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第四讲第四讲 主干考点主干考点 函数与导数函数与导数【名师高考导航名师高考导航】对于函数部分的备考，应先掌握基本概念和基本运算，牢记基本初等函数的图象与性质，重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想方法在解题中的应用，导数是高中数学知识的一个重要知识点，主要考查与导数有关的概念、计算和应用，利用导数的工具性研究函数的有关性质，把导数应用于函数的单调性、极值、最值等常规问题求解的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明等有关导数问题的求解过程又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，这些对培养考生的应用能力和创新意识都大有益处【考点思维脑图考点思维脑图】【重要考点串讲重要考点串讲】一、函数一、函数1函数及其表示函数及其表示(1)概念：非空数集非空数集的对应（中有唯一与中的对应）Af 对应关系BByAx(2)三要素：定义域、值域()、对应关系ACCBf(3)表示方法：解析法、图象法、列表法求函数定义域的主要依据分式的分母不为零；偶次方根被开方数不小于零；对数函数的真数必须大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于l；由有限个基本初等函数运算合成的函数，其定义域一般是各基本初等函数定义域的交集；由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义【注意】对于复合函数的定义域，应遵循先内后外的原则，若已知 ( )yf g x的定义域为，则的定义域由求出，若已知的( )f x , a b ( )f g x( )ag xb ( )f g x定义域为 ，则的定义域为在 上的值域 , a b( )f x( )g x , a b求函数值域的常用方法直接法：利用常见函数的值域来求，如：()的定义域为，值域yaxb0a R为()的定义域为，当时，值域为R2( )f xaxbxc0a R0a ；当时，值域为；24 |3acby ya0a 24 |3acby ya配方法：利用二次函数的特征来求值域，常化为，2( )f xaxbxc的形式；( , )xm n换元法：利用化归思想通过变量代换转化为容易求值域的函数；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数的有界性来求值域；基本不等式法：转化成的形式，利用基本不等式来求值域不(0)kyxkx过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性，进而求其最值和值域要特别注意定义域对值域的制约作用；数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围；分离常数法：即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域2函数的性质函数的性质(1)单调性 注意：先求出定义域，单调区间是定义域的子集(2)判断方法：定义法：设，且，作差，确定差值的符号若为12,x xA12xx12()()f xf x负，；若为正，( )f x A( )f x A导数法：若在区间内可导，则( )f x( , )a b( )0( ) ( )0( )fxf x fxf x A A 【提醒】复合函数的单调性遵循“同增异减”法则 ( )yf g x一些有用的结论在公共定义域内：增+增=增；减+减=减；增减=增；减增=增函数在，上单调递增；(0,0)byaxabx(,b a ,)b a在，上单调递减,0)b a(0,b a单调函数的等价定义：，且，12,x xA12xx12 1212 12()()( )0 ()()()0f xf xf xf xf xxxxxA12 1212 12()()( )0 ()()()0f xf xf xf xf xxxxxA(2)奇偶性对于先判定函数的定义域是否关于原点对称奇偶性定义：对于函数的定义域内任意一个都有( )f xx()( )fxf x 图象特征：关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同【注意】若的定义域中有0，则必有，但是为奇函数的( )f x(0)0f(0)0f( )f x必要不充分条件偶函数定义：对于函数的定义域内任意一个都有( )f xx()( )fxf x图象特征：关于轴对称，且在对称区间上的单调性相反y判定函数奇偶性的常用方法及思路定义法N()( ) Yfxf xAA非奇非偶函数定义域关于确定定义域确定原点对称与的关 系结论图象法( )( )( )f xf xyf xA A关于原点对称为奇函数的图象关于轴对称为偶函数性质法在公共定义域内：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇【提醒】判断分段函数的奇偶性，要注意定义域内取值的任意性，应分段讨论，讨x论时可依据的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以x( )f