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    二次函数与特殊地三角形(含答案内容.).doc

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    二次函数与特殊地三角形(含答案内容.).doc

    二次函数与特殊的三角形二次函数与特殊的三角形 第一组第一组 等腰三角形等腰三角形(2016 山东临沂,26,13 分)(5)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=2x+10 与 x 轴,y 轴相交于 A,B 两点点 C 的 坐标是(8,4),连接 AC,BC(1)求过 O,A,C 三点的抛物线的解析式,并判断ABC 的形状;(2)动点 P 从点 O 出发,沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动;同时,动点 Q 从点 B 出发,沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动规定其中一个动点到达端点时, 另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时,PA=QA?(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点 M,使以 A,B,M 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由(2016 新疆建设兵团,新疆建设兵团,23,13 分)分)如图,抛物线的顶点为 E,该抛物23(0)yaxbxa线与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 BO=OC=3AO,直线与 y 轴交于113yx 点 D (12) (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使PBC 是等腰三角形?若存在,请直接写出符 合条件的 P 点坐标,若不存在,请说明理由(2016 重庆 A,26,12 分)如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线与212 3333yxx x 轴交于 AB 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,抛物线的顶点为点 E. (1)判断ABC 的形状,并说 明理由; (2)经过 BC 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D,点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动 点,当PCD 的面积最大时,点 Q 从点 P 出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上 点 M 处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处,最后沿适当的路径运动 到点 A 处停止. 当点 Q 的运动路径最短时,求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长; (3)如图 2,平移抛物线,使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动,点 E 平移后的对应点为点E,点 A 的对应点为点 A. 将AOC 绕点 O 顺时针旋转至的位置,点 AC 的对11AOC应点分别为点,且点恰好落在 AC 上,连接,. 是否能为等1A1C1A1'C A1'C E1''A C E腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点 E的坐标;若不能,请说明理由.第二组 直角三角形 10. ( 2016 山东省枣庄市,山东省枣庄市,25,10 分)分)如图,已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴为直 线 x1,且经过 A(1,0),C(0,3)两点,与 x 轴的另一个交点为 B 若直接 ymxn 经过 B,C 两点,求抛物线和直线 BC 的解析式; 在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与点 C 的距离之和最小,求 点 M 的坐标; 设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点,求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标xyOCAB答案:1、(1)解:令 y=0,则2x+10=0,x=5,A(5,0) 把 x=0 代入 y=2x+10,得 y=10,B(0,10) 设过 O,A,C 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,可得 0 2550 6484c abc abc, ,ì=ïï+ =íï+ =ïî解得1 6 5 6 0abc,ì=ïïïï=íïï=ïïî-抛物线的解析式为 y=x2x3 分1 65 6 ABC 是直角三角形,理由如下: B(0,10),A(5,0),OA=5,OB=10,AB2=125,AB=5 5 C(8,4),A(5,0),AC2=25,AC=5 B(0,10),C(8,4),BC2=100,BC=10 AC2+BC2=AB2,ABC 