初三-二次函数压轴题30道附详细标准答案.doc

''二次函数压轴题二次函数压轴题 30 道（道（1）一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题）1 （2015枣庄）如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标2 （2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 从 A点出发，以 1 个单位每秒的速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间 为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同时停止运动设 PQ 交直线 AC 于点 G （1）求直线 AC 的解析式； （2）设PQC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式； （3）在 y 轴上找一点 M，使MAC 和MBC 都是等腰三角形直接写出所有满足条件的 M 点的坐标； （4）过点 P 作 PEAC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG 的长度是否发生改变，请说明理由3 （2015永春县自主招生）如图 1，已知直线 EA 与 x 轴、y 轴分别交于点 E 和点 A（0，2） ，过直线 EA 上的两 点 F、G 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为 M（m，0）和 N（n，0） ，其中 m0，n0（1）如果 m=4，n=1，试判断AMN 的形状；''（2）如果 mn=4， （1）中有关AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，题目中的条件不变，如果 mn=4，并且 ON=4，求经过 M、A、N 三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴 l 与线段 AN 交于点 P，点 Q 是对称轴上一动点，以点 P、Q、N 为 顶点的三角形和以点 M、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q 的坐标4 （2015黄冈中学自主招生）已知：直角三角形 AOB 中，AOB=90°，OA=3 厘米，OB=4 厘米以 O 为坐标原 点如图建立平面直角坐标系设 P、Q 分别为 AB 边，OB 边上的动点，它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动， 移动的速度都为 1 厘米每秒设 P、Q 运动的时间为 t 秒（0t4） （1）求OPQ 的面积 S 与（厘米2）与 t 的函数关系式；并指出当 t 为何值时 S 的最大值是多少？（2）当 t 为何值时，BPQ 和AOB 相似； （3）当 t 为何值时，OPQ 为直角三角形； （4）试证明无论 t 为何值，OPQ 不可能为正三角形； 若点 P 的移动速度不变，试改变点 Q 的运动速度，使OPQ 为正三角形，求出点 Q 的运动速度和此时的 t 值5 （2015芦溪县模拟）如图，已知抛物线 y=x2ax+a24a4 与 x 轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴相交于点 D（0，8） ，直线 DC 平行于 x 轴，交抛物线于另一点 C，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从 C 点出发，沿 CD 运动，同时， 点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发，沿 AB 运动，连接 PQ、CB，设点 P 运动的时间为 t 秒 （1）求 a 的值； （2）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积； （3）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值 （4）当 t 为何值时，PBQ 是等腰三角形？（直接写出答案）''6 （2015江西校级模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴的正半轴于点 C，其顶点为 M，MHx 轴于点 H，MA 交 y 轴于点N，sinMOH=（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过 H 的直线与 y 轴相交于点 P，过 O，M 两点作直线 PH 的垂线，垂足分别为 E，F，若= 时，求点 P 的坐标； （3）将（1）中的抛物线沿 y 轴折叠，使点 A 落在点 D 处，连接 MD，Q 为（1）中的抛物线上的一动点，直线 NQ 交 x 轴于点 G，当 Q 点在抛物线上运动时，是否存在点 Q，使ANG 与ADM 相似？若存在，求出所有符合 条件的直线 QG 的解析式；若不存在，请说明理由7 （2015武侯区模拟）已知如图，矩形 OABC 的长 OA=，宽 OC=1，将AOC 沿 AC 翻折得APC （1）求PCB 的度数；（2）若 P，A 两点在抛物线 y= x2+bx+c 上，求 b，c 的值，并说明点 C 在此抛物线上；（3） （2）中的抛物线与矩形 OABC 边 CB 相交于点 D，与 x 轴相交于另外一点 E，若点 M 是 x 轴上的点，N 是 y 轴上的点，以点 E、M、D、N 为顶点的四边形是平行四边形，试求点 M、N 的坐标''8 （2015黄冈模拟）已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴的交点是 A（3，0） 、B（6，0） ，与 y 轴的交点是 C （1）求抛物线的函数表达式； （2）设 P（x，y） （0x6）是抛物线上的动点，过点 P 作 PQy 轴交直线 BC 于点 Q 当 x 取何值时，线段 PQ 的长度取得最大值，其最大值是多少？ 