普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,含答案).pdf

-1-2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（重庆卷，含答案）本试卷满分150 分，考试时间120 分钟第卷考生注意：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目2每小题选出答案后，用2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效3本卷共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件AB，互斥，那么()()()P ABP AP B如果事件AB，相互独立，那么()()()P A BP AP B如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率()(1)(0 1,2)kkn knnP kC PPkn，以R为半径的球体积：343VR一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。1直线1yx与圆221xy的位置关系为（）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离2已知复数z的实部为1，虚部为2，则5iz=（）A2i B2i C2iD2i3282()xx的展开式中4x的系数是（）A16 B70 C560 D1120 4已知1,6,()2aba ba，则向量a与向量b的夹角是（）A6B4C3D25不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A(,14,)B(,25,)C1,2D(,12,)6锅中煮有芝麻馅汤圆6 个，花生馅汤圆5 个，豆沙馅汤圆4 个，这三种汤圆的外部特-2-征完全相同。从中任意舀取4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到1 个的概率为（）A891 B2591C4891D60917设ABC的三个内角,A B C，向量(3sin,sin)ABm，(cos,3 cos)BAn，若1cos()ABm n，则C=（）A6B3C23D568已知22lim()21xxaxbx，其中,a bR，则ab的值为（）A6 B2C2D69已知二面角l的大小为050，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和平面所成的角都是025的直线的条数为（）A2 B3 C4 D510已知以4T为周期的函数21,(1,1()12,(1,3mxxfxxx，其中0m。若方程3()f xx恰有 5 个实数解，则m的取值范围为（）A15 8(,)33B15(,7)3C4 8(,)3 3D4(,7)3二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分把答案写在答题卡相应位置上11若3AxR x，21xBxR，则AB12若1()21xf xa是奇函数，则a13将 4 名大学生分配到3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）14 设12a，121nnaa，21nnnaba，*nN，则 数 列nb的 通 项 公 式nb=15已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若双曲线上存在一点P使1221sinsinPF FaPF Fc，则该双曲线的离心率的取值范围是-3-三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分13 分，（）小问7 分，（）小问6 分）设函数2()sin()2cos1468xxf x（）求()f x的最小正周期（）若 函 数()yg x与()yf x的 图 像关 于 直 线1x对 称，求 当40,3x时()yg x的最大值17（本小题满分13 分，（）问7 分，（）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响求移栽的4 株大树中：（）两种大树各成活1 株的概率；（）成活的株数的分布列与期望18（本小题满分13 分，（）问5 分，（）问 8 分）设函数2()(0)f xaxbxk k在0 x处取得极值，且曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线垂直于直线210 xy（）求,a b的值；（）若函数()()xeg xf x，讨论()g x的单调性-4-19（本小题满分12 分，（）问5 分，（）问 7 分）如题（19）图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，,22CSDS CSAD；E为BS的中点，2,3CEAS求：（）点A到平面BCS的距离；（）二面角ECDA的大小20（本小题满分12 分，（）问5 分，（）问 7 