x()fx利用图象判断(3)周期性周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现，注意从代数变换角度分析抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：若，则的一个周期是()()f xaf xb()ab( )f x|Tab若，则的一个周期是()( )f xaf x ( )f x2|Ta若或，则的一个周期是1()( )f xaf x1()( )f xaf x ( )f x2|Ta(4)函数图象的对称性一个函数图象的对称性a若满足，即,则的图象关( )yf x()()f axf ax( )(2)f xfax( )f x于直线对称xab若满足，则的图象关于直线对( )yf x()()f axf bx( )f x2abx称c若满足，则的图象关于点成中心对( )yf x( )2(2)f xbfax( )f x( , )a b称两个函数图象的对称性a函数与的图象的对称轴为，并非直线()yf ax()yf ax0x xab函数与的图象的对称轴为()yf ax()yf bx2baxc函数与的图象关于点 对称()yf xab()yf axb ( , )a b(5)图象变换平移变换；0| | 0| |( )()hh hhyf xyf xh ，右移个单位 ，左移个单位0| | 0| |( )( )kk kkyf xyf xk ，右移个单位 ，左移个单位对称变换；( )( )xyf xyf x 关于轴对称；( )()yf xyfx 关于y轴对称；( )(2)x ayf xyfax 关于对称( )()yf xyfx 关于原点对称伸缩变换；10111( )()yf xyfx ，横坐标伸长到原来的倍，横坐标缩短到原来的倍01 1( )( )AA AAyf xyAf x ，纵坐标缩短到原来的倍 ，纵坐标伸长到原来的倍翻折变换a左右翻折变换：( )( )(|)f xyyf xyfx先画出在轴右侧的图象 再将此部分图象关于y轴翻折b上下翻折变换：( )( )|( )|f x xxyf xyf x 先画出的图象 再将轴下方的图象关于轴翻折二、函数的图象和性质二、函数的图象和性质1二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质0a 0a 图象定义域R值域24,)4acb a24(,4acb a单调性在上递减(,2b a 在上递增,)2b a在上递增(,2b a 在上递减,)2b a奇偶性时为偶函数，时非奇非偶函数0b 0b 图象特点对称轴：；顶点2bxa 24(,)24bacb aa2指数函数、对数函数的图象和性质指数函数、对数函数的图象和性质指数函数(0,xyaa1,)axR对数函数logayx(0,a 1,)axR值域(0,)(,) 图象不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性时为增函数，1a 时为减函数01a时为减函数，1a 时为增函数01a3幂函数幂函数的图象和性质的图象和性质ayx(1)所有的幂函数在上都有定义，且都过点(0,)(1,1)(2)时，图象通过原点，并且在上是增函数，0a 0,)特别地，当时，图象下凸；当时，图象上凸1a 01a(3)时，图象在上是减函数，在第一象限内，当从右边趋向原点时，0a (0,)x图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限yyxx地逼近轴正半轴x4对数的运算性质对数的运算性质；logloglogaaaMMNNlog ()loglogaaaMNMN；loglogn aaMnMlogaNaN（且，）0a 1a 0M 0N 换底公式：（,均大于零且不等于1，） logloglogc a cbbaac0b 三、函数与方程三、函数与方程1函数的零点函数的零点方程有实数根的图象与轴有交点有零点( )0f x ( )yf xx( )yf x【注】有根，函数才有零点，一个实数，即的图象与轴交点的横坐( )yf xx标函数的零点问题与的图象交点问题( )( )( )yF xf xg x( )yf x( )yg x2二次函数二次函数()的图象与零点的关系的图象与零点的关系2yaxbxc0a 0 0 0 二次函数2yaxbxc()的图象0a 与轴的交点x，1( ,0)x2(0)x1( ,0)x无交点零点个数2103判断函数零点的主要方法判断函数零点的主要方法零点定理法：根据连续函数满足，判断函数在内( )yf x( )( )0f af b( , )a b存在零点数形结合法：函数的零点是函数的图象与轴交点的横坐标，( )yf x( )f xx【注意】利用零点定理法求解时，满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点四、导数四、导数1导数的几何意义导数的几何意义(1) 在处的导数就是在点处的切线的斜率，( )yf x0xx( )fx( )yf x00(,()xf x即0()kfx(2)在点处的切线方程为( )yf x00(,()xf x000()()()yf xfxxx【提醒】求曲线的切线时要注意“过点的切线”与“在点处的切线”的差异，过PP点的切线，点不一定是切点，点也不一定在已知曲线上，而在点处的切线，必PPPP以点为切点P2导数的正负与函数单调性的关系导数的正负与函数单调性的关系(l)是为增函数的充分不必要条件，即为增函数，反( )0fx( )f x( )0fx( )f