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矩形菱形与正方形矩形菱形与正方形一、选择题1（2016·黑龙江大庆）下列说法正确的是（ ）A对角线互相垂直的四边形是菱形B矩形的对角线互相垂直C一组对边平行的四边形是平行四边形D四边相等的四边形是菱形【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直；故本选项错误；C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项错误；D、四边相等的四边形是菱形；故本选项正确故选 D【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键2. （2016·湖北鄂州）如图，菱形 ABCD 的边 AB=8，B=60°，P 是 AB 上一点，BP=3，Q是 CD 边上一动点，将梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠，A 的对应点为 A，当 CA的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5 B. 7 C. 8 D. 213【考点】菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题【分析】如下图所示，由题意可知，ABC 为等边三角形；过 C 作 CHAB，则 AH=HB；连接 DH；要使 CA的长度最小，则梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠后 A 的对应点 A应落在 CH 上，且对称轴 PQ 应满足 PQDH；因为 BP=3，易知 HP=DQ=1，所以 CQ=7. 【解答】解：如图，过 C 作 CHAB，连接 DH；ABCD 是菱形，B=60°ABC 为等边三角形；AH=HB=4；28BP=3，HP=1要使 CA的长度最小，则梯形 APQD 沿直线 PQ 折叠后 A 的对应点 A应落在 CH 上，且对称轴 PQ 应满足 PQDH；由作图知，DHPQ 为平行四边形DQ=HP= 1，CQ=CD-DQ=8-1=7. 故正确的答案为：B【点评】本题综合考查了菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题本题作为选择题，不必直接去计算，通过作图得出答案是比较便捷的方法。弄清在什么情况下 CA的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键.3. （2016·湖北咸宁） 已知菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0） ，OB=4，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D（0，1） ，当 CP+DP 最短时，点 P5的坐标为（ ）A. （0，0） B.（1，） C.（，） D.（，）21 56 53 710 75【考点】菱形的性质，平面直角坐标系， ，轴对称最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题【分析】点 C 关于 OB 的对称点是点 A，连接 AD，交 OB 于点 P，P 即为所求的使 CP+DP 最短的点；连接 CP，解答即可.【解答】解：如图，连接 AD，交 OB 于点 P，P 即为所求的使 CP+DP 最短的点；连接CP，AC，AC 交 OB 于点 E，过 E 作 EFOA，垂足为 F.点 C 关于 OB 的对称点是点 A，CP=AP，AD 即为 CP+DP 最短；四边形 OABC 是菱形， OB=4，5OE=OB=2，ACOB215又A（5，0） ，在 RtAEO 中，AE=；OEOA22)52(5225易知 RtOEFOAE=OAOE AEEFEF=2，OAAEOE 5552OF=4.EFOE222)52(22 E 点坐标为 E（4，2）设直线 OE 的解析式为：y=kx，将 E（4，2）代入，得 y=x，21设直线 AD 的解析式为：y=kx+b，将 A（5，0） ，D（0，1）代入，得 y=x+1，51点 P 的坐标的方程组 y=x，21y=x+1，51解得 x=， 710y=75点 P 的坐标为（，）710 75故选 D.【点评】本题考查了菱形的性质，平面直角坐标系， ，轴对称最短路线问题，三角形相似，勾股定理，动点问题关于最短路线问题：在直线 L 上的同侧有两个点 A、B，在直线L 上有到 A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线 L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L 的交点就是所要找的点（注：本题 C，D 位于 OB 的同侧） 如下图：解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.4. (2016·四川资阳 )如图，矩形ABCD 与菱形 EFGH 的对角线均交于点O，且 EGBC，将矩形折叠，使点C 与点 O 重合，折痕MN 恰好过点 G 若 AB=，EF=2，H=120°，则 DN 的长为（ ）A B CD2【考点 】矩形的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析 】延长 EG 交 DC 于 P 点，连接 GC、FH，则 GCP 为直角三角形，证明四边形 OGCM 为菱形，则可证OC=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案【解答 】解：长 EG 交 DC 于 P 点，连接 GC、FH；如图所示：则 CP=DP=CD=，GCP 为直角三角形，四边形 EFGH 