第一章解三角形含内容答案.doc

/第一章 解三角形 刷速度 一选择题1. 在中，若，则是（ ）。A: 等腰三角形 B: 直角三角形 C: 等腰或直角三角形 D: 钝角三角形答案B解析本题主要考查正弦定理与两角和与差的三角函数。由正弦定理得，又，即，由此可得即或即。又因为，即，故。所以，即，所以为直角三角形。2. 在中,已知 则的面积为_.A. B 16 C 或 16 D 或答案D解析在中,已知由余弦定理 得：解得：c=16 或 c=8.又 或故选 D.3. 若的内角满足，则（ ）。A: B: C: D: 答案D/0解析本题主要考查解三角形中正弦定理和余弦定理的应用。结合题意，由正弦定理得，设，则有；由余弦定理得。4. 若钝角三角形的三边长和面积都是整数,则称这样的三角形为“钝角整数三角形”,下列选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是( )A. 2,3,4B. 2,4,5C. 5,5,6D. 4,13,15答案D解:设三角形的最大角为,则:对于 A,不能;对于 B,不能;对于 C,故三角形为锐角三角形,不符合条件;对于 D,/,符合条件;所以 D 选项是正确的.5. 如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的南偏西方向的处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达处时,乙船航行到甲船的南偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行海里.答案解:在中,在中,则由余弦定理得:,.乙船每小时航行海里.6. 已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若,则三角形的面积为( )A. B. C. D. /答案C解:,.7. 如图，在中， 是边上的点，且，则的值为（ ）。A: B: C: D: 答案D解析本题主要考查正弦定理与余弦定理的计算。由题得，设，则，。在中，由余弦定理得，则。在中由正弦定理有，得。8. 在中,内角 ABC 所对的边依次为 a,b,c,若,则此三角形是?A. 等腰三角形 B 等腰三角形或直角三角形C 等腰直角三角形 D 既不是等腰三角形,也不是直角三角形答案/还是正弦定理,上面的等式与这个相乘可得：化简,再除以上面的正弦定理可得,或者可得选 B9. )在中，角的对边分别为.，则_.答案20【答案】10. 在中,所对的三边长分别为 a.b.c,若,求的面积答案所以根据余弦定理得到/易知,11. 已知中,则答案解:,由正弦定理可得:,化为,由余弦定理可得:,计算得出.12. 在中,D 为 BC 上一点,则 k=?谢了 答案过 A 作交 BC 于 E。、，。、，。，/又，D、E 重合，。，。由，。二、填空题13. 下载安装中,，,则该三角形的面积为设,;根据余弦定理,解得,该三角形的面积为14. 若的三条边 a,b,c 满足等式,则 B=答案解:根据题意得,两边同时乘以得,移项因式分计算得出,所以,即,由余弦定理得,因为,所以,因此，本题正确答案是:./15. 甲船在岛 B 的正南 A 处 ,AB=10nmile, 甲船自 A 处以 4nmile/h 的速度向正北航行 , 同时乙船以 6nmile/h 的速度自岛 B 出发 , 向北偏东 60 方向驶去，则两船相距最近时经过了 _min.答案两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以 A 岛为顶点，角度是 120 度的三角形，设距离最近时航行时间为 t(h), 此时距离 s(nmile), 此时甲船到 B 岛距离为 (104t)nmile, 乙船距离 B 岛 6t(nmile).由余弦定理可得 cos120=(6t)2+(104t)2s22×6t×(104t)=0.5, 化简得： s2=28t220t+100.此函数的图象是抛物线 , 开口朝上 , 故在对称轴处 s2 有最小值，故 s2 取最小值时 ,t=202×28=514h=1507min.故答案为： 1507.16. 已知三角形两边长分别为 2 和,第三边上的中线长为 2,则三角形的外接圆半径为答案2解:设,D 为 BC 边的中点,则中,由余弦定理可得,中,由余弦定理可得,/即外接圆的直径,从而可得因此，本题正确答案是:2三、解答题17. 在中，内角的对边分别为，且。（1）求角 的大小；（2）若，求的值。答案（1）由及正弦定理，得，所以，所以。（2）由及，得，由及余弦定理，得，所以，。18. 在中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且，；（1）求的值；（2）若，求的面积。/答案（1）由正弦定理可得，；（2）由余弦定理有，又，所以，所以，所以。19. 在ABC 中，求证a2sin2B+b2sin2A=2abinC .证明：ABC 中， asinA= bsinB= csinC=2R (R 为外接圆的半径)，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，a2sin2B+b2sin2A=2a2sinBcosB+2b2sinAcosA =8R2sinAsinB(sinAcosB+sinBcosA) =8R2sinAsinBsin(A+B) =8R2sinAsinBsin(-C) =8R2sinAsinBsinC ，又2absinC=22RsinA2RsinBsinC=8R2sinAsinBsinC ，a2sin2B+b2sin2A=2absinC .20. 工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为 1 千米的正三角形岛礁 ABC 的外围选择一点 D（D 在平面 ABC 内），建设一条军用飞机跑道 AD，在点 D 测得 B、C 两点的视角=60°，如图所示，记=，如何设计，使得飞机跑道 AD 最长？/答案在中，BC=1,=60°,=，由正弦定理知=，所以 BD=+在中，AB=1,=60°+，由余弦定理知=+-2ABBD=1+(+)(+)-21(+)(-)=+当 2-30°=90°，=60°时，跑道 AD 最长/21. 如图,在四边形 ABCD 中,.(1)求 BC 的长;(2)求四边形 ABCD 的面积;3)求 sinD 的值.解:(1)由条件,得,.,.则.,.(2)由(1)得.,.(3)在中,/.,.22. 在中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知()求的值;()若,求的面积 S.