x之不成立如函数在上单调递增，但3( )f xx(,) ( )0fx(2)是为增函数的必要不充分条件，即在内单调递增( )0fx( )f x( )f x( , )a b，反之不成立当函数在某个区间内恒有时，则为常数，不具( )0fx( )0fx( )f x有单调性3导数的运算法则导数的运算法则. ( )( )( )( )f xg xfxg x. ( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x( )( )Cf xCfx()2( )( ) ( )( )( )( )( )f xfx g xf x g x g xgx ( )0g x ()21( )( )( )g x g xgx ( )0g x 复合函数求导：设，则( )yf u( )uxxuxyy u 4导数的应用导数的应用(1)利用导数研究函数单调性的思维导图(2)利用导数研究函数极值的思维导图(3)利用导数研究函数最值的思维导图求在闭区间上的最值( )f x , a b求导数求内所有使的根求出根所对应的函数值与端( )fx( , )a b( )0fx点处的函数值比较大小得结论求在非闭区间上的最值( )f x求导数判断的单调性下结论( )fx( )f x【注意】(1)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(2)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值【方法技巧突破方法技巧突破】必考点必考点1 有关函数图象问题的求解有关函数图象问题的求解【典例 1】(2017 全国卷)函数的部分图像大致为sin2 1 cosxyx【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，排除sin2 1 cosxyxx0y D；当时，因为，所以，故1x sin2 1 cos2y 22sin20cos20，排除A故选C0y 【思路点拨】破解此类由函数的解析式判断函数的图象问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点，排除不适合的选项，从而得出合适的选项【典例 2】(2016 全国卷) 函数在2,2的图像大致为2| |2xyxeA BC D【解析】当时，令函数，则，易知0x02( )2xf xxe( )4xfxxe( )fx在0，）上单调递增，在，2上单调递减，ln4ln4又，(0)10f 1( )202fe(1)40fe2(2)80fe所以存在是函数的极小值点，即函数在上单调递减，01(0, )2x ( )f x( )f x0(0,)x在上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D0(,2)x【思路点拨】破解已知函数的解析式判断函数的图象题时，不仅要会用特殊点法排除，而且要会利用导数法，判断图象的单调性或利用导数的几何意义去识别【典例3】若函数且的图象如图所示，则下列函数图象正确的是logayx(0a 1)a A B C D【解析】因为函数的图象过点，所以，解得，所以函数logayx(3,1)1log 3a3a 的图象不可能过点，排除A；函数的图象不可能过3xy(1,3)33()yxx 点，排除C；函数的图象不可能过点，排除D故选B(1,1)3log ()yx( 3, 1)【方法探究】求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，求出参数的值；二是利用特殊点法或函数的单调性来判断函数图象总之，有关函数图象的判断题常利用“特殊点”与“函数的性质”来求解【典例4】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线OAPx，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为将点到直线OAOPPOAMM的距离表示成的函数，则在的图象大致为 ( )OPx( )f x( )yf x0, A B C D【解析】由题意知,，当时,； ( ) |cos| sinf xxx0,2x1( )cossinsin22f xxxx当时，故选B(, 2x1( )cossinsin22f xxxx 【典例5】已知函数，则的图象大致为1( )ln(1)f xxx( )yf x【解析】解法一（函数性质法）函数满足，且，即 ( )f x10x ln(1)0xx1x 且设，则由于，ln(1)0xx( )ln(1)g xxx1( )11g xx10x 显然当时，当时，所以函数在10x ( )0g x0x ( )0g x( )g x0x 处取得极大值，也是最大值，故，当且仅当时，( )(0)0g xg0x ( )0g x 所以函数的定义域是，且函数在上的值( )f x( 1.0)(0,)( )g x( 1.0)(0,)域为，故函数的值域也是，且在附近函数值无限小，观察(,0)( )f x(,0)0x 各选项中的函数图象，只有选项B中的图象符合要求，解法二（特殊值检验法） 当时，函数无意义，排除选项D中的图象，0x 当时，11xe11(1)011ln(1 1)(1)fee ee 