是菱形， EHG=120°，GH=EF=2，OHG=60°，EGFH，OG=GHsin60°=2×=，由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM，MOG=MCG，PG=，OGCM，MOG+OMC=180°，MCG+OMC=180°，OMCG，四边形 OGCM 为平行四边形，OM=CM，四边形 OGCM 为菱形，CM=OG=，根据题意得： PG 是梯形 MCDN 的中位线，DN+CM=2PG=，DN=；故选： C5. （2016·四川广安·3 分）下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内有一个角是直角的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形两边及一角对应相等的两个三角形全等一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题【解答】解：错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形正确的只有，故选 A6.（2016·广东深圳）如图，CB=CA，ACB=90°，点 D 在边 BC 上（与 B、C 不重合） ，四边形 ADEF 为正方形，过点 F 作 FGCA，交 CA 的延长线于点 G，连接 FB，交 DE 于点 Q，给出以下结论：AC=FG；;ABC=ABF；2:1CEFGFABSS四边形,其中正确的结论个数是（ ）ACFQAD2A.1 B.2 C.3 D.4答案答案：D考点考点：三角形的全等，三角形的相似，三角形、四边形面积的计算。解析解析：90,9011 22FABCBFGGCFAD CADAFD ADAF FGAACDACFGFGACBC FGBCCCBFGSFB FGS AA四边形故正确四边形为矩形，故正确CA=CB, C=CBF=90°ABC=ABF=45°,故正确FQE=DQB=ADC,E=C=90°ACDFEQACAD=FEFQAD·FE=AD²=FQ·AC,故正确 7（2016·山东枣庄）如图，四边形 ABCD 是菱形，于 H，8AC6DBABDH 则DH 等于A B C5 D4524 512第 9 题图ABCDH【答案】A.【解析】试题分析：如图，四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得8AC6DBOA=4，OB=3，由勾股定理可得 AB=5，再由即可求得 DH=,DHABBDACS21菱形524故答案选 A.考点：菱形的性质.8 （2016·江苏苏州）矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（ 3，4） ，D 是 OA 的中点，点E 在 AB 上，当 CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（ ）A （3，1） B （3，） C （3，） D （3，2）【考点 】矩形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题【分析 】如图，作点D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为E，此时 CDE 的周长最小，先求出直线CH 解析式，再求出直线CH 与 AB的交点即可解决问题【解答 】解：如图，作点D 关于直线 AB 的对称点 H，连接 CH 与 AB 的交点为 E，此时 CDE 的周长最小D（，0） ，A（3，0） ，H（，0） ，直线 CH 解析式为 y=x+4，x=3 时， y=，点 E 坐标（ 3，）故选： B9 （2016·江苏无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）A对角线相等B对角线互相平分C对角线互相垂直D邻边互相垂直【考点】菱形的性质；矩形的性质【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有故选：C10（2016·江苏省宿迁）如图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE若 AB的长为 2，则 FM 的长为（ ）A2BCD1【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在 RtBFM 中，可利用勾股定理求出 FM的值【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，AB=2，过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，FB=AB=2，BM=1，则在 RtBMF 中，FM=，故选：B【点评】此题考查了翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键11（2016·江苏省扬州）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=6将该矩形纸片剪去3 个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ）A6B3C2.5D2【考点】几何问题的最值【分析】以 BC 为边作等腰直角三角形EBC，延长 BE 交 AD 于 F，得ABF 是等腰直角三角形，作 EGCD 于 G，得EGC 是等腰直角三角形，在矩形 ABCD 中剪去ABF，BCE，ECG 得到四边形 EFDG，此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以 BC 为边作等腰直角三角形EBC，延长 BE 交 AD 于 F，得ABF 是等腰直角三角形，作 EGCD 于 G，得EGC 是等腰直角三角形，在矩形 ABCD 中剪去ABF，BCE，ECG 得到四边形 EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6×4×4×3×6×3×3=2.5故选 