2004研究计划生数学二真命题及其详解.doc

2004 年考硕数学（二）真题年考硕数学（二）真题一一. 填空题（本题共填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. ）（1）设, 则的间断点为 .2(1)( )lim1nnxf xnx( )f xx （2）设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取( )y x333131xttytt( )yy xx值范围为_.（3）_.121dxx x （4）设函数由方程确定, 则_.( , )zz x y232xzzey3zz xy（5）微分方程满足的特解为_.3()20yxdxxdy16 5xy（6）设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩210120001A B2ABABAEAA阵, 是单位矩阵, 则_-.EB 二二. 选择题（本题共选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 32 分分. 每小题给出的四个选项中，只有一每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把时的无穷小量, , 排0x20cosxt dt20tanxtdt30sinxt dt列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A） （B）,. ,. （C） （D） ,. ,. （8）设, 则( )(1)f xxx（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.0x ( )f x(0, 0)( )yf x（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.0x ( )f x(0, 0)( )yf x（C）是的极值点, 且是曲线的拐点.0x ( )f x(0, 0)( )yf x（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 0x ( )f x(0, 0)( )yf x （9）等于22212lim ln(1) (1)(1)n nn nnn（A）. （B）.221ln xdx212ln xdx（C）. （D） 212ln(1)x dx221ln (1)x dx （10）设函数连续, 且, 则存在, 使得( )f x(0)0f 0（A）在内单调增加.( )f x(0,)（B）在内单调减小.( )f x(, 0)（C）对任意的有.(0,)x( )(0)f xf（D）对任意的有. (, 0)x ( )(0)f xf（11）微分方程的特解形式可设为21 sinyyxx （A）.2( sincos )yaxbxcx AxBx（B）.2(sincos )yx axbxcAxBx（C）.2sinyaxbxcAx（D） 2cosyaxbxcAx （12）设函数连续, 区域, 则等于( )f u22( , )2Dx y xyy()Df xy dxdy（A）.221111()xxdxf xy dy（B）.222002()y ydyf xy dx（C）.2sin200(sincos )df rdr（D） 2sin200(sincos )df rrdr（13）设是 3 阶方阵, 将的第 1 列与第 2 列交换得, 再把的第 2 列加到第 3AABB列得, 则满足的可逆矩阵为CAQCQ（A）. （B）. 010100101 010101001 （C）. （D）. 010100011 011100001 （14）设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有A B0AB （A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.AB（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.AB（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.AB（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关. AB 三三. 解答题（本题共解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15） （本题满分 10 分）求极限.3012coslim13xxx x（16） （本题满分 10 分）设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意( )f x, 0, 22( )(4)f xx x的都满足, 其中为常数.x( )(2)f xk f xk()写出在上的表达式; ()问为何值时, 在处可导.( )f x 2, 0k( )f x0x （17） （本题满分 11 分）设,()证明是以为周期的周期函数;()求的值域.2( )sinxxf xt dt( )f x( )f x（18） （本题满分 12 分）曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕2xxeey0,(0)xxt t0y 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.x( )V t( )S txt( )F t()求的值; ()计算极限.( ) ( )S t V t( )lim( )tS t F t（19） （本题满分 12 分）设, 证明.2eabe22 24lnln()babae（20） （本题满分 11 分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为9000kg.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为700/km h).