是直角三角形,且C=90°5 分(2)PA=QA, 又PA2=(2t)2+52,QA2=(10t)2+52, (2t)2+52=(10t)2+52,解得 t=10 3故当运动时间为秒时,PA=QA8 分10 3 (3)存在抛物线 y=x2x 过 O,A 两点,则对称轴是 x=,设 M 的坐标为(,m),1 65 65 25 2 当 AM=BM 时,M 是 AB 的垂直平分线与抛物线的交点, 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P,与 AB 交于点 Q, 由题意可知 PQy 轴,P 是 OA 的中点, Q 是 AB 的中点, AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是 Q,此时不能形成三角形当 AB=BM 时,()2+(10m)2=AB2=125,解得 m1=,m2=,5 2205 19 2+205 19 2-M1(,),M2(,)10 分5 2205 19 2+5 2205 19 2-当 AB=AM 时,(5)2+m2=AB2=125,解得 m3=,m4=,5 25 19 25 19 2M3(,),M4(,)5 25 19 25 25 19 2综上所述,存在点 M,共有 4 个点,分别是 M1(,),M2(,),5 2205 19 2+5 2205 19 2-M3(,),M4(,)12 分5 25 19 25 25 19 2解:(1)由抛物线,令 x=0,得 y=323(0)yaxbxaC(0,3) , OC=3 BO=OC=3AO, OB=3,AO=1 A(1,0) ,B(3,0)代入,得:23(0)yaxbxa30,9330abab 解得:1, 2a b 抛物线的解析式为223yxx(2)P1(1,1) ,P2(1,) ,P3(1,) ,P4(1,) ,P5(1,317 317 14)14设点 P 的坐标为(1,m) 分三种情况讨论: 若 PC=PB,则 PC2=PB2即2222(3 1)1(3)mm解得:m=1,P1(1,1) 若 PC=BC,则 PC2=BC2即2221(3)(3 2)m解得:,1317m 2317m P2(1,) ,P3(1,)317 317 若 PB=BC,则 PB2=BC2即222(3 1)(3 2)m解得:,114m 214m P4(1,) ,P5(1,)1414综上所述,可知满足条件的点 P 的坐标共有 5 个,分别是 P1(1,1) ,P2(1,) ,P3(1,) ,P4(1,) ,P5(1,)317 317 14143、(1)ABC 为直角三角形,理由如下:当 y=0 时,即,解这个方程,得. 212 33033xx123,3 3xx 点 A(,0),B(,0). 33 3OA=,OB=3. 33 当 x=0 时,y=3,点 C(0,3),OC=3. 在 RtAOC 中,. 222223312ACOAOC在 RtBOC 中,.222223 3336BCOBOC又,12+36=48,.223 3348AB 222ACBCABABC 为直角三角形. (2)如图 1,点 B(,0),C(0,3),直线 BC 的解析式为.3 3333yx 过点 P 作 PG/y 轴交直线 BC 于点 G. 设点 P(a,),则点 G(a,),212 3333aa333aPG=()()=. 212 3333aa333a2133aa设点 D 的横坐标为,点 C 的横坐标为.DxCx.211133223PCDDCSxxPGaa 233 39 3 628a ,当时,PCD 的面积最大,此时点 P(,). 03 3a3 3 2a 3 3 215 4如图 1,将点 P 向左平移个单位至点 P,连接 AP交 y 轴于点 N,过点 N 作 NM抛物3 线对称轴于点 M,连接 PM. 点 Q 沿 PMNA 运动,所走的路程最短,即最短路径 的长为 PM+MN+NA 的长. 点 P(,),点 P(,).3 3 215 43 215 4又点 A(,0),直线 AP的解析式为.35 35 62yx当 x=0 时,y=,点 N(0,). 5 25 2过点 P作 PHx 轴于点 H,则有 HA=,PH=,AP=.3 3 215 43 37 4点 Q 运动的最短路径的长为 PM+MN+AN=+=. 3 37 433 374 3 4(3)如图 2,在 RtAOC 中,tanOAC=,OAC=60°.333OC OAOA=,为等边三角形,=60°,=30°.1OA1OAA1AOA1BOC又由,得点.13OCOC13 3 3,22C 点 A(,0),E(,4),AE=.332 7.''2 7A EAE直线 AE 的解析式为,2 323yx设点 E(a,),则点 A(,).2 323a2 3a2 323a.2222 13 32 33735 324923233C Eaaaa若,则有,即.11''C AC E22 11''C AC E2277 3735 37493333aaaa解这个方程,得,点 E(,5). 3 3 2a 3 3 2若,则有,即,1'''C AA E22 1'''C AA E2735 3492833aa解这个方程,得,.15 339 2a25 339 2a点 E(,)或(,). 5 339 27135 339 2713若,则有,即,1'''E AE C22 1'''E AE C277 372833aa解这个方程,得,.1339 2a2339 2a点 E(,). 339 2313综上所述,符合条件的点 E的坐标为(,5)或(,)或3 3 25 339 2713(,)或(,).5 339 2713339 2313

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