C12（2016浙江省舟山）如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=3，过点 A，C 作相距为 2的平行线段 AE，CF，分别交 CD，AB 于点 E，F，则 DE 的长是（ ）ABC1D【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【分析】过 F 作 FHAE 于 H，根据矩形的性质得到 AB=CD，ABCD，推出四边形 AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到 AF=CE，根据相似三角形的性质得到，于是得到 AE=AF，列方程即可得到结论【解答】解：过 F 作 FHAE 于 H，四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，ABCD，AECF，四边形 AECF 是平行四边形，AF=CE，DE=BF，AF=3DE，AE=，FHA=D=DAF=90°，AFH+HAF=DAE+FAH=90°，DAE=AFH，ADEAFH，AE=AF，=3DE，DE=，故选 D13（2016呼和浩特）如图，面积为 24 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、F、G 分别在 AB、BC、FD 上若 BF=，则小正方形的周长为（ ）A B C D【考点】正方形的性质【分析】先利用勾股定理求出 DF，再根据BEFCFD，得=求出 EF 即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，面积为 24，BC=CD=2，B=C=90°，四边形 EFGH 是正方形，EFG=90°，EFB+DFC=90°，BEF+EFB=90°，BEF=DFC，EBF=C=90°，BEFCFD，=，BF=，CF=，DF=，=，EF=，正方形 EFGH 的周长为故选 C14.(2016 兰州，14,4 分)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CEBD, DEAC , AD , DE2,则四边形 OCED 的面积为（）【答案】:A【解析】：CEBD, DEAC四边形 OCED 是平行四边形ODEC, OCDE矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 OODOC连接 OE, DE2，DC2，DE四边形 OCED 的面积为【考点】：平行四边形的性质及菱形的面积计算15.(2016 广东，5,3 分)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点连接 EF 为边的正方形 EFGH 的周长为（ ）ABDCGHFEA、 B、 C、 D、22 2212 21答案答案：B考点考点：三角形的中位线，勾股定理。解析解析：连结 BD，由勾股定理，得 BD，因为 E、F 为中点，所以，EF，所以，22 2正方形 EFGH 的周长为。2 2二、填空题1. （2016·湖北黄冈） 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 CD，BC 上，且DC=3DE=3a，将矩形沿直线 EF 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 P 处，则 FP=_.A P(C) DEB F C （第 1 题）【考点】矩形的性质、图形的变换（折叠） 、30°度角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理.【分析】根据折叠的性质，知 EC=EP2a=2DE；则DPE=30°，DEP=60°，得出PEF=CEF=(180°-60°)= 60°，从而PFE=30°，得出 EF=2EP=4a，再勾股定理，21得 出 FP 的长.【解答】解：DC=3DE=3a，DE=a，EC=2a.根据折叠的性质，EC=EP2a；PEF=CEF， EPF=C=90°.根据矩形的性质，D=90°，在 RtDPE 中，EP=2DE=2a，DPE=30°，DEP=60°.PEF=CEF=(180°-60°)= 60°.21在 RtEPF 中，PFE=30°.EF=2EP=4a在 RtEPF 中，EPF=90°，EP2a，EF4a，根据勾股定理，得 FP=a.EPEF223故答案为：a32. （2016·四川成都·4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，对角线 AC，BD 相交于点O，AE 垂直平分 OB 于点 E，则 AD 的长为 3 【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出 OA=AB=OB=3，得出 BD=2OB=6，由勾股定理求出 AD 即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，AE 垂直平分 OB，AB=AO，OA=AB=OB=3，BD=2OB=6，AD=3；故答案为：33（2016·四川巴中）如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD，连结 AE，如果ADB=30°，则E= 15 度【考点】矩形的性质【分析】连接 AC，由矩形性质可得E=DAE、BD=AC=CE，知E=CAE，而ADB=CAD=30°，可得E 度数【解答】解：连接 AC，四边形 ABCD 是矩形，ADBE，AC=BD，且ADB=CAD=30°，E=DAE，又BD=CE，CE=CA，E=CAE，CAD=CAE+DAE，E+E=30°，即E=15°，故答案为：154. （2016 吉林长春，12，3 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，顶点 A 的坐标为（1，1），顶点 B 在第一象限，若点 B 在直线 y=kx+3 上，则k 的值为 2 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质【分析】先求出 B 点坐标，再代入直线 y=kx+3，求出 k 的值即可【解答】解：正方形 ABCD 的对称中心与原点重合，顶点 A 的坐标为（1，1），B（1，1）点 B 在直线 y=kx+3 上，1=k+3，解得 k=2故答案为：2【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键5.