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?66.0 10k 注注 表示千克,表示千米/小时.kg/km h（21） （本题满分 10 分）设,其中具有连续二阶偏导数,求22(,)xyzf xyef.2 ,zzz xyx y （22） （本题满分 9 分）设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x 试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.a（23） （本题满分 9 分）设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角12314315a aA化.20042004 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析数学二试题解析一一. 填空题填空题（1）0 .【分析分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限x的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.( )f x( )f x【详解详解】显然当时,; 0x ( )0f x 当时, ,0x 2221(1)(1)1( )limlim11nnxnxxnf xnxxxxn所以 ,( )f x0,0 1,0xxx因为 001lim( )lim(0) xxf xfx 故 为的间断点.0x ( )f x（2）.1（，）（或（-，1）【分析分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由 ( ) ( )xx t yy t 定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围.223( ) ( )( )( ) ( ( )d yy t x tx t y t dxx t220d y dxx【详解详解】 ,22222331213311dy dyttdt dxdxttt dt ,222223214113(1)3(1)d yddydtt dtdxdxdxttt令 .220d y dx0t 又 单调增, 在 时, 。(时，331xtt0t (,1)x 0t 时，曲线凸.)1x x(,1（3.2【分析分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解详解 1 1】 .22 1002sectansecsectan21dxttxtdtdtttx x【详解详解 2 2】 .011 20110222111()arcsin21111dxtxdtdttttx xt t （4）.2【分析分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解详解 1 1】在 的两边分别对,求偏导,为的函数.232xzzeyxyz, x y,23(23)xzzzexx,23( 3)2xzzzeyy从而 ,23232 13xzxzze xe232 13xzz ye所以 232313221 3xzxzzze xye【详解详解 2 2】令 23( , )20xzF x y zeyz则 , , 232xzFex2F y23( 3) 1xzFez,2323232322 (1 3)1 3xzxzxzxzF zeexFxee z ,232322 (1 3)1 3xzxzF zy Fyee z 从而 232323313221 31 3xzxzxzzze xyee【详解详解 3 3】利用全微分公式,得23(23)2xzdzedxdzdy2323223xzxzedxdyedz2323(1 3)22xzxzedzedxdy23232322 1 31 3xzxzxzedzdxdyee即 , 23232 1 3xzxzze xe232 1 3xzz ye从而 32zz xy（5）.31 5yxx【分析分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解详解 1 1】原方程变形为 ,211 22dyyxdxx先求齐次方程 的通解:102dyydxx1 2dydxyx积分得 1lnlnln2yxcyc x设为非齐次方程的通解,代入方程得( )yc xx2111( )( )( )222c xxc xc xxxxx从而 , 3 21( )2c xx积分得 ,35 2211( )25c xx dxCxC于是非齐次方程的通解为 5 3211()55yxxCCxx,1615xyC故所求通解为 .31 5yxx【详解详解 2 2】原方程变形为 ,211 22dyyxdxx由一阶线性方程通解公式得11 2221 2dxdxxxyex edxC11lnln2221 2xxex edxC35 2211 25xx dxCxxC,6(1)15yC从而所求的解为 .31 5yxx（6）.1 9【分析分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解详解 1 1】 ,2ABABAE2ABABAE,(2 )AE BAE,21AE B AE.221111 010( 1) ( 1)392 100 001BAE A A 【详解详解 2 2】由,得1AA A11122ABABAEAB A AB A AAA2A ABA BA(2 )A AE BA32AAE BA211 92B AAE 二二. 选择题选择题（7） B【分析分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解详解】 302000sin limlim cosxxxxt dtt dt 3 2201sin2limcosxxx x ,3 200limlim022xxxx x即 .o( )又 ,200030tan limlim sinxxxxtdtt dt 23002tan22limlim011sin22xxxxxxxx 即 .o( )从而按要求排列的顺序为, 故选（B）. 、（8）C【分析分析】求分段函数的极值点与拐点， 按要求只需讨论两方, 的符0x ( )fx( )fx号.【详解详解】 ,( )f x (1),10(1),01xxxxxx ,( )fx12 ,10 12 ,01xx xx ,( )fx2,10 2,01x x 从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点.10x ( )f x10x( )f x(0, 0)又, 时, , 从而为极小值点.