2018-2019年度数学新学案同步必修5第二章疑难规律方法.doc

''1 数列中的数学思想数学思想在以后的学习中起着重要的作用，若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解.1.方程思想例 1 在等比数列an中，已知 a1a2a37，a1a2a38，求通项 an.分析 欲求通项 an，需求出 a1及 q，为此根据题设构造关于 a1与 q 的方程组即可求解.解 方法一 a1a3a ，a1a2a3a 8，a22.2 23 2从而Error!Error!解得 a11，a34 或 a14，a31.当 a11 时，q2；当 a14 时，q .12故 an2n1或 an23n.方法二 由等比数列的定义知 a2a1q，a3a1q2代入已知，得Error!Error!即Error!Error!即Error!Error!将 a1 代入得 2q25q20，2qq2 或 q ，12由得Error!Error!或Error!Error!an2n1或 an23n.2.分类讨论思想例 2 已知an是各项均为正数的等差数列，且 lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若 bn，n1,2,3，证明：bn为等比数列.21na''证明 由于 lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，所以 2lg a2lg a1lg a4，则 a a1·a4.2 2设等差数列an的公差为 d，则有(a1d)2a1(a13d)，整理得 d2da1，从而 d(da1)0.(1)当 d0 时，数列an为常数列，又 bn，则bn也是常数列，21na此时bn是首项为正数，公比为 1 的等比数列.1a2(2)当 da10 时，则 a2na1(2n1)dd(2n1)d2nd，所以 bn·，21na12d12n1这时bn是首项为 b1，公比为 的等比数列.12d12综上，bn为等比数列.3.特殊化思想例 3 在数列an中，若k(k 为常数)，nN*，则称an为“等差比数列”.an2an1an1an下列是对“等差比数列”的判断：k 不可能为 0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；等差比数列中可以有无数项为 0.其中正确的判断是( )A. B. C. D.分析 本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解.解析 数列 a，a，a(a0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足k，an2an1an1an即不是等差比数列，故、不正确.故选 D.答案 D''4.整体思想例 4 在等比数列an中，a9a10a(a0)，a19a20b，则 a99a100_.分析 根据题设条件可知q10 ，a19a20a9a10ba而q90，故可整体代入求解.a99a100a9a10解析 设等比数列an的公比为 q，则q10 ，a19a20a9a10ba又q90(q10)99，a99a100a9a10(ba)故 a99a1009(a9a10).(ba)b9a8答案 b9a82 求数列通项的四大法宝1.公式法题设中有 an与 Sn的关系式时，常用公式anError!Error!来求解.例 1 已知数列an的前 n 项和 Sn3n2，求其通项公式 an.解 当 n1 时，a1S13121；当 n2 时，anSnSn13n2(3n12)3n3n12×3n1，又 a112×311，所以数列an的通项公式 anError!Error!2.累加法若数列an满足 anan1f(n1)(n2)，且 f(1)f(2)f(n1)可求，则可用累加法求通项.例 2 已知数列an满足 a11，an3n1an1(n2)，求其通项公式 an.解 由已知，得 anan13n1(n2)，所以 a2a13，a3a232，a4a333，anan13n1，''以上各式左右两边分别相加，得ana1332333n1，所以 an1(n2)，313n1133n12又 n1 时，a11，所以 an(nN*).31123n123.叠乘法若数列an满足f(n1)(n2)，其中 f(1)·f(2)··f(n1)可求，则可用叠乘法求通项.anan1例 3 已知数列an中，a13，anan1(an0，n2)，求其通项公式 an.3n43n1解 由 a13，anan1，得，3n43n1anan13n43n1所以 ， ，(n2)，以上各式左右两边分别相a2a125a3a258a4a3811a5a41114anan13n43n1乘，得，ana123n1所以 an(n2)，63n1又 a13，所以 an(nN*).63 × 1163n14.构造法当题中出现 an1panq(pq0 且 p1)的形式时，把 an1panq 变形为an1p(an)，即 an1pan(p1)，令 (p1)q，解得 ，从而构造出等比qp1数列an.例 4 数列an满足 a11，an1 an3(nN*)，求其通项公式 an.14解 设 an1t (ant)，则 an1 an t，141434与已知比较，得 t3，所以 t4，34故 an14 (an4)，14''又 a141430，故数列an4是首项为3，公比为 的等比数列，因此14an43×n1，(14)即 an43×n1(nN*).(14)''3 如何研究数列的单调性和最大(小)项研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性例 1 已知数列an的通项公式为 annn1，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项(79)的项数；若无，说明理由.解 an1an(n1)·n2nn1n1·，当 n>3 时，an1an0.综上，可知an在 n1,2,3时，单调递增；在 n4,5,6,7，时，单调递减.所以存在最大项，且第 4 项为最大项.点评 之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意 x1 1，即 >3 时，数列an也是单调递增的.(2)2故 的取值范围为(3，).