顶角的平分线ADAB=AC (已知已知),1=2 (辅助线作法辅助线作法)，AD=AD(公共边公共边),BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等).已知：已知：ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B=C.ABC12D 1=2在在BAD和和CAD中，中，等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。性质1(等边对等角)36120随堂练习：随堂练习：1.如图，在下列等腰三角如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数。形中，分别求出它们的底角的度数。（1）（2）3、等腰三角形的顶角的外角等于100，则它的底角等于 .4、等腰直角三角形的底角等于 .5、等腰直角三角形斜边上的高把直角分成两个角，则这两个角的度数为 .5045 45 。1、在下列的等腰三角形中，分别求出它们的在下列的等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数底角的度数 40 120 7070304530452、已知等腰三角形的一个角等于、已知等腰三角形的一个角等于80，求另外两，求另外两个角的度数个角的度数练一练练一练等腰三角形一个底角为等腰三角形一个底角为7070,它的顶角为它的顶角为_._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为7070,它的另外两个角为它的另外两个角为 _._.等腰三角形一个角为等腰三角形一个角为110110,它的另外两个角为它的另外两个角为_._.顶角顶角+2+2底角底角=180=180 顶角顶角=180=1802 2底角底角 底角底角=（180180顶角）顶角）2 20 0顶角顶角18018000底角底角9090结论结论:在等腰三角形中在等腰三角形中,40 35，35 70,40或或55,55 例例1、如图，在、如图，在ABC中中，AB=AC，点，点D在在AC上，且上，且 BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数。各角的度数。ABCD解：解：AB=ACAB=AC，BD=BC=ADBD=BC=AD，ABC=ABC=C=BDC，A=ABD （等（等边对等角角)设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72x2x2x2x 等腰三角形的两个底角相等吗？试着证等腰三角形的两个底角相等吗？试着证明？明？已知：已知：ABC中，中，AB=AC求证：求证：B=CABC想一想想一想证明：作顶角的平分线证明：作顶角的平分线AD 在在BAD和和CAD中，中，AB=AC （已知已知），），1=2 （辅助线作法辅助线作法），），AD=AD（公共边）（公共边），BAD CAD（SAS）B=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）ABC1 2证明一：证明一：作顶角的平分线作顶角的平分线D证明：作底边中线证明：作底边中线AD在在BAD和和CAD中，中，AB=AC（已知），（已知），BD=CD（辅助线作法），（辅助线作法），AD=AD（公共边），（公共边），BAD CAD（SSS）B=C（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）ABCD证明二：证明二：作底边中线作底边中线证明：作底边高线证明：作底边高线AD在在RtBAD和和RtCAD中，中，AB=AC （已知），（已知），AD=AD（公共边），（公共边），Rt BAD Rt CAD（HL）B=C（全等三角形的对（全等三角形的对应角相等）应角相等）ABCD证明三：证明三：作底边的高线作底边的高线且且BD=CD，BAD=CAD 等等腰三角腰三角形底边形底边上的中上的中线、底线、底边上的边上的高、顶高、顶角平分角平分线相互线相互重合重合等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：性质性质1 1 等腰三角形的两个底角相等（简写成等腰三角形的两个底角相等（简写成等腰三角形的两个底角相等（简写成等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边等边等边等边 对等角对等角对等角对等角”）性质性质2 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（底边上的高互相重合（底边上的高互相重合（底边上的高互相重合（“三线合一三线合一三线合一三线合一”）即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底 边边边边结论结论ABCDABCD顶顶角角的的平平分分线线底底边边的的高高底底边边的的中中线线ABCDABCDABCDABCDABCDABCD如图，线段如图，线段OD的一个端点的一个端点O在直线在直线a上，以上，以OD为一边画等为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点腰三角形，并且使另一个顶点在直线在直线a上，这样的等腰三角形上，这样的等腰三角形能画多少个？能画多少个？C CE EF FHH想一想想一想aDO 顶角顶角顶角顶角+2+2底角底角底角底角=180=180 顶角顶角顶角顶角=180=18022底角底角底角底角 底角底角底角底角=（180180顶角）顶角）顶角）顶角）2200顶角顶角顶角顶角180180在等腰三角形中，在等腰三角形中，在等腰三角形中，在等腰三角形中，注注意意00底角底角底角底角9090 例例1 已知：如图，房屋的顶角已知：如图，房屋的顶角BAC=100，过屋顶过屋顶A的立柱的立柱AD BC，屋椽，屋椽AB=AC求求B、C、BAD、CAD的度数的度数解：在解：在ABC中，中，AB=AC，B=C（等边对等角），等边对等角），B=C=(180A)=40（三角形（三角形内角和定理）内角和定理）又又ADBC，BAD=CAD（等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）与底边上的高互相重合）BAD=CAD=50ABDC例例2如图，在如图，在ABC中，点中，点D在在AC边上，且边上，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数各角的度数ADCB解：解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD（等边对等角）（等边对等角）设设A=x，则，则BDC=A+ABD=2x，从而从而ABC=C=BDC=2x于是在于是在ABC中，有中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得解得 