是否存在这样的点 P，使OAQ 为直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由9 （2015临夏州模拟）如图（1） ，抛物线 y=x22x+k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） 图（2） 、图（3）为解答备用图（1）k= ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；（2）设抛物线 y=x22x+k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；若不 存在，请说明理由10 （2015大庆模拟）已知抛物线 y=x2+bx+c 的顶点为 P，与 y 轴交于点 A，与直线 OP 交于点 B （1）如图 1，若点 P 的横坐标为 1，点 B 的坐标为（3，6） ，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点 M 是直线 AB 下方抛物线上的一点，且 SABM=3，求点 M 的坐标； （3）如图 2，若点 P 在第一象限，且 PA=PO，过点 P 作 PDx 轴于点 D将抛物线 y=x2+bx+c 平移，平移后的抛 物线经过点 A、D，该抛物线与 x 轴的另一个交点为 C，请探究四边形 OABC 的形状，并说明理由''11 （2015濠江区一模）如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且OA=2，OC=3 （1）求抛物线的解析式； （2）作 RtOBC 的高 OD，延长 OD 与抛物线在第一象限内交于点 E，求点 E 的坐标； （3）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在一点 P，使四边形 OBEP 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由； 在抛物线的对称轴上，是否存在上点 Q，使得BEQ 的周长最小？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说 明理由12 （2014遵义）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0） ，B（1，0） ，与 y 轴交于点 C若点P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也 随之停止运动 （1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标； （2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A，E，Q 为顶点的三角形为 等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由 （3）当 P，Q 运动到 t 秒时，APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形 状，并求出 D 点坐标''13 （2014吉林）如图，直线 l：y=mx+n（m0，n0）与 x，y 轴分别相交于 A，B 两点，将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到COD，过点 A，B，D 的抛物线 P 叫做 l 的关联抛物线，而 l 叫做 P 的关联直线（1）若 l：y=2x+2，则 P 表示的函数解析式为 ；若 P：y=x23x+4，则 l 表示的函数解析式为 （2）求 P 的对称轴（用含 m，n 的代数式表示） ；（3）如图，若 l：y=2x+4，P 的对称轴与 CD 相交于点 E，点 F 在 l 上，点 Q 在 P 的对称轴上当以点C，E，Q，F 为顶点的四边形是以 CE 为一边的平行四边形时，求点 Q 的坐标；（4）如图，若 l：y=mx4m，G 为 AB 中点，H 为 CD 中点，连接 GH，M 为 GH 中点，连接 OM若 OM=，直接写出 l，P 表示的函数解析式14 （2014本溪）如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、B 两点，与x 轴的另一个交点为 C，连接 BC （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）点 M 在抛物线上，连接 MB，当MBA+CBO=45°时，求点 M 的坐标； （3）点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由 B 向 C 运动，P、Q 的 运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C 点时，P、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D， 使 P、Q 运动过程中的某一时刻，以 C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不 存在，说明理由''15 （2014六盘水）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A、D 两点，并经过 B 点，已知 A 点坐标是（2，0） ，B 点的坐标是（8，6） （1）求二次函数的解析式 （2）求函数图象的顶点坐标及 D 点的坐标 （3）该二次函数的对称轴交 x 轴于 C 点连接 BC，并延长 BC 交抛物线于 E 点，连接 BD，DE，求BDE 的面 积（4）抛物线上有一个动点 P，与 A，D 两点构成ADP，是否存在 SADP= SBCD？