正解 2 因为数列an是递增数列，所以 an1an>0 (nN*)恒成立.又 ann2n (nN*)，所以(n1)2(n1)(n2n)>0 恒成立，即 2n1>0.所以 >(2n1) (nN*)恒成立.而 nN*时，(2n1)的最大值为3(n1 时)，所以 的取值范围是(3，).温馨点评 利用函数观点研究数列性质时，一定要注意数列定义域是1，2，3，4，n，或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错.2.忽视数列与函数的区别而致错例 2 设函数 f(x)Error!Error!数列an满足 anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实数 a的取值范围是_.''错解 因为数列an是递增数列，且点(n，an)在函数 f(x)的图象上，所以分段函数 f(x)是递增函数，故实数 a 满足不等式组Error!Error!解得 0 时，a11 时，a8180°应该舍掉.正解 凸 n 边形内角和为(n2)×180°，所以 120n×5(n2)×180，nn12解得 n9 或 n16.当 n9 时，最大内角为 120°8×5°160°180°舍去.所以凸 n 边形的边数为 9.温馨点评 凸 n 边形是一个明确的几何概念，是本题中容易忽略的一个条件.利用数列知识解实际问题时，一定要注意所得结果的实际含义，必要时作出取舍.6.忽视等差数列前 n 项和公式的基本特征而致错''例 6 已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，且对一切正整数 n 都有SnTn，试求的值.5n32n7a9b9错解 设 Sn(5n3)k，Tn(2n7)k，k0，则 a9S9S8(5×93)k(5×83)k5k，b9T9T8(2×97)k(2×87)k2k，所以 .a9b952点拨 此解答错在根据条件，SnTn5n32n7设 Sn(5n3)k，Tn(2n7)k，这是把等差数列前 n 项和误认为是关于 n 的一次函数，没有准确把握前 n 项和公式的特点.正解 因为an和bn是公差不为 0 的等差数列，故设 Snn(5n3)k，Tnn(2n7)k，k0，则a9S9S89×(5×93)k8×(5×83)k88k，b9T9T89×(2×97)k8×(2×87)k41k，所以.a9b98841温馨点评 等差数列的前 n 项和 Sn n2n，当 d0 时，点(n，Sn)在二次函数 f(x)d2(a1d2) x2x 的图象上.当 d0 时，Snna1，但是本题不属于这种情况d2(a1d2).(否则SnTnna1nb1a1b1与SnTn5n32n7矛盾)7.等差数列的特点考虑不周全而致错例 7 在等差数列an中，已知 a120，前 n 项和为 Sn，且 S10S15，求当 n 取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值.错解 设公差为 d，S10S15，10×20d15×20d，10 × 9215 × 142''得 120d200，即 d ，53an20(n1)· ，53当 an>0 时，20(n1)· >0，n0 是不正确的，事实上应解 an0，an10.正解 设等差数列an的公差为d.由 a120，S10S15，得10×20d15×2010 × 92d，解得公差 d .15 × 14253S10S15，S15S10a11a12a13a14a150，a11a15a12a142a13，a130.公差 d0，a1，a2，a11，a12均为正数，而 a14及以后各项均为负数.当 n12 或 13 时，Sn有最大值为 S12S1312×20×130.12 × 112(53)温馨点评 求等差数列前 n 项和最值的关键是分清正负项，找准正负项的分界点，尤其是数列中含有零项时，注意答案的全面性.8.忽略题目中的隐含条件而致错例 8 已知数列1，a1，a2，4 成等差数列，1，b1，b2，b3，4 成等比数列，求的值.a2a1b2错解 1，a1，a2，4 成等差数列，设公差为 d，''则 a2a1d (4)(1)1.131，b1，b2，b3，4 成等比数列，b (1)×(4)4，b2±2.2 2当 b22 时， ，a2a1b21212当 b22 时， .a2a1b21212± .a2a1b212点拨 注意 b2的符号已经确定，且 b2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误.正解 1，a1，a2，4 成等差数列，设公差为 d，则 a2a1d (4)(1)1，131，b1，b2，b3，4 成等比数列，b (1)×(4)4，2 2b2±2.若设公比为 q，则 b2(1)q2，b2<0.b22， .a2a1b21212温馨点评 若设数列1，b1，b2，b3，4 的公比为 q，则 b21q2<0，这是题目中的隐含条件.利用等比中项的概念解题时要注意这一现象.9.求和时项数不清而致错例 9 求 12222n的和.错解 12222n2n1.12n12点拨 错因在于没有搞清项数，首项为 120，末项为 2n，项数应为 n1.正解 这是一个首项为 1，公比为 2 的等比数列前 n1 项的和，所以 12222n2n11.12n112''温馨点评 数列求和时，弄清项数是关键，等比数列前 n 项和 Snq1中的 n 指a11qn1q的就是数列的项数.10.利用等比数列求和公式忽视 q1 的情形而致错例 10 已知等比数列an中，a34，S312，求数列an的通项公式.错解 设等比数列的公比为 q，则Error!Error!解得 q .12所以 ana3qn34·n3n5.(12)(12)点拨 上述解法中忽视了等比数列前 n 项和公式中 q1 这一特殊情况.正解 当 q1 时，a34，a1a2a34，S3a1a2a312，所以 q1 符合题意，an4.当 q1 时，Error!Error!解得 q ，ana3qn3n5.12(12)故数列通项公式为 an4 或 ann5.(12)温馨点评 利用等比数列前 n 项和公式时，要注意判断公比 q 是否等于 1，防止漏掉 q1这种情况.以上十例论述了数列中常见的一些错误及其原因，当然数列解题中的错误原因还有未尽之处，本文旨在抛砖引玉，使同学们在学习中养成良好的纠错习惯.集“错”成册，常翻常阅，引以为戒，警钟长鸣.