2017年度全国高级中学数学联合竞赛试题.与解答(A卷.).doc

20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷一试卷一试一、填空题1.设是定义在上的函数，对任意实数有.又当)(xfRx1)4()3(xfxf时，则的值为_.70 x)9(log)(2xxf)100(f2.若实数满足，则的取值范围是_.yx,1cos22yxyxcos3.在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为xOyC1109:22 yxFCA的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为CPCOAPF_. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥中，过的平面将其体积平分，则棱与ABCP 1AB2APABPC 平面所成角的余弦值为_.6.在平面直角坐标系中，点集.在中随机取出三个点，则xOy1 , 0 , 1,),(yxyxKK这三点中存在两点之间距离为的概率为_.57.在中，是边的中点，是线段的中点.若，的面积为ABCMBCNBM3AABC，则的最小值为_.3ANAM 8.设两个严格递增的正整数数列满足：，对任意正整数，有 nnba ,20171010 ban，则的所有可能值为_.nnnaaa12nnbb2111ba 二、解答题9.设为实数，不等式对所有成立.证明：.mk,12mkxxbax,22 ab10.设是非负实数，满足，求的321,xxx1321xxx)53)(53(32 1321xxxxxx最小值和最大值.11.设复数满足，且（其中表21,zz0)Re(1z0)Re(2z2)Re()Re(2 22 1zz)Re(z示复数的实部）.z（1）求的最小值；)Re(21zz（2）求的最小值.212122zzzz20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷二试卷二试一.如图，在中，为的内心，以为圆心，为半径作圆ABCACAB IABCAAB，以为圆心，为半径作圆，过点的圆与,分别交于点（不同1IIB2IB,312QP,于点）.设与交于点.证明：BIPBQRCRBR 二.设数列定义为， na11a.求满足的正整数的个数., 2 , 1,1 nnanananaannnn n20173 rarr三.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若3333 相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设均是大于 1 的整数，是个不超过的互不相同的正整数，nm,nm naaa,21nm且互素.证明：对任意实数，均存在一个，使得naaa,21x)1 (nii，这里表示实数到与它最近的整数的距离.xmmxai) 1(2 yy20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷一试答案一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷二试答案二试答案一.二.三.四.