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在请说明理由16 （2014白银）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为 M 的抛物线是由抛物线 y=x23 向右平移一个单位后得到的，它与 y 轴负半轴交于点 A，点 B 在该抛物线上，且横坐标为 3 （1）求点 M、A、B 坐标； （2）连接 AB、AM、BM，求ABM 的正切值； （3）点 P 是顶点为 M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设 PO 与 x 正半轴的夹角为 ，当 =ABM 时， 求 P 点坐标''17 （2014珠海）如图，矩形 OABC 的顶点 A（2，0） 、C（0，2） 将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 30°得 矩形 OEFG，线段 GE、FO 相交于点 H，平行于 y 轴的直线 MN 分别交线段 GF、GH、GO 和 x 轴于点 M、P、N、D，连结 MH（1）若抛物线 l：y=ax2+bx+c 经过 G、O、E 三点，则它的解析式为： ； （2）如果四边形 OHMN 为平行四边形，求点 D 的坐标； （3）在（1） （2）的条件下，直线 MN 与抛物线 l 交于点 R，动点 Q 在抛物线 l 上且在 R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设PQH 的面积为 s，当时，确定点 Q 的横坐标的取值范围18 （2014毕节市）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点为 A（1，1） ，与 x 轴交点 M（1，0） C 为 x 轴上一点，且CAO=90°，线段 AC 的延长线交抛物线于 B 点，另有点 F（1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 Ac 的解析式及 B 点坐标；（3）过点 B 做 x 轴的垂线，交 x 轴于 Q 点，交过点 D（0，2）且垂直于 y 轴的直线于 E 点，若 P 是BEF 的边EF 上的任意一点，是否存在 BPEF？若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由''19 （2014丹东）如图 1，抛物线 y=ax2+bx1 经过 A（1，0） 、B（2，0）两点，交 y 轴于点 C点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E （1）请直接写出抛物线表达式和直线 BC 的表达式（2）如图 1，当点 P 的横坐标为 时，求证：OBDABC（3）如图 2，若点 P 在第四象限内，当 OE=2PE 时，求POD 的面积 （4）当以点 O、C、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点 P 的坐标20 （2014临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（1，0） ，直线 y=2x1 与y 轴交于点 C，与抛物线交于点 C、D （1）求抛物线的解析式； （2）求点 A 到直线 CD 的距离； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点 P 在直线 CD 上，抛物线与直线 CD 的另一个交点为 Q，点 G 在 y 轴正半轴上， 当以 G、P、Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的 G 点的坐标''21 （2014苏州）如图，二次函数 y=a（x22mx3m2） （其中 a，m 是常数，且 a0，m0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，点 D 在二次函数的图象上，CDAB，连接 AD，过点 A 作射线 AE 交二次函数的图象于点 E，AB 平分DAE （1）用含 m 的代数式表示 a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以线段 GF、AD、AE 的 长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该 点的横坐标；如果不存在，请说明理由22 （2014济宁）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A（5，0） 、B（1，0）两点，过点 A 作直线 ACx 轴，交直线 y=2x 于点 C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A的坐标，判定点 A是否在抛物线上，并说明理由； （3）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交线段 CA于点 M，是否存在这样的点 P，使四边形 PACM 是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由''23 （2014雅安）如图，直线 y=3x3 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、C，经过点 C 且对称轴为 x=1 的抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A、B 两点 （1）试求点 A、C 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 A 运动，同时，点 N 在线段 OC 上以相同的速 度由点 O 向点 C 运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动） ，又 PNx 轴，交 AC 于 P，问在运动过 程中，线段 PM 的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由24 （2014济南）如图 1，抛物线 y=x2平移后过点 A（8，0）和原点，顶点为 B，对称轴与 x 轴相交于点 C，与原抛物线相交于点 D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 S阴影； （2）如图 2，直线 AB 与 y 轴相交于点 P，点 M 为线段 OA 上一动点，PMN 为直角，边 MN 与 AP 相交于点 N，设 OM=t，试探究： t 为何值时MAN 为等腰三角形； t 为何值时线段 PN 的长度最小，最小长度是多少''25 （2014营口）已知：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）如图，点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 E是否存在一点 P，使线段 PE 的长最大？