除选项A、C中的图象，故只能是选项B中的图象【方法探究】研究函数的图象要从研究函数的性质入手，即研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点等，通过函数的性质判断函数图象的大致形状，以选择题形式出现的函数图象问题，宜采用排除法，排除的依据主要是函数的定义域、单调性、奇偶性、函数图象的变换、特殊值等必考点必考点2 有关函数性质问题的求解有关函数性质问题的求解【典例 1】(2017 天津)已知奇函数在 R 上是增函数，若( )f x( )( )g xxf x，则 a，b，c 的大小关系为2( log 5.1)ag0.8(2)bg(3)cgA B C Dabccbabacbca【解析】通解通解 由为奇函数，知为偶函数因为在上单调递增，( )f x( )( )g xxf x( )f xR，所以当时，>0，所以在(0，+)上单调递增，且>(0)0f0x ( )f x( )g x( )g x0又，22( log 5.1)(log 5.1)agg0.8(2)bg(3)cg，所以，选项 C 符合0.8 22222log 4log 5.1log 83bac优解优解 取，则为偶函数且在(0，+)上单调递增，然后进行判断可( )f xx2( )g xx知，故选 Cbac【思路点拨】特值法在处理选择题时不仅简化了运算，还大大地提高了正确率，解题时要学会运用【典例 2】(2017 全国卷)已知函数，则( )lnln(2)f xxxA在单调递增 B在单调递减( )f x(0,2)( )f x(0,2)C的图像关于直线对称 D的图像关于点对称( )yf x1x ( )yf x(1,0)【解析】解法一 由题易知，的定义域为(0，2)，( )lnln(2)f xxx，由复合函数的单调性知，2( )ln (2)ln (1)1f xxxx函数在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除 A，B；( )lnln(2)f xxx又，1113( )lnln(2)ln2224f3333( )lnln(2)ln2224f所以，所以排除 D，故选 C133( )( )ln224ff解法二 由题易知，的定义域为(0，2)，( )lnln(2)f xxx，由，得；由，得，所以2(1)( )(2)xfxxx( )0 02fx x01x( )0 02fx x12x函数在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除 A，B；( )lnln(2)f xxx又，1113( )lnln(2)ln2224f3333( )lnln(2)ln2224f所以，所以排除 D，故选 C133( )( )ln224ff【方法探究】破解此类问题需注意：一是定义域优先意识，有关函数的单调性、奇偶性的研究，需先考虑函数的定义域；二是判断复合函数的单调性，注意“同增异减”在解题中的应用；三是不要混淆函数中的中心对称与轴对称【典例3】(2016天津) 已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增若( )f x(,0)实数满足，则的取值范围是_a1(2)(2)affa【解析】由是偶函数可知，单调递增；单调递减，( )f x(,0)(0,)又，|1|(2)(2)aff(2)( 2)ff可得，即，|1|22a1|1|2a13 22a【典例4】函数的定义域为 2 21( ) (log)1f x x A B C D1(0, )2(2,)1(0, )(2,)21(0, 2,)2【解析】，即或，解得或，故所求2 2(log)10x 2log1x 2log1x 2x 102x的定义域是选C1(0, )(2,)2【方法探究】已知函数的解析式求解函数定义域的具体步骤：写出使函数式有意义的不等式（组） ；解不等式（组） ；写出定义域（即不等式（组）的解集） 如本题，按照此步骤即可轻松解题常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子：分式、根式、对数式，本题中这三类式子都含有【典例5】函数的单调递减区间为 2 2( )log (1)f xx【解析】复合法：根据对数函数的单调性求解由得或，即函数210x 1x 1x 的定义域为令，因为在上为增( )f x(, 1)(1,) 21tx2logyt(0,)函数，在上是减函数，所以函数的单调递减区21tx(, 1) 2 2( )log (1)f xx间为(, 1) 【方法探究】解答此类试题可采用复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数，如本题的求解【答题提醒】1求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题2函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接，【典例6】设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下( )f x( )g x( )f x( )g x列结论中正确的是 ( )A是偶函数 B是奇函数( ) ( )f x g x|( )|f x( )g xC是奇函数 D是奇函数( )f x|( )|g x|( ) ( )|f x g x【解析】因为奇函数，为偶函数，故为奇函数，为偶函( )f x( )g x( ) ( )f x g x( )f x|( )|g x数，为奇函数，为偶函数，故选C|( )|f x( )g