x=36，在在ABC中，中，A=36，ABC=C=72等腰三角形的一个内角是另一个内角的等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则三个内角分别为倍，则三个内角分别为_ 解：设小角为解：设小角为x，则大角为，则大角为2x 当当x为底角时，为底角时，x+x+2x=180，解得解得 x=45，则，则2x=90当当x为顶角时，为顶角时，x+2x+2x=180，解得解得x=36，则，则2x=72其内角的度数为其内角的度数为45，45，90，或，或36，72，72练一练一练练ABOSOS!SOS!如图，位于海上如图，位于海上A、B两处的两处的两艘救生船接到两艘救生船接到O处遇险船只的报处遇险船只的报警，当时测得警，当时测得A=B如果这如果这两艘救生以同样的速度同时出发，两艘救生以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事能不能大约同时赶到出事 地地点（不考虑风浪因素）？点（不考虑风浪因素）？想一想想一想知识要知识要点点 ABCABC中，中，中，中，B=B=C C，AB=ACAB=AC推理形式如下：推理形式如下：推理形式如下：推理形式如下：等腰三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法：等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么如果一个三角形有两个角相等，那么如果一个三角形有两个角相等，那么如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成这两个角所对的边也相等（简写成这两个角所对的边也相等（简写成这两个角所对的边也相等（简写成“等角等角等角等角对等边对等边对等边对等边”）ABC 例例3求证：如果三角形一个外角的平分线平行求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形已知：已知：CAE是是ABC的外角，的外角，AB=AC，AD/BC，（如图），求证：，（如图），求证：1=2证明：证明：AD/BC，1=B，2=C又已知又已知1=2，B=C，AB=ACBCAED）1）2 A AB BC CN N解：解：NBC=A+C，C=8442=42，BA=BC（等角对等边），（等角对等边），AB=20（1513）=40，BC=BA=40（海里）（海里）下午下午13时，一条船从海岛时，一条船从海岛A出发，以出发，以20海里海里的速度向正北航行，的速度向正北航行，15时到达海岛时到达海岛B处，从处，从A、B望灯塔望灯塔C，测得，测得NAC=42，NBC=84，求从，求从海岛海岛B到灯塔到灯塔C的距离的距离练一练一练练有两条边相等的三角形叫做等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形二、性质二、性质1等边对等角等边对等角2等角对等边等角对等边 3“三线合一三线合一”：等腰三角形的顶角平：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合分线、底边上的中线、底边上的高互相重合课堂小结课堂小结一、定义一、定义1（1）如果等腰三角形的一个底角为）如果等腰三角形的一个底角为50，则其，则其 余两个角为余两个角为_和和_（2）如果等腰三角形的顶角为）如果等腰三角形的顶角为80，则它的一个，则它的一个底角为底角为_5050 8080 5050（3）如果等腰三角形的一个角为）如果等腰三角形的一个角为80，则其余两，则其余两个角为个角为_8080 和和和和2020（4）如果等腰三角形的一个角为）如果等腰三角形的一个角为100，则其余，则其余两个角为两个角为_4040 和和和和4040 或或或或5050 和和和和50 50 随堂练习随堂练习2如图，如图，A=15，AB=BC=CD=DE=EF，则，则 DEF等于（等于（）A90 B75 C70 D60ABCDEFD3（黄冈中考题）在（黄冈中考题）在ABC中，中，AB=AC，AB的的 中垂线与中垂线与AC所在的直线相交得的锐角为所在的直线相交得的锐角为50，则底角的大小为则底角的大小为_ABCABC70 或或 204已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC，CDAB，1=45，则，则BCD的度数的度数_ D122.522.55 已知已知AD=DC=CB，A=25，则，则DCB 的度数为的度数为_D80806 如图，已知如图，已知ABC中，中，AB=AC，F在在AC上，上，在在BA的延长线上截取的延长线上截取AE=AF，求证：求证：EDBCABCDEF提示：证明提示：证明EDB=EDC 证明：证明：BA=BC，BCA=A=60（等边对等角）（等边对等角）CE=CD，E=CDE=30（三角形外角性质）（三角形外角性质）BD是是AC边的中线，边的中线，DBC=30（等腰三角形的性质）（等腰三角形的性质）DE=DB（等角对等边）（等角对等边）7如图，如图，ABC中，中，BC=BA，A=60，BD 是是AC边的中线，延长边的中线，延长BC到到E，使，使CE=CD，求证：求证：DE=DBABCDE证明：证明：DE/BC，OBC=DOB，OCB=EOC BO、CO分别平分分别平分ABC、ACB，DBO=DOB=OBC，ECO=EOC=OCBBD=DO，CE=OE（等角对等边），（等角对等边），BD+EC=DO+OE=DE8如图，如图，ABC中，中，ABC、ACB的平分线的平分线 交于点交于点O，过点，过点O作作DE/BC，分别交，分别交AB、AC 于点于点D、E，求证：，求证：BD+EC=DEBCAEODB BA AC C如图，等边如图，等边ABC，在，在平面内找一点平面内找一点P，使得，使得PAB、PBC、PAC都是等腰三都是等腰三角形角形想一想想一想满足条件满足条件的点都在对称的点都在对称轴上，共轴上，共10个个点点如图，正方形如图，正方形ABCD，在平面内找一点，在平面内找一点P，使，使得得PAB、PBC、PCD、PAD都是等腰三都是等腰三角形角形B BA AC CD D满足条件满足条件的点都在对称的点都在对称轴上，共轴上，共9个点个点