若存在，求出 PE 长的最大值；若不存在，请说明理由； （3）如图，过点 A 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 F，连接 DA、DB四边形 OAFC 沿射线 CB 方向运动， 速度为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒，当点 C 与点 B 重合时立即停止运动设运动过程中四边形 OAFC 与 四边形 ADBF 重叠部分面积为 S，请求出 S 与 t 的函数关系式26 （2014义乌市）如图，直角梯形 ABCO 的两边 OA，OC 在坐标轴的正半轴上，BCx 轴，OA=OC=4，以直线 x=1 为对称轴的抛物线过 A，B，C 三点 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知直线 l 的解析式为 y=x+m，它与 x 轴交于点 G，在梯形 ABCO 的一边上取点 P 当 m=0 时，如图 1，点 P 是抛物线对称轴与 BC 的交点，过点 P 作 PH直线 l 于点 H，连结 OP，试求OPH 的 面积；当 m=3 时，过点 P 分别作 x 轴、直线 l 的垂线，垂足为点 E，F是否存在这样的点 P，使以 P，E，F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由''27 （2014西宁）如图，抛物线 y= x2+ x2 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，分别过点 B，C 作 y 轴，x 轴的平行线，两平行线交于点 D，将BDC 绕点 C 逆时针旋转，使点 D 旋转到 y 轴上得到 FEC，连接 BF （1）求点 B，C 所在直线的函数解析式； （2）求BCF 的面积； （3）在线段 BC 上是否存在点 P，使得以点 P，A，B 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由28 （2014泸州）如图，已知一次函数 y1= x+b 的图象 l 与二次函数 y2=x2+mx+b 的图象 C都经过点 B（0，1）和点 C，且图象 C过点 A（2，0） （1）求二次函数的最大值；（2）设使 y2y1成立的 x 取值的所有整数和为 s，若 s 是关于 x 的方程=0 的根，求 a 的值；（3）若点 F、G 在图象 C上，长度为的线段 DE 在线段 BC 上移动，EF 与 DG 始终平行于 y 轴，当四边形 DEFG 的面积最大时，在 x 轴上求点 P，使 PD+PE 最小，求出点 P 的坐标''29 （2014来宾）如图，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 F 是位于 x 轴上方对称轴上一点，FCx 轴，与对称轴右侧的抛物线交 于点 C，且四边形 OECF 是平行四边形，求点 C 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 P，使OCP 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由30 （2014孝感）如图 1，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴上，抛物线 y=x24x+3 经过点 A、点 B，与 x 轴交于点 E、点 F，且其顶点 M 在 CD 上（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ； （2）若点 P 是抛物线上一动点（点 P 不与点 A、点 B 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线 l 与直线 AB 交于点 G，与 直线 BD 交于点 H，如图 2 当线段 PH=2GH 时，求点 P 的坐标； 当点 P 在直线 BD 下方时，点 K 在直线 BD 上，且满足KPHAEF，求KPH 面积的最大值''''二次函数压轴题二次函数压轴题 30 道（道（1）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题）1 （2015枣庄）如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax2+bx+6（a0）相交于 A（ ， ）和 B（4，m） ，点 P 是线段AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】 （1）已知 B（4，m）在直线 y=x+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上的 A、B 两点坐标，可将其代入抛 物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值 （2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标，根据直线 AB 和抛物线的解析 式表示出 P、C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 PC 的最大 值 （3）当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解 【解答】解：（1）B（4，m）在直线 y=x+2 上， m=4+2=6， B（4，6） ，A（ ， ） 、B（4，6）在抛物线 y=ax2+bx+6 上，解得，抛物线的解析式为 y=2x28x+6（2）设动点 P 的坐标为（n，n+2） ，则 C 点的坐标为（n，2n28n+6） ，PC=（n+2）（2n28n+6） ，''=2n2+9n4，=2（n ）2+，PC0，当 n= 时，线段 PC 最大且为（3）PAC 为直角三角形， i）若点 P 为直角顶点，则APC=90° 由题意易知，PCy 轴，APC=45°，因此这种情形不存在； ii）若点 A 为直角顶点，则PAC=90°如答图 31，过点 A（ ， ）作 ANx 轴于点 N，则 ON= ，AN= 过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知，AMN 为等腰直角三角形，MN=AN= ，OM=ON+MN= + =3，M（3，0） 设直线 AM 的解析式为：y=kx+b，则：，解得，直线 AM 的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x28x+6 联立式，解得：x=3 或 