分）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为4 33y，离心率32e，M是椭圆上的动点（）若,C D的坐标分别是(0,3),(0,3)，求MCMD的最大值；（）如题（20）图，点A的坐标为(1,0)，B是圆221xy上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQOMON，0QA BA求线段QB的中点P的轨迹方程；21（本小题满分12 分，（）问5 分，（）问 7 分）设m个不全相等的正数12,(7)ma aam依次围成一个圆圈（）若2009m，且121005,a aa是公差为d的等差数列，而1200920081006,a aaa-5-是 公 比 为qd的 等 比 数 列；数 列12,ma aa的 前n项 和()nSnm满 足：320092007115,12SSSa，求通项()nanm；（）若 每 个 数()na nm是 其 左 右 相 邻 两 数 平 方 的 等 比 中 项，求 证：2216712mmaaaama a a；绝密启用前2009 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5 分，满分50 分.(1)B (2)A (3)D (4)C (5)A (6)C(7)C (8)D (9)B (10)B.二填空题：每小题5 分，满分25 分.(11)(0,3)(12)12 (13)36 (14)12n (15)(1,21)三解答题：满分75 分.(16)（本小题13 分）解：（）()f x=sincoscossincos46464xxx =33sincos2424xx =3sin()43x故()f x的最小正周期为T=24=8 ()解法一：在()yg x的图象上任取一点(,()x g x，它关于1x的对称点(2,()x g x.由题设条件，点(2,()x g x在()yf x的图象上，从而-6-()(2)3sin(2)43g xfxx=3sin243x =3cos()43x当304x时，23433x，因此()yg x在区间40,3上的最大值为max33 cos32g解法二：因区间40,3关于 x=1的对称区间为2,23，且()yg x与()yf x的图象关于x=1对称，故()yg x在40,3上的最大值为()yf x在2,23上的最大值由（）知()f x3sin()43x当223x时，6436因此()yg x在40,3上的最大值为max33 sin62g.(17)（本小题13 分）解：设kA表示甲种大树成活k 株，k0，1，2 lB表示乙种大树成活l 株，l 0，1，2 则kA，lB独立.由独立重复试验中事件发生的概率公式有2221()()()33kkkkP AC,2211()()()22llllP BC.据此算得01()9P A,14()9P A,24()9P A.01()4P B,11()2P B,21()4P B.()所求概率为2111412()()()929P ABP AP B?.()解法一：的所有可能值为0，1，2，3，4，且-7-0000111(0)()()()9436PP ABP AP B?,011011411(1)()()92946PP ABP AB?,021120114141(2)()()()949294PP ABP ABP AB?=1336,122141411(3)()()94923PP ABP AB?.22411(4)()949PP AB?.综上知有分布列0 1 2 3 4 P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9 从而，的期望为111311012343663639E73（株）解法二：分布列的求法同上令12，分别表示甲乙两种树成活的株数，则1221B(2,)，B(2,)32故有121EE241=2=，2332从而知1273EEE18、（本小题13 分）解（）因2()(0),()2f xaxbxk kfxaxb故又()f x在 x=0 处取得极限值，故()0,fx从而0b由曲线 y=()f x在（1，f（1）处的切线与直线210 xy相互垂直可知该切线斜率为2，即(1)2,f有2a=2,从而 a=1（）由（）知，2()(0)xeg xkxk-8-222(2)()(0)()xexxkg xkxk令2()0,20g xxxk有（1）当440,k即当 k1时，g(x)0 在R上恒成立，故函数 g(x)在R上为增函数（2）当440,k即当 k=1时，222(1)()0(0)()xexgxxxkK=1时，g（x）在 R上为增函数（3）440,k即当 0k1时，方程220 xxk有两个不相等实根1211,11xk xk当(,11)()0,(),11)xkgxg xk是故在（上为增函数当11,11xkk（）时，()0,g x故()11,11g xkk在（）上为减函数11xk（，+）时，()0,gx故()11g xk在（，+）上为增函数（19）（本小题12 分）解法一：（）因为 AD/BC,且,BCBCS平面所以/,ADBCS平面从而 A点到平面BCS的距离等于 D点到平面BCS的距离。