（2016·广东广州）如图，正方形的边长为,是对角线，将绕点5ABC DAC 、BDD C B顺时针旋转 450得到，交于点，连接交于点，连接，则下列DD G HH GABED EACFFG结论：四边形AEG F是菱形AED G EDD FG 112. 5 BC FG 1. 5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图 5FEHGBDAC【难易难易】中等中等【考点考点】图形的旋转，全等三角形，等腰直角三角形，菱形的判定图形的旋转，全等三角形，等腰直角三角形，菱形的判定【解析解析】旋转旋转HD=BD=2HA=12 H=45°° HAE=45°°HAE 为等腰直角三角形为等腰直角三角形AE=HE=12 22EB=22) 12(1又又EGB=90°° EBG=45°°EGB 为等腰三角形，为等腰三角形，EG=12 EA=EG 且且 EADA，EGDGED 平分平分ADGEDG=22.5°°又又DCA=45°° CDG=45°°CDF=CFD=67.5°°， CF=CD=1 ， AF=12 又又EAC=BEG=45°°，AFEG又又AF=AE=EG=12 四边形四边形 AEGF 是菱形，且是菱形，且AEDGEDFGD=ABD=45°° DFG=180°°-FGD-FDG =112.5°°BC+FG=2121【参考答案参考答案】6.（2016·广东茂名）已知矩形的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AO=1，那么 BD=2 【考点】矩形的性质【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可【解答】解：在矩形 ABCD 中，角线 AC 与 BD 相交于点 O，AO=1，AO=CO=BO=DO=1，BD=2故答案为：2【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质7.（2016·广西贺州）在矩形 ABCD 中，B 的角平分线 BE 与 AD 交于点 E，BED 的角平分线 EF 与 DC 交于点 F，若 AB=9，DF=2FC，则 BC= （结果保留根号）【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质【分析】先延长 EF 和 BC，交于点 G，再根据条件可以判断三角形 ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边 BE 的长，然后根据条件判断三角形 BEG 为等腰三角形，最后根据EFDGFC 得出 CG 与 DE 的倍数关系，并根据 BG=BC+CG 进行计算即可【解答】解：延长 EF 和 BC，交于点 G矩形 ABCD 中，B 的角平分线 BE 与 AD 交于点 E，ABE=AEB=45°，AB=AE=9，直角三角形 ABE 中，BE=，又BED 的角平分线 EF 与 DC 交于点 F，BEG=DEFADBCG=DEFBEG=GBG=BE=由G=DEF，EFD=GFC，可得EFDGFC设 CG=x，DE=2x，则 AD=9+2x=BCBG=BC+CG=9+2x+x解得 x=BC=9+2（3）=故答案为：【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似8. (2016 年浙江省丽水市年浙江省丽水市)如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BEAD，BFCD，垂足分别为点 E，F，延长 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG，FG，若 AE=DE，则= 【考点】菱形的性质【分析】连接 AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得 ACBD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB=BD，然后判断出ABD 是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是 60°求出ADB=60°，设 EF 与 BD 相交于点 H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EH，再求出 DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出 EG，最后求出比值即可【解答】解：如图，连接 AC、EF，在菱形 ABCD 中，ACBD，BEAD，AE=DE，AB=BD，又菱形的边 AB=AD，ABD 是等边三角形，ADB=60°，设 EF 与 BD 相交于点 H，AB=4x，AE=DE，由菱形的对称性，CF=DF，EF 是ACD 的中位线，DH=DO=BD=x，在 RtEDH 中，EH=DH=x，DG=BD，GH=BD+DH=4x+x=5x，在 RtEGH 中，由勾股定理得，EG=2x，所以， =故答案为：9. （2016 年浙江省衢州市）年浙江省衢州市）如图，正方形 ABCD 的顶点 A，B 在函数 y=（x0）的图象上，点 C，D 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，当 k 的值改变时，正方形 