x= （与点 A 重合，舍去）C（3，0） ，即点 C、M 点重合 当 x=3 时，y=x+2=5，P1（3，5） ；iii）若点 C 为直角顶点，则ACP=90°y=2x28x+6=2（x2）22，''抛物线的对称轴为直线 x=2如答图 32，作点 A（ ， ）关于对称轴 x=2 的对称点 C，则点 C 在抛物线上，且 C（ ， ） 当 x= 时，y=x+2=P2（ ，） 点 P1（3，5） 、P2（ ，）均在线段 AB 上，综上所述，PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（ ，） 【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐 标的求法等知识2 （2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 从 A点出发，以 1 个单位每秒的速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间 为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同时停止运动设 PQ 交直线 AC 于点 G （1）求直线 AC 的解析式； （2）设PQC 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式； （3）在 y 轴上找一点 M，使MAC 和MBC 都是等腰三角形直接写出所有满足条件的 M 点的坐标； （4）过点 P 作 PEAC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG 的长度是否发生改变，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有 【专题】代数几何综合题；压轴题 【分析】 （1）直线 AC 经过点 A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得 AC 的 解析式； （2）根据三角形面积公式即可写出解析式； （3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标； （4）过 G 作 GHy 轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解【解答】解：（1）y= x2+2，x=0 时，y=2， y=0 时，x=±2，''A（2，0） ，B（2，0） ，C（0，2） ，设直线 AC 的解析式是 y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2， 即直线 AC 的解析式是 y=x+2； （2）当 0t2 时，OP=（2t） ，QC=t，PQC 的面积为：S= （2t）t= t2+t，当 2t4 时，OP=（t2） ，QC=t，PQC 的面积为：S= （t2）t= t2t，；（3）当 AC 或 BC 为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC 时，M 点坐标为（0，22）和（0，2+2）当 AC=AM=BC 时，M 为（0，2）当 AM=MC=BM 时 M 为（0，0） 一共四个点， （0，） ， （0，） ， （0，2） ， （0，0） ；（4）当 0t2 时，过 G 作 GHy 轴，垂足为 H由 AP=t，可得 AE=GHOP即=，解得 GH=，所以 GC=GH=于是，GE=ACAEGC=即 GE 的长度不变 当 2t4 时，过 G 作 GHy 轴，垂足为 H由 AP=t，可得 AE=由即=，''GH（2+t）=t（t2）（t2）GH，GH（2+t）+（t2）GH=t（t2） ，2tGH=t（t2） ，解得 GH=，所以 GC=GH=于是，GE=ACAE+GC=2t+=，即 GE 的长度不变 综合得：当 P 点运动时，线段 EG 的长度不发生改变，为定值【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点 M 所在位置的各种情况3 （2015永春县自主招生）如图 1，已知直线 EA 与 x 轴、y 轴分别交于点 E 和点 A（0，2） ，过直线 EA 上的两 点 F、G 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为 M（m，0）和 N（n，0） ，其中 m0，n0（1）如果 m=4，n=1，试判断AMN 的形状；（2）如果 mn=4， （1）中有关AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，题目中的条件不变，如果 mn=4，并且 ON=4，求经过 M、A、N 三点的抛物线所对应的函数关系式；''（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴 l 与线段 AN 交于点 P，点 Q 是对称轴上一动点，以点 P、Q、N 为 顶点的三角形和以点 M、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q 的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有 【专题】代数几何综合题；压轴题 【分析】 （1）根据勾股定理可以求出 AMAN，MN 的长度，根据勾股定理的逆定理就可以求出三角形是直角三 角形 （2）AMAN，MN 的长度可以用 m，n 表示出来，根据 m，n 的关系就可以证明 （3）M、A、N 的坐标已知，根据待定系数法局可以求出二次函数的解析式（4）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 Q1符合条件，易证 RtPNQ1RtANM 且 RtPQ2N、RtNQ2Q1、RtPNQ1和 RtANM 两两相似，根据相似三角形的对应边的比相等，得到就可以求出 Q1Q2得到符合条件的点的坐标 【解答】解：（1）AMN 是直角三角形 依题意得 OA=2，OM=4，ON=1， MN=OM+ON=4+1=5在 RtAOM 中，AM=在 RtAON 中，AN=MN2=AM2+AN2 AMN 是直角三角形（解法不惟一） （2 分） （2）答：（1）中的结论还成立依题意得 