x|( ) ( )|f x g x【典例7】(1)偶函数的图象关于直线对称，则= ( )yf x2x (3)3f( 1)f (2)已知偶函数在上单调递减，若，则的取值( )f x0,)(2)0f(1)0f xx范围是 【解析】(1)因为的图象关于直线对称，所以，( )f x2x ( )(4)f xfx，又，所以，()(4)fxfx()( )fxf x( )(4)f xfx则( 1)(4 1)(3)3fff(2)因为为偶函数，所以，故不等式可化为( )f x()( )(|)fxf xfx(1)0f x因为在上单调递减，且，所以，即(|1|)0fx( )f x0,)(2)0f|1| 2x，解得212x 13x 所以的取值范围是x( 1,3)【方法探究】函数性质的综合应用主要包括求值与解不等式两个方面：求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值，如本题的第(1)题；解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系求解，如本题的第(2)题【典例8】已知，则 ( )1 22a21log3b 1 21log3c A B C Dabcacbcabcba【解析】，1 22a(0,1)21log3b (,0) 1 21log3c 2log 3(1,)所以选Ccab【方法探究】比较指数函数、对数函数、幂函数值的大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较，本题利用指数函数、对数函数的单调性及特殊点的函数值来解答必考点必考点3 函数零点问题的求解函数零点问题的求解【典例 1】(2017 全国卷)已知函数有唯一零点，则=211( )2()xxf xxxa ee aA B C D11 21 31 2【解析】解法一由，得211( )2()xxf xxxa ee =，221(2) 1(2)(2)2(2)()xxfxxxa ee 2112()xxxxa ee 所以，即为图象的对称轴由题意，有唯一零点，(2)( )fxf x1x ( )f x( )f x所以的零点只能为，即，( )f x1x 21 11 1(1)12 1()0fa ee 解得故选 C1 2a 解法二 令，则方程有唯一解，( )0f x 112()2xxa eexx 设，则与有唯一交点，2( )2h xxx 11( )xxg xee ( )h x( )g x又，当且仅当时取得最小值 2111 11( )2xxx xg xeeee 1x 而，此时时取得最大值 1，2( )(1)11h xx 1x 有唯一的交点，则选C ( )( )ag xh x1 2a 【典例2】函数的零点个数是 22,0( )26ln ,0xxf xxx x【解析】当时，令，解得0x220x 2x （函数单调性法函数单调性法）当时，因为，0x ( )26lnf xxx1( )20fxx所以函数在上单调递增，( )26lnf xxx(0,)因为，(1)26ln140f (3)ln30f所以函数在 上有且只有一个零点( )26lnf xxx(0,)综上，函数的零点个数为2( )f x（数形结合法数形结合法）当时，由，得=0，即0x ( )0f x 26lnxxln62xx如图，分别作出函数和的图象，显然，由图可知两函数的图象只lnyx62yx有一个交点，且在轴的右侧，故当时，只有一个解，综上，函数y0x ( )0f x 共有2个零点( )f x【方法探究】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点( )0f x (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，( )f x , a b且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有( )( )0f af b多少个零点(3)数形结合法：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【技巧点拨】解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座” ，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围的大前提，以及函数单调性和数形结合在判断零点个数时的强大功能【典例3】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，( )f xR0,3)x若函数在区间上有10个零点21( ) |2|2f xxx( )yf xa 3,4（互不相同） ，则实数的取值范围是 a【解析】函数在区间 上有互不相同的10个零点，即函数，( )yf xa 3,4( )yf x与的图象有10个不同交点，在同一平面直角坐标系中作出函数 3,4x ya在一个周期内的图象如图，( )f x可知当时满足题意，102a【典例 4】(2016 全国卷) 已知函数有两个零点2( )(2)(1)xf xxea x(1)求 a 的取值范围；(2)设，是的两个零点，证明：1x2x()122xx【解析】(1)'( )(1)2 (1)(1)(2 )xxfxxea xxea（i）设0a ，则( )(2)xf xxe，( )f x只有一个零点（ii）设0a ，则当(,1)x 