导数各类题型方法情况总结(绝对精彩资料.).doc

第一章第一章 导数及其应用导数及其应用一，一，导数的概念导数的概念1.已知已知的值是（的值是（ ）xfxf xxf x )2()2(lim,1)( 0则A. B. 2 C. D. 24141变式变式 1：（ ） 为则设hfhffh233lim,430A2C3D1变式变式 2：（ ） 00 003,lim xf xxf xxf xxx 设在可导则等于ABCD 02xf 0xf 03xf 04xf 导数各种题型方法总结导数各种题型方法总结请同学们高度重视：请同学们高度重视： 首先，首先，关于二次函数的不等式关于二次函数的不等式恒成立恒成立的主要解法：的主要解法： 1、分离变量；、分离变量；2 变更主元；变更主元；3 根分布；根分布；4 判别式法判别式法 5、二次函数区间最值求法：（、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在）端点处和顶点是最值所在其次，其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题不等式恒成立问题”以以 及及“充分应用数形结合思想充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令第一步：令得到两个根；得到两个根；0)('xf 第二步：画两图或列表；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；第三步：由图表可知；其中其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,kf(x)>k 对对 xIxI 时恒时恒成立成立f(x)min>k,f(x)min>k, xI.xI. 此题常见的错误解法：由此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)minf(x)maxg(x)min 解出解出 k k 的取值范围的取值范围. .这种解法的错误在于条件这种解法的错误在于条件“f(x)“f(x) maxg(x)min”maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. . （2 2）根据题意可知，）根据题意可知， （2 2）中的问题等价于）中的问题等价于 h(x)=h(x)= g(x)g(x)f(x)f(x) 00 在在 x-3,3x-3,3时有解时有解, ,故故h(x)max0.h(x)max0. 由（由（1 1）可知）可知h(x)max=h(x)max= k+7k+7，因此，因此 k+70k+70，即，即 k7,+).k7,+). (3)(3)根据题意可知，根据题意可知， （3 3）中的问题等价于）中的问题等价于f(x)maxg(x)minf(x)maxg(x)min，x-3,3.x-3,3. 由二次函数的图像和性质可得由二次函数的图像和性质可得, , x-3,3x-3,3时时, , f(x)max=120f(x)max=120k.k. 仿照（仿照（1 1） ，利用导数的方法可求得，利用导数的方法可求得 x-3,3x-3,3时时, , g(x)min=g(x)min=21.21. 由由 120120kk2121 得得 k141,k141,即即 k141,+).k141,+). 说明：这里的说明：这里的 x1,x2x1,x2 是两个互不影响的独立变量是两个互不影响的独立变量. . 从上面三个问题的解答过程可以看出从上面三个问题的解答过程可以看出, ,对于一个不等式一定要看清是对对于一个不等式一定要看清是对“x”x”恒成立，还是恒成立，还是“x”x”使之成使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量, ,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件然后再根据不同的情况采取不同的等价条件, , 千万不要稀里糊涂的去猜千万不要稀里糊涂的去猜. 二、相关类型题：二、相关类型题：一一 、型；型；“( )“af x形如形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在在“( )“,“( )“af xaf x( )af x上恒成立，则上恒成立，则在在 xD 上恒成立，则上恒成立，则”.许多复杂的恒许多复杂的恒xD max( )();af xxD( )af xmin( )();af xxD成立问题最终都可归结到这一类型成立问题最终都可归结到这一类型.例例 1 ：已知二次函数：已知二次函数，若，若时，恒有时，恒有，求实数，求实数 a 的取值范围的取值范围.2( )f xaxx0,1x|( )| 1f x 解：解：，；即；即；|( )| 1f x 211axx 211xaxx 当当时，不等式显然成立，时，不等式显然成立， aR.0x 当当时，由时，由得：得：，而，而01x211xaxx 221111axxxxmin211()0xx. . 又又，综上得，综上得 a 的范围是的范围是。 0a max211()2xx 2,20aa 2,0a 二二 、型型12“ ()( )()“f xf xf x例例 2 已知函数已知函数，若对，若对，都有，都有成立，则成立，则的最的最( )2sin()25xf xxR12“ ()( )()“f xf xf x12|xx小值为小值为_.解解 对任意对任意 xR，不等式，不等式恒成立，恒成立，12()( )()f xf xf x分别是分别是的最小值和最大值的最小值和最大值.12(),()f xf x( )f x对于函数对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期，即半个周期.sinyx又函数又函数的周期为的周期为 4，的最小值为的最小值为 2.( )2sin()25xf x12|xx三三 、.型型1212()()“ ()“22xxf xf xf例例 3： (2005 湖北湖北)在在这四个函数中，当这四个函数中，当时，使时，使2 22 ,log 2 ,cosyx yx yxyx1201xx恒成立的函数的个数是恒成立的函数的个数是( )1212()()“ ()“22xxf xf xfA.0 B.1 C.2 D.3解：本题实质就是考察函数的解：本题实质就是考察函数的凸凹性凸凹性，即满足条件，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，的函数，应是凸函数的性质，1212()()“ ()“22xxf xf xf画草图即知画草图即知符合题意；符合题意；2log 2yx四四 、.