(0)0f0 1x 、( )0f x 0x 所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选（C）.0x (0, 0)( )yf x（9）B【分析分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.【详解详解】 22212lim ln(1) (1)(1)n nn nnn2 12lim ln (1)(1)(1)nnn nnn212limln(1)ln(1)(1) nn nnnn11lim 2ln(1)nnii n n102ln(1)x dx2112lnxttdt212ln xdx故选（B）.（10）C【分析分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.( )f x0x 【详解详解】由导数的定义知xyo1211, 0( )(0)(0)lim00xf xffx由极限的性质, , 使时, 有0x( )(0)0f xf x即时, ，0x( )(0)f xf时, ,0x( )(0)f xf故选（C）.（11）A【分析分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解详解】对应齐次方程 的特征方程为0yy,210 特征根为 ,i 对 而言, 因 0 不是特征根, 从而其特解形式可设为2021(1)yyxex 2 1yaxbxc对 , 因 为特征根, 从而其特解形式可设为sin()ix myyxIei2( sincos )yx AxBx从而 的特解形式可设为21 sinyyxx 2( sincos )yaxbxcx AxBx（12）D【分析分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解详解】积分区域见图.在直角坐标系下,2221 (1)01 (1)()()yyDf xy dxdydyf xy dx22111111()xxdxf xy dy故应排除（A） 、 （B）.在极坐标系下, ,cos sinxr yr ,2sin200()(sincos )Df xy dxdydf rrdr故应选（D）.（13） D【分析分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解详解】由题意 , ,010 100 001BA 100 011 001CB ,010100 100011 001001CA 011100001AAQ 从而 ,故选（D）.011 100 001Q （14）A【分析分析】将写成行矩阵, 可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵, 可讨论AAB行向量组的线性相关性.B【详解详解】设 , 记(),ijlmAa()ijm nBb12mAAAA0AB 1112121222 1212nn mmmmnbbb bbbAAAbbb （1）1111110mmnmnmb Ab Ab Ab A由于, 所以至少有一 (),0B 0ijb 1,1imjn 从而由（1）知, ,112210jjijimmb Ab Ab Ab A于是 线性相关.12,mAAA又记 , 12mBBBB 则 0AB 11121121222212mmlllmmaaaB aaaBaaaB 1111221211222211220mmmmlllmma Ba Ba Ba Ba BaBa Ba Ba B 由于,则至少存在一 (),使0A 0ija 1,1iljm ,11220iiijjimma Ba Ba Ba B从而 线性相关,12,mBBB故应选（A）.三三. 解答题解答题（15） 【分析分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.0 0【详解详解 1 1】 原式2 cosln3301limxxxe x202cosln3lim xxx20ln 2cosln3lim xx x（）01sin2coslim2xxx x （）011sin1lim22cos6xx xx 【详解详解 2 2】 原式2 cosln3301limxxxe x202cosln3lim xxx20cos1ln3lim xxx （1）20cos11lim36xx x （16） 【分析分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论.【详解详解】()()当,即时,20x 022x.( )(2)f xk f x2(2)(2)4(2)(4)k xxkx xx()()由题设知 .(0)0f200( )(0)(4)(0)limlim40xxf xfx xfxx . 00( )(0)(2)(4)(0)limlim80xxf xfkx xxfkxx令, 得.(0)(0)ff1 2k 即当时, 在处可导.1 2k ( )f x0x （17） 【分析分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.【详解详解】 ()() ,3 2()sinxxf xt dt设, 则有tu,22()sin()sin( )xxxxf xuduu duf x 故是以为周期的周期函数.( )f x()()因为在上连续且周期为, 故只需在上讨论其值域. 因为sin x(,) 0,( )sin()sincossin2fxxxxx令, 得, , 且( ) 0fx14x23 4x, 3 44()sin24ftdt,55 4433 443()sinsinsin224ft dttdttdt 又 , ,2 0(0)sin1ftdt 3 2( )( sin )1ft dt的最小值是, 最大值是, 故的值域是.( )f x222( )f x22,2（18） 【分析分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者及截面积都是 的函数,然后计t算它们之间的关系.【详解详解】 ()()20( )21tS tyydx22022124xxxxteeeedx ,2022xxteedx ,2 200( )2xxtteeV ty dxdx .