时，'( )0fx ；当(1,)x时，'( )0fx 所以( )f x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增又(1)fe ，(2)fa，取b满足0b 且ln2ab ，则223( )(2)(1)()022af bba ba bb，故( )f x存在两个零点（iii）设0a ，由'( )0fx 得1x 或ln( 2 )xa若2ea ，则ln( 2 )1a，故当(1,)x时，'( )0fx ，因此( )f x在(1,)上单调递增又当1x 时，( )0f x ，所以( )f x不存在两个零点若2ea ，则ln( 2 )1a，故当(1,ln( 2 )xa时，'( )0fx ；当(ln( 2 ),)xa时，'( )0fx 因此( )f x在(1,ln( 2 )a上单调递减，在(ln( 2 ),)a上单调递增又当1x 时，( )0f x ，所以( )f x不存在两个零点综上，a的取值范围为(0,)(2)不妨设12xx，由(1)知12(,1),(1,)xx ，22(,1)x ，又( )f x在(,1)上单调递减，所以122xx等价于12()(2)f xfx，即2(2)0fx由于222 222(2)(1)xfxx ea x ，而22 222()(2)(1)0xf xxea x，所以222 222(2)(2)xxfxx exe 设2( )(2)xxg xxexe ，则2'( )(1)()xxg xxee所以当1x 时，'( )0g x ，而(1)0g，故当1x 时，( )0g x 从而22()(2)0g xfx，故122xx【思路点拨】本题主要考查导数的应用，意在考查考生的运算求解能力以及逻辑思维能力(1)由函数有两个零点，得关于的不等式求解；(2)构造函数证明不等式a【方法探究】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 （如本题）必考点必考点4 利用导数研究函数的性质问题利用导数研究函数的性质问题【典例 1】若函数在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是( )lnf xkxxA B C D, 2 , 1 2,1,【解析】，在（1，+）单调递增，( )lnf xkxx1( )fxkx( )f x所以当 时，恒成立，即在（1，+）上恒成立，1x 1( )0fxkx1kx，所以，故选D1x 101xk1【技巧点拨】由函数在某区间的单调性求参数范围的问题，可转化为或( )0fx恒成立的问题，要注意等号是否成立( )0fx【典例 2】(2016 北京) 设函数，曲线在点处的切线( )a xf xxebx( )yf x(2,(2)f方程为(1)4yex(1)求的值；, a b(2)求的单调区间( )f x【解析】(1)因为，所以.bxxexfxa)(bexxfxa)1 ()(依题设，即 , 1)2(, 22)2(efef, 1, 222222ebeebeaa解得.eba , 2(2)由(1)知.exxexfx2)(由即知，与同号.)1 ()(12xxexexf02xe)(xf 11xex令，则.11)(xexxg11)(xexg所以，当时，在区间上单调递减；) 1 ,(x0)( xg)(xg) 1 ,(当时，在区间上单调递增.), 1 ( x0)( xg)(xg), 1 ( 故是在区间上的最小值，1) 1 (g)(xg),(从而.),(, 0)(xxg综上可知，故的单调递增区间为.0)( xf),(x)(xf),(【思路点拨】用导函数判断函数的单调性的一般步骤：首先，确定函数的定义域；其次，求导函数；最后，解不等式>0，得函数f(x)的单调递增区间，解不等式( )fx( )fx<0，得函数的单调递减区间( )fx)(xf【典例3】设函数，其中23( )1 (1)f xa xxx 0a (1)讨论在其定义域上的单调性；( )f x(2)当时，求取得最大值和最小值时的的值0,1x( )f xx【解析】(1)的定义域为，( )f x(,) 2( )123fxaxx 令，得，( )0fx1143 3ax 2143 3ax 12xx所以12( )3()()fxxxxx 当或时，；当时，1xx2xx( )0fx12xxx( )0fx所以在和上单调递减，在上单调递增( )f x1(,)x2(,)x 12( ,)x x(2)因为，所以,.0a 10x 20x 当时，由(1)知，在上单调递增，4a21x ( )f x0,1所以在和处分别取得最小值和最大值( )f x0x 1x 当时，由(1)知，在上单调递增，在上单调递40a21x ( )f x20,x2,1x减，所以在处取得最大值，( )f x2143 3axx 又，(0)1f(1)fa所以当时， 在处取得最小值；10a( )f x1x 当时,在和处同时取得最小值：1a ( )f x0x 1x 当时，在处取得最小值40a( )f x0x 【思路点拨】(1)求出导函数，令，求出，即2( )123fxaxx ( )0fx1x2x可写出单调区间；(2)利用(1)中的结果，分两类，确定函数在上的单调性，即可( )f x0,1分别求出两种情况下取得最大值和最小值时的的值( )f xx【方法探究】1利用导数判断函数单调性的关键在于准确判断导函数的符号，对于求已知函数在给定区间上的单调性，可利用导数的知识，将其转化为其导函数在给定( )f x区间内的零点，从而构造不等式进行求解2由函数