型型1212()()“0“f xf x xx例例 4 已知函数已知函数定义域为定义域为，若，若，时，都有时，都有，( )f x 1,1(1)1f, 1,1m n 0mn( )( )“0“f mf n mn若若对所有对所有，恒成立，求实数恒成立，求实数 取值范围取值范围.2( )21f xtat 1,1x 1,1a t解：任取解：任取，则，则，由已知，由已知，又，又1211xx 12 1212 12()()()()()f xf xf xf xxxxx1212()()0f xf x xx，f，即，即在在上为增函数上为增函数.120xx12()()0f xf x( )f x 1,1，恒有，恒有；(1)1f 1,1x ( )1f x 要使要使对所有对所有，恒成立，即要恒成立，即要恒成立，恒成立，2( )21f xtat 1,1x 1,1a 221 1tat 故故恒成立，令恒成立，令，只须，只须且且，220tat2( )2g aatt ( 1)0g (1)0g解得解得或或或或。2t 0t 2t 评注：评注： 形如不等式形如不等式或或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表1212()()“0“f xf x xx1212()()“0“f xf x xx 现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.五五 、.型：型：“ ( )( )“f xg x例例 5： 已知已知，若当，若当时，时，)恒成立，求实数恒成立，求实数 t 的取的取1( )lg(1)2f xx( )lg(2)g xxt0,1x( )( )f xg x值范围值范围.解：解：在在恒成立，即恒成立，即在在恒成立恒成立在在上上( )( )f xg x0,1x120xxt 0,1x12xxt 0,1的最大值小于或等于零的最大值小于或等于零.令令，( )12F xxxt '1 41( )21xF xx0,1x，即，即在在0,1上单调递减，上单调递减，F(0)是最大值是最大值.'( )0F x ( )F x，即，即。( )(0)10f xFt 1t 六六 、型型12“ ()()“f xg x例例 6：已知函数：已知函数，若对任意，若对任意，都有，都有，32149( )3, ( )332xcf xxxxg x 12, 2,2x x 12()()f xg x求求的范围的范围.c解：因为对任意的解：因为对任意的，都有，都有成立，成立，12, 2,2x x 12()()f xg x，令，令得得x3 或或 x-1；得得maxmin ( ) ( )f xg x'2( )23fxxx'( )0fx 3,1xx '( )0fx ；在在为增函数，在为增函数，在为减函数为减函数.13x ( )f x 2, 1 1,2，.，。( 1)3,(2)6ff max ( )3,f x1832c 24c 七七 、（ 为常数）型；为常数）型；12“|()()|“f xf xtt例例 7 ：已知函数：已知函数，则对任意，则对任意（）都有）都有43( )2f xxx 121,22t t 12tt恒成立，当且仅当恒成立，当且仅当=_，=_时取等号时取等号.12|()()| _f xf x1t2t解：因为解：因为恒成立，恒成立，12maxmin|()()| | ( ) ( )|f xf xf xf x由由，易求得，易求得，431( )2,22f xxxx max327 ( )( )216f xfmin15 ( )()216f xf 。12|()()| 2f xf x例例 8 ：已知函数：已知函数满足：满足：(1)定义域为定义域为；(2)方程方程至少有两个实根至少有两个实根和和 ；(3)过过( )yf x 1,1( )0f x 11图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.( )f x(1)证明证明|；|(0)| 1f(2)证明：对任意证明：对任意，都有，都有.12, 1,1x x 12|()()| 1f xf x证明证明 (1)略；略；(2)由条件由条件(2)知知，( 1)(1)0ff不妨设不妨设，由，由(3)知知，1211xx 121221|()()| |f xf xxxxx又又121212|()()| |()|()| |()( 1)|()(1)|f xf xf xf xf xff xf；1221121 12()2 |()()|xxxxf xf x 12|()()| 1f xf x八八 、型型1212“|()()| |“f xf xxx例例 9： 已知函数已知函数，对于，对于时总有时总有成立，成立，3( )f xxaxb12123,(0,)()3x xxx1212|()()| |f xf xxx求实数求实数的范围的范围.a解解 由由，得，得，3( )f xxaxb'2( )3fxxa当当时，时，3(0,)3x'( )1afxa 1212|()()| |f xf xxx， 1212()()| 1f xf x xx11011aaa 评注评注 由导数的几何意义知道，函数由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点图像上任意两点连线的斜率连线的斜率( )yf x1122( ,),(,)P x yQ xy的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决的范围，利用这个结论，可以解决21 12 21()yykxxxx形如形如|或或(m0)型的不等式恒成立问题型的不等式恒成立问题.1212|()()|f xf xm xx1212|()()|f xf xm xx考前寄语：考前寄语：先易后难先易后难, ,先熟后生；先熟后生；一慢一快：审题要慢一慢一快：审题要慢, ,做题要快；做题要快；不能小题难做不能小题难做, ,小题大做小题大做, , 而要小题小做而要小题小做, ,小题巧做；小题巧做；我易人易我不大意我易人易我不大意, ,我难人难我不畏难；我难人难我不畏难；考试不怕题不会考试不怕题不会, ,就怕会题做就怕会题做 不对；不对；基础题拿满分基础题拿满分, ,中档题拿足分中档题拿足分, ,难题力争多得分难题力争多得分, ,似曾相识题力争不失分；似曾相识题力争不失分；对数学解题有困对数学解题有困 难的考生的建议：立足中下题目难的考生的建议：立足中下题目, ,力争高上水平力争高上水平, ,有时有时“放弃放弃”是一种策略是一种策略. .