因为平面,CSDABCDADCD平面，故ADCSD平面,从而ADSD，由 AD/BC，得BCDS,又由CSDS知DSBCS平面，从而DS为点 A到平面BCS的距离，因此在Rt ADS中22312DSASAD()如答（19）图 1，过 E电作,EGCD交CD于点 G，又过 G点作GHCD,交 AB于 H，故EGH为二面角ECDA的平面角，记为，过 E 点作EF/BC,交CS于点 F,连结GF,因平面,ABCDCSD GHCDGHGF平面易知,故2EGF.由于 E为 BS边中点，故112CFCS,在Rt CFE中，22211EFCECF,因EFCSD平面，又EGCD-9-故由三垂线定理的逆定理得FGCD,从而又可得,CGFCSD因此GFCFDSCD而在Rt CSD中，22426,11263CDCSSDCFGFDSCD故在Rt FEG中，tan3EFEGFFG可得3EGF，故所求二面角的大小为6解法二：（）如答（19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线OD,OC 分别为 x 轴，y 轴正向，建立空间坐标系，设(,)AAAA xyz，因平面,CODABCD ADCDADCOD平面故平面即点 A在 xoz 平面上，因此01AAyzAD，又22213,22 01AAxASxA从而（，）因 AD/BC，故 BC 平面 CSD，即 BCS与平面yOx 重合，从而点A到平面 BCS的距离为2Ax.()易知 C(0,2,0)，D(,0,0).因 E为 BS的中点.BCS为直角三角形 ,知22 2BSCE设 B(0,2,BZ)，BZ 0，则AZ2，故 B（0，2，2），所以 E（0，1，1）.在 CD上取点 G，设 G（11,0 xy），使 GE CD.由11(2,2,0),(,1,1),0CDGExyCD GE故1122(1)0 xy又点 G在直线 CD上，即/CGCD，由CG=（11,2,0 x y），则有11222xy联立、，解得G2 4(,0)33,故GE=22(,1)33.又由 AD CD，所以二面角ECD A的平面角为向量GE与向量DA所-10-成的角，记此角为 .因为GE=2 33，(0,0,1),1,1DADAGE DA,所以3cos2GE DAGEDA故所求的二面角的大小为6.(20)（本小题12 分）解：（）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221xyab（a b 0）.设22cab，由准线方程433y得.由32e得32ca，解得 a=2,c=3，从而 b=1，椭圆方程为2214yx.又易知 C，D两点是椭圆2214yx的焦点，所以,24MCMDa从而22()242MCMDMCMD，当且仅当MCMD，即点M 的坐标为(1,0)时上式取等号，MCMD的最大值为4.（II）如图（20）图，设M(,),(,)mmBBxyB xy(,)QQQ xy.因为(,0),NN xOMONOQ，故2,QNQMxxyy222(2)4yQQMxyxy因为0,QA BA(1)(1)(1)(1)0,QQNnQNQNxyxyxxy y-11-所以1QNQNNQx xy yxx.记 P点的坐标为(,)PPxy，因为 P是 BQ的中点所以2,2PQPPQPxxxyyy由因为221NNxy，结合，得22221()()4PPQNQNxyxxyy22221(2()4QNQnQNQNxxyyx xy y1(52(1)4QNxx34Px故动点 P的估计方程为221()12xy（21）（本小题12 分）解：（I）因1200920081006,a aaa是公比为 d 的等比数列，从而22000120081,aa d aa d由2009200812008200911212SSaaaa得，故解得3d或4d（舍去）。因此3d又313315Sad。解得12a从而当1005n时，1(1)23(1)31naandnn当10062009n时，由1200920081006,a aaa是公比为d 的等比数列得2009(1)201011(10062009)nnnaa da dn因此200931,10052 3,10062009nnnnan（II）由题意22222222111 112(1),nnnmmmaaanmaaaaa a得111112(1),nnnmmmaaanmaaaaa a-12-有得213456312211,aaaaaaaaaa由，得21212()nna aaa aa，故121na aa.又2131111(13)rrrrrrraaarmaaaa，故有631(16)rrraarma.下面反证法证明：6mk若不然，设6,15mkpp其中若取1p即61mk，则由得611mkaaa，而由得11122,maaaaaa故得21,a由得16611,mmkmaaaaaa从而而16122,1,aaaaa故由及可推得1na（1nm）与题设矛盾同理若 P=2，3，4，5 均可得1na（1nm）与题设矛盾,因此6mk为 6 的倍数由均值不等式得21123612121211()()()6aaaaaaaaaaaa由上面三组数内必有一组不相等（否则1231aaa，从而451maaa与题设矛盾），故等号不成立，从而12366aaaa又6mk，由和得2222227712656221622212221()()()()mkkaaaaaaaaaaaaaa（k-1)（k-1)(