( )2( )S t V t()(),22( )2ttx teeF ty20222( )limlim( )2xxttttteedxS t F tee 2 22lim222ttttttteeeeee （19） 【分析分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.【详证详证 1 1】设, 则2 24( )lnxxxe2ln4( )2xxxe,21 ln( )2xxx所以当时, , 故单调减小, 从而当时, xe( )0x( )x2exe,2 2244( )()0xeee即当时, 单调增加.2exe( )x因此, 当时, , 即2eabe( )( )ba22 2244lnlnbbaaee故 .22 24lnln()babae【详证详证 2 2】设, 则22 24( )lnln()xxaxae2ln4( )2xxxe,21 ln( )2xxx时, , 从而当时, xe( )0x( )xA2exe,2 2244( )()0xeee时, 单调增加.2exe( )x时, 。令有2eabe( )( )0xaxb( )0b即 .22 24lnln()babae【详证详证 3 3】证证 对函数在上应用拉格朗日定理, 得2ln x , a b, .222lnlnln()baba ab设, 则,ln( )ttt21 ln( )ttt当时, , 所以单调减小,te( )0t( ) t从而, 即2( )()e ,222lnln2e ee 故 22 24lnln()babae（20） 【分析分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿第二定律,建立微分方程,再求解.【详解详解1 1】由题设,飞机的质量,着陆时的水平速度.从飞9000mkg0700/vkm h机接触跑道开始记时,设 时刻飞机的滑行距离为,速度为.t( )x t( )v t根据牛顿第二定律,得.dvmkvdt 又 ,dvdv dxdvvdtdx dtdx,mdxdvk 积分得 ,( )mx tvCk 由于, 故得, 从而0(0)vv(0)0x0mCvk.0( )( )mx tvv tk当时,( )0v t .0 69000 700( )1.05()6.0 10mvx tkmk所以,飞机滑行的最长距离为.1.05 km【详解详解2 2】根据牛顿第二定律,得.dvmkvdt 所以 ,dvkdtvm 两边积分得 ,ktmvCe代入初始条件 , 得,00tvv0Cv,0( )ktmv tv e故飞机滑行的最长距离为.000 0( )1.05()ktmmvmvxv t dtekmkk 【详解详解3 3】根据牛顿第二定律,得,22d xdxmkdtdt ,220d xk dx dtm dt其特征方程为 ,20krrm解得, ，10r 2krm 故 ，12ktmxCC e由, ，得，(0)0x2 0 00(0)ktmttkCdxvevdtm 0 12mvCCk .0( )(1)ktmmvx tek当时,t .0 69000 700( )1.05()6.0 10mvx tkmk所以,飞机滑行的最长距离为.1.05 km（21） 【分析分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.【详解详解】 ,122xyzxfyefx,122xyzyfxefy 21112222 ( 2 )xyxyxyzx fyfxeefxyefx y 2122( 2 )xyxyyefyfxe .222 111222242()(1)xyxyxyxyfxyefxyefexy f （22） 【分析分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为 0 确定参数的取值,进而求方程组的非零解.【详解详解 1 1】对方程组的系数矩阵作初等行变换, 有A11111111 2222200 3333300 4444400aa aaaBaaa aaa 当时, , 故方程组有非零解, 其同解方程组为0a ( )14r A .12340xxxx由此得基础解系为, , ,1( 1,1, 0, 0)T 2( 1, 0,1, 0)T 3( 1, 0, 0,1)T 于是所求方程组的通解为, 其中为任意常数.1 12233xkkk123,kkk当时,0a 111110000210021003010301040014001aaB 当时, , 故方程组也有非零解, 其同解方程组为10a ( )34r A 12131420,30,40,xxxxxx 由此得基础解系为,(1, 2,3, 4)T所以所求方程组的通解为, 其中为任意常数.xkk【详解详解 2 2】方程组的系数行列式.31111 2222(10)3333 4444a aAaaa a 当, 即或时, 方程组有非零解.0A 0a 10a 当时, 对系数矩阵作初等行变换, 有0a A11111111 22220000 33330000 44440000A 故方程组的同解方程组为.12340xxxx其基础解系为, , ,1( 1,1, 0, 0)T 2( 1, 0,1, 0)T 3( 1, 0, 0,1)T 于是所求方程组的通解为, 其中为任意常数.1 12233xkkk123,kkk当时, 对作初等行变换, 有10a A91119111 2822201000 3373300100 4446400010A 91110000210021003010301040014001 故方程组的同解方程组为2131412,3,4,xxxxxx 其基础解系为,(1, 2,3, 4)T所以所求方程组的通解为, 其中为任意常数xkk（23） 【分析分析】由矩阵特征根的定义确定的值，由线性无关特征向量的个数与a秩之间的关系确定是否可对角化.EAA【详解详解】的特征多项式为A123220 1431431515aa 110100(2) 143(2) 13315115aa .2(2)(8183 )a若是特征方程的二重根, 则有, 解得.22216 1830a2a 当时, 的特征值为 2, 2, 6, 矩阵的秩为 1,2a A123 2123 123EA 故对应的线性无关的特征向量有两个, 从而可相似对角化.2A若不是特征方程的二重根, 则为完全平方, 228183a从而, 解得.18316a2 3a 当时, 的特征值为 2, 4, 4, 矩阵的秩为 2,2 3a A323 2103 2113EA 故对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而不可相似对角化.4A