第四章(1)顶.ppt

第四章第四章 级数级数一.一.复数数列的极限复数数列的极限,判定判定;二.二.复数项级数的收敛复数项级数的收敛,判定判定二二.幂级数的概念幂级数的概念,性质性质三三.泰勒级数的概念泰勒级数的概念,计算计算四四.洛朗级数的概念洛朗级数的概念,计算计算复变函数的近似表示式复变函数的近似表示式主要内容主要内容:第一节第一节 复复 级级 数数预备知识预备知识:1.1.实数数列的极限实数数列的极限恒有恒有2.2.实数项级数实数项级数设给定实数数列设给定实数数列符号符号叫做无穷级数叫做无穷级数,简称级数简称级数;级数的收敛级数的收敛:否则否则,称级数发散称级数发散.注注:(2)(3)(3)绝对收敛绝对收敛(1)(1)等比级数等比级数(几何级数几何级数)3.3.正项级数正项级数常见判别方法常见判别方法:(i)(i)比较判别法比较判别法两个正项级数两个正项级数若若则则(ii)(ii)比值判别法比值判别法(达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法)正项级数正项级数若若则则4.特殊级数的相关结论特殊级数的相关结论(2)(2)交错级数交错级数(正负项交错出现的级数正负项交错出现的级数)若满足若满足则则交错级数收敛交错级数收敛.1.1.复数数列的极限复数数列的极限定理定理1.11.1则则的充要条件为的充要条件为充分性充分性例例极限不存在极限不存在(无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小)2.2.复数项级数复数项级数称为称为复数项无穷级数复数项无穷级数.否则，称级数发散否则，称级数发散。定理定理1.21.2则则的充要条件是的充要条件是收敛收敛实数项级数实数项级数复数项级数收敛的判定方法复数项级数收敛的判定方法:判定判定:实数项级数实数项级数 ，同时收敛同时收敛。非绝对收敛的收敛级数，称为非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛条件收敛。定理定理 1.31.3的的必要条件必要条件是是定义定义问题：绝对收敛与收敛之间的关系？问题：绝对收敛与收敛之间的关系？定理定理 1.41.4即即 若复数项级数是绝对收敛的，则它必定是收敛的。若复数项级数是绝对收敛的，则它必定是收敛的。注：注：不一定收敛。不一定收敛。（定理（定理1.41.4）（定理（定理1.21.2）提示提示:提示提示:(正项级数的比较判别法正项级数的比较判别法)则则 收敛，收敛，即即收敛收敛。发散发散收敛收敛发散。发散。收敛收敛收敛收敛.收敛收敛收敛收敛发散发散发散的发散的发散的。发散的。1.2 1.2 复变函数项级数复变函数项级数称为这级数的部分和。称为这级数的部分和。存在，存在，则称复变函数项级数则称复变函数项级数定义定义：幂级数幂级数即即 则称为幂级数。则称为幂级数。P54,P54,定理定理1.61.6p51,p51,定理定理1.51.5级数收敛，级数收敛，级数发散级数发散 这个例子表明，这个例子表明，在收敛圆上即存在级数的收敛点，也在收敛圆上即存在级数的收敛点，也存在级数的发散点存在级数的发散点。例例 1.31.3 计算收敛半径计算收敛半径幂级数的运算：幂级数的运算：则则两个幂级数像两个幂级数像多项式多项式一样进行相加，相减，相乘运算；一样进行相加，相减，相乘运算；代换（复合）运算：代换（复合）运算：则则例例 1.41.4解：解：凑项凑项小小 结结1.1.掌握复数项级数的掌握复数项级数的收敛，绝对收敛收敛，绝对收敛的判定。的判定。2.2.掌握幂级数的掌握幂级数的收敛半径收敛半径的计算。的计算。3.3.掌握幂级数掌握幂级数和函数和函数的性质的性质在收敛圆内解析在收敛圆内解析。4.4.掌握掌握例题例题1.21.2的结论的结论，以及，以及例题例题1.41.4中的中的代换运算代换运算。