解:(),变形得:,即,利用正弦定理得:,即;(),由余弦定理及得:,即,又,则的面积.刷真题考点 1 利用正弦定理、余弦定理求解三角形/1. 在中,若,则( )A. 1 B 2 C 3 D 4答案A解:在中,若,可得:,计算得出或(舍去).所以 A 选项是正确的.2. 在中，边上的高等于，则（ ）。A: B: C: D: 答案C解析本题主要考查正余弦定理的应用。在中，解得，根据余弦定理，即，。3. 已知的三边长分别为 ， ， ，则该三角形的外接圆半径等于 。答案02:07解析本题主要考查正弦定理与余弦定理。设，则由余弦定理可得，则，因为，其中 为外接圆的半径，则。故本题正确答案为 4. /的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若，则 。答案解析本题主要考查正弦定理。由题意知，由正弦定理得，且，解得，所以。故本题正确答案为。5. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知。（1）求 ；（2）若，的面积为，求的周长。 答案（1）已知，由正弦定理得：，即，解得，又因为，所以； .6 分（2）已知三角形的面积，所以有，解得，由余弦定理得：，化简得：，联立得：，所以三角形的周长为。 .12 分考点 2 正弦定理、余弦定理的实际应用6. 如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A点测得 M 点的仰角,C 点的仰角以及;从 C 点测得.已知山高,则山高/答案解:在中,所以.在中,从而,由正弦定理得,因此.在中,得;因此，本题正确答案是:.7. 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°，此时气球的高是 46m，则河流的宽度 BC 约等于 m（用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73）答案/解：过 A 点作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D，则 RtACD 中，C=30°，AD=46mCD=4679.58m又RtABD 中，ABD=67°，可得 BD=19.5mBC=CD-BD=79.58-19.5=60.0860m 故答案为：60m.8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 在西偏北的方向上，行驶后到达 处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 。答案解析本题主要考查正弦定理的应用。由题意可知，在中，所以，由正弦定理可得，即有，解得。又由题意可知，在中，所以由/可得，解得。故本题正确答案为。考点 3 正弦定理、余弦定理与三角变换的综合应用9. 在中，。（1）求的大小；（2）求的最大值。答案（1）根据余弦定理，有，已知，所以，因为，所以。 .5 分（2）由（1）知，所以，所以当且仅当时，原式取得最大值 。 .13 分10. 在中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知。（1）证明：；（2）若的面积，求角 的大小。答案（1）在中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，根据正弦定理可得：，又，上式化简后得，式子展开整理得，则，即或，即（不符合题意，舍去）。故得证。（2）的面积，利用正弦定理将上式变形得到：，即，所以或，即或。刷好题/1. 已知钝角三角形的三边长分别为 2,3,x,则 x 的取值范围是( )A. B. C. 或D. 答案C解:当 x 为最大边时,;当 3 为最大边时,.的取值范围是:或.2. 下中， 为上一点，且，则的长为（ ）。A: B: C: D: 答案C解析本题主要考查正弦定理和余弦定理。由已知得，由得，由已知得，在中根据余/弦定理，求得。故本题正确答案为 C。3. 若锐角的三边 a,b,c 满足,则的图像( )A.与 X 轴相切 B.在 X 轴上方 C.在 X 轴下方 D.与 X 轴交与两点答案因为是锐角,设为等边,即,则即该图形与相切,且开口向上,所以在 x 轴之上综上,选 B当时有最小值 0,可 A 在之间,故,因此所以函式图像为开口向上的抛物线,且在直线之上即高于横轴,选 B4. 知的三边长分别为 、 、 ，且满足，则 的取值范围为（ ）。A: B: C: D: 答案B解析本题主要考查三角形的基本性质。/由，可得，即，所以。由，得，即。所以 的取值范围为。故本题正确答案为 B。5，如图,已知圆内接四边形 ABCD 的边长为,则四边形 ABCD 面积为( )A. ,B. 8C. D. 答案D解:连结 BD,可得四边形 ABCD 的面积为四边形 ABCD 内接于圆,可得.在中,由余弦定理可得,同理可得:在中,结合,得,计算得出,/,代入式,可得四边形 ABCD 面积所以 D 选项是正确的6. 在中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若,则 A=答案解:在中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,即,.因此，本题正确答案是:.7. 在中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,的面积为,则外接圆的半径为（ ）答案解:由,设,的面积为,/,即,即,计算得出:,或(舍去),由余弦定理得:,计算得出:,由正弦定理得:,即,则外接圆半径.因此，本题正确答案是:8. 在中,且与的夹角是.(1)求角 C;(2)已知,三角形的面积,求.解:(1),.,同理可得.与的夹角是,.(2)三角形的面积,化为./由余弦定理可得:,计算得出.9. 如图，在中，点 在边上，且，。（1）求；（2）求，的长。解：（1）在中，因为，所以，所以。（2）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以。10. 在四边形 ABCD 中,A、B 为定点,C、D 为动点,若与的面积分别为 S 和 T.(1)求的最大值;2)当取最大值时,求的值./答案解法一:(1)设,则,而,在中,在中,当时,有最大值.(2)由 (1)知,有最大值时,即,解法二:令,则,过 C 作交 BD 于 E,/,当时,有最大值. (2)在中,./