ABCD 的大小也随之改变（1）当 k=2 时，正方形 ABCD的边长等于 （2）当变化的正方形 ABCD 与（1）中的正方形 ABCD有重叠部分时，k 的取值范围是 x18 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；正方形的性质【分析】 （1）过点 A作 AEy 轴于点 E，过点 Bx 轴于点 F，由正方形的性质可得出“AD=DC，ADC=90°”，通过证AEDDOC可得出“OD=EA，OC=ED”，设OD=a，OC=b，由此可表示出点 A的坐标，同理可表示出 B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 a、b 的二元二次方程组，解方程组即可得出 a、b 值，再由勾股定理即可得出结论；（2）由（1）可知点 A、B、C、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB、CD的解析式，设点 A 的坐标为（m，2m） ，点 D 坐标为（0，n） ，找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出 m、n 的值，从而得出点 A 的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出 k 的取值范围【解答】解：（1）如图，过点 A作 AEy 轴于点 E，过点 Bx 轴于点 F，则AED=90°四边形 ABCD为正方形，AD=DC，ADC=90°，ODC+EDA=90°ODC+OCD=90°，EDA=OCD在AED和DOC中，AEDDOC（AAS） OD=EA，OC=ED同理BFCCOD设 OD=a，OC=b，则 EA=FC=OD=a，ED=FB=OC=b，即点 A（a，a+b） ，点 B（a+b，b） 点 A、B在反比例函数 y=的图象上，解得：或（舍去） 在 RtCOD中，COD=90°，OD=OC=1，CD=故答案为：（2）设直线 AB解析式为 y=k1x+b1，直线 CD解析式为 y=k2+b2，点 A（1，2） ，点 B（2，1） ，点 C（1，0） ，点 D（0，1） ，有和，解得：和直线 AB解析式为 y=x+3，直线 CD解析式为 y=x+1设点 A 的坐标为（m，2m） ，点 D 坐标为（0，n） 当 A 点在直线 CD上时，有 2m=m+1，解得：m=，此时点 A 的坐标为（， ） ，k=×=；当点 D 在直线 AB上时，有 n=3，此时点 A 的坐标为（3，6） ，k=3×6=18综上可知：当变化的正方形 ABCD 与（1）中的正方形 ABCD有重叠部分时，k 的取值范围为x18故答案为：x1810. （2016 年浙江省台州市）年浙江省台州市）如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转 90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分） ，若菱形的一个内角为 60°，边长为 2，则该“星形”的面积是 66 【考点】旋转的性质；菱形的性质【分析】根据菱形的性质以及 AB=2，BAD=60°，可得出线段 AO 和 BO 的长度，同理找出 AO、DO 的长度，结合线段间的关系可得出 AD的长度，通过角的计算得出AED=30°=EAD，即找出 DE=AD，再通过解直角三角形得出线段 EF 的长度，利用分割图形法结合三角形的面积公式以及菱形的面积公式即可求出阴影部分的面积【解答】解：在图中标上字母，令 AB 与 AD的交点为点 E，过 E 作 EFAC 于点 F，如图所示四边形 ABCD 为菱形，AB=2，BAD=60°，BAO=30°，AOB=90°，AO=ABcosBAO=，BO=ABsinBAO=1同理可知：AO=，DO=1，AD=AODO=1ADO=90°30°=60°，BAO=30°，AED=30°=EAD，DE=AD=1在 RtEDF 中，ED=1，EDF=60°，EF=EDsinEDF=S阴影=S菱形 ABCD+4SADE=×2AO×2BO+4×ADEF=66故答案为：6611. （2016 年浙江省温州市）年浙江省温州市）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图 1 所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图 2 所示） ，则该凸六边形的周长是 （32+16） cm【考点】七巧板【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长【解答】解：如图所示：图形 1：边长分别是：16，8，8；图形 2：边长分别是：16，8，8；图形 3：边长分别是：8，4，4；图形 4：边长是：4；图形 5：边长分别是：8，4，4；图形 6：边长分别是：4，8；图形 7：边长分别是：8，8，8；凸六边形的周长=8+2×8+8+4×4=32+16（cm） ；故答案为：32+1612（2016·四川巴中）如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE=BD，连结 AE，如果ADB=30°，则E= 15 度【考点】矩形的性质【分析】连接 AC，由矩形性质可得E=DAE、BD=AC=CE，知E=CAE，而ADB=CAD=30°，可得E 度数【解答】解：连接 AC，四边形 ABCD 是矩形，ADBE，AC=BD，且ADB=CAD=30°，E=DAE，又BD=CE，CE=CA，E=CAE，CAD=CAE+DAE，E+E=30°，即E=15°，故答案为：1513 （2016.