OA=2，OM=m，ON=nMN=OM+ON=nmMN2=（nm）2=n22mn+m2mn=4MN2=n22×（4）+m2=n2+m2+8又在 RtAOM 中，AM=在 RtAON 中，AN=''AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8 MN2=AM2+AN2 AMN 是直角三角形 （解法不惟一） （2 分）（3）mn=4，n=4，m=1方法一：设抛物线的函数关系式为 y=ax2+bx+c抛物线经过点 M（1，0） 、N（4，0）和 A（0，2）所求抛物线的函数关系式为 y= x2+x+2方法二：设抛物线的函数关系式为 y=a（x+1） （x4） 抛物线经过点 A（0，2）4a=2 解得 a=所求抛物线的函数关系式为 y= （x+1） （x4）即 y= x2+x+2 （2 分）（4）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 Q1符合条件， lMN，ANM=PNQ1， RtPNQ1RtANM抛物线的对称轴为直线 x= ，Q1（ ，0） （2 分）NQ1=4 = 过点 N 作 NQ2AN，交抛物线的对称轴于点 Q2 RtPQ2N、RtNQ2Q1、RtPNQ1和 RtANM 两两相似即 Q1Q2=''点 Q2位于第四象限，Q2（ ，5） （2 分）因此，符合条件的点有两个，分别是 Q1（ ，0） ，Q2（ ，5） （解法不惟一）【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的性质，对应边的比 相等4 （2015黄冈中学自主招生）已知：直角三角形 AOB 中，AOB=90°，OA=3 厘米，OB=4 厘米以 O 为坐标原 点如图建立平面直角坐标系设 P、Q 分别为 AB 边，OB 边上的动点，它们同时分别从点 A、O 向 B 点匀速运动， 移动的速度都为 1 厘米每秒设 P、Q 运动的时间为 t 秒（0t4） （1）求OPQ 的面积 S 与（厘米2）与 t 的函数关系式；并指出当 t 为何值时 S 的最大值是多少？（2）当 t 为何值时，BPQ 和AOB 相似； （3）当 t 为何值时，OPQ 为直角三角形； （4）试证明无论 t 为何值，OPQ 不可能为正三角形； 若点 P 的移动速度不变，试改变点 Q 的运动速度，使OPQ 为正三角形，求出点 Q 的运动速度和此时的 t 值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有 【专题】压轴题；动点型 【分析】 （1）可用 t 表示出 OQ，BP 的长，三角形 OPQ 中，OQ 边上的高可用 BP 的长和PBO 的正弦值求出，由 此可得出关于 S，t 的函数关系式 （2）本题分两种情况： BQP=BOA，此时 PQOA，那么 BQ=PBcosPBO由此可求出 t 的值 BPQ=BOA，此时 BP=BQsinPBO由此可求出 t 的值 （3）本题中无非是两种情况 OQPQ 或 OPQP，可分别表示出 PO、QO、PQ 三条线段的长，然后用勾股定理进 行求解即可 （4）如果三角形 OPQ 是正三角形那么（3）中表示三条线段长的表达式必然相等，可通过解方程求出此时 t 的 值，如果方程无解则说明三角形 OPQ 不可能是正三角形''思路同，设出 Q 点的速度，然后表示出三条线段的长，令三条线段的表达式相等，即可求出 Q 的速度和 t 的值【解答】解：（1）S=0.3t2+当 t= 时，S 最大=（2）BQP=BOA，在直角三角形 BQP 中，BP= BQ，即 5t= （4t） ，解得 t=0BPQ=BOA，在直角三角形 BPQ 中，BQ= BP，即 4t= （5t） ，解得 t=9； 因为 0t4， t=9 不合题意，舍去 因此当 t=0 时，BPQ 和AOB 相似 （3）作 PNOB 于 N，PMOA 于 M，若OPQ 为直角三角形，则 OQPQ 或 OPQP，设 QPOQ，则 PQ=PO=OQ=t（t 无解） QP 不与 OQ 垂直 设 OPQP，则OPQPNQ，PQ2= t2，PQ2=OQ2OP2=t2t2+t9=t9t2=t9，''解得 t=3，t=15（不合题意舍去） 当 t=3 是OPQ 是直角三角形（4）PO=，OQ=t，PQ=令 PO=OQ=PQ，解 t 无解 OPQ 不能成为正三角形 设 Q 的速度为 x，则 OQ=xtOP2=t2t+9，OQ2=x2t2，PQ2=t2t+12令 OP2=OQ2=PQ2解得 x= ，t=舍去负值，则 t=因此 Q 点的速度为 ，t=【点评】该题综合运用了三角形相似有关性质和勾股定理，同时运用了分类讨论和假设的数学思想，是道代数几 何压轴题5 （2015芦溪县模拟）如图，已知抛物线 y=x2ax+a24a4 与 x 轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴相交于点 D（0，8） ，直线 DC 平行于 x 轴，交抛物线于另一点 C，动点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从 C 点出发，沿 CD 运动，同时， 点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发，沿 AB 运动，连接 PQ、CB，设点 P 运动的时间为 t 秒 （1）求 a 的值； （2）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积； （3）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值 （4）当 t 为何值时，PBQ 是等腰三角形？（直接写出答案）''【考点】二次函数综合题菁优网版权所有 【专题】应用题；压轴题【分析】 （1）把点 D（0，8）代入抛物线 y=x2ax+a24a4 解方程即可解答；（2）利用（1）中求得的抛物线，求得点 A、B、C、D 四点坐标，再利用矩形的判定与性质解得即可； （3）利用梯形的面积计算方法解决问题； （4）只考虑 PQ=PB，其他不符合实际情况，即可找到问题的答案【解答】解：（1）把点（0，8）代入抛物线 y=x2ax+a24a4 得，a24a4=8，解得：a1=6，a2=2（不合题意，舍去） ，因此 a 的值为 6；（2）由（1）可得抛物线的解析式为 y=x26x+8，当 y=0 时，x26x+8=0，解得：x1=2，x2=4， A 点坐标为（2，0） ，B 点坐标为（4，0） ，当 y=8 时，x26x+8=8，解得：x1=0