山东省青岛市,3 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，E 为 BC 上一点，CE=5，F 为 DE 的中点若CEF 的周长为 18，则 OF 的长为 【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理【分析】先根据直角三角形的性质求出 DE 的长，再由勾股定理得出 CD 的长，进而可得出 BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论【解答】解：CE=5，CEF 的周长为 18，CF+EF=185=13F 为 DE 的中点，DF=EFBCD=90°，CF=DE，EF=CF=DE=6.5，DE=2EF=13，CD=12四边形 ABCD 是正方形，BC=CD=12，O 为 BD 的中点，OF 是BDE 的中位线，OF=（BCCE）=（125）=故答案为：14 （2016.山东省泰安市，3 分）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB=6，BC=8，BD 的垂直平分线交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则BOF 的面积为 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出 BD，证明BOFBCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出 BF，根据勾股定理求出 OF，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，A=90°，又 AB=6，AD=BC=8，BD=10，EF 是 BD 的垂直平分线，OB=OD=5，BOF=90°，又C=90°，BOFBCD，=，即=，解得，BF=，则 OF=，则BOF 的面积=×OF×OB=，故答案为：【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键15. （2016·江苏南京）如图，菱形 ABCD 的面积为 120，正方形 AECF 的面积为 50，则菱形的边长为_.答案答案：13考点考点：菱形、正方形的性质及其面积的计算方法，勾股定理。解析解析：连结 AC、BD 交于点 O，由对称性知，菱形的对角线 BD 过点 E、F，由菱形性质知，BDAC，所以，120 ，1 2BDAC又正方形的面积为 50，所以，AE，所以，AO2EO250，AOEO55 2所以，AC10，代入式，得 BD24，所以，BO12，由 AO2BO2AB2，得 AB1316 （2016·江苏无锡）如图，矩形 ABCD 的面积是 15，边 AB 的长比 AD 的长大 2，则AD 的长是 3 【考点】矩形的性质【分析】根据矩形的面积公式，可得关于 AD 的方程，根据解方程，可得答案【解答】解：由边 AB 的长比 AD 的长大 2，得AB=AD+2由矩形的面积，得AD（AD+2）=15解得 AD=3，AD=5（舍） ，故答案为：317（2016·江苏省宿迁）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为 4 【分析】如图，当 AB=AD 时，满足PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个【解答】解：如图，当 AB=AD 时，满足PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个，P1BC，P2BC 是等腰直角三角形，P3BC 是等腰直角三角形（P3B=P3C），则 AB=AD=4，故答案为 4【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型18(2016江苏省扬州如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点，若 OE=3，则菱形 ABCD 的周长为 24 【考点】菱形的性质【分析】由菱形的性质可得出 ACBD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AD 的长，结合菱形的周长公式即可得出结论【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，ACBD，AB=BC=CD=DA，AOD 为直角三角形OE=3，且点 E 为线段 AD 的中点，AD=2OE=6C菱形 ABCD=4AD=4×6=24故答案为：2419（2016辽宁沈阳）如图，在 RtABC 中，A=90°，AB=AC，BC=20，DE 是ABC 的中位线，点 M 是边 BC 上一点，BM=3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O若OMN 是直角三角形，则 DO 的长是 或 【考点】三角形中位线定理【分析】分两种情形讨论即可MNO=90°，根据=计算即可MON=90°，利用DOEEFM，得=计算即可【解答】解：如图作 EFBC 于 F，DNBC 于 N交 EM 于点 O，此时MNO=90°，DE 是ABC 中位线，DEBC，DE=BC=10，DNEF，四边形 DEFN是平行四边形，EFN=90°，四边形 DEFN是矩形，EF=DN，DE=FN=10，AB=AC，A=90°，B=C=45°，BN=DN=EF=FC=5，=，=，DO=当MON=90°时，DOEEFM，=，EM=13，DO=，故答案为或【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型20(2016 大连，大连，13，3 分分)如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是 【考点】菱形的性质【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出 BD 的长，再利用菱形面积求法得出答案【解答】解：连接 BD，交 AC 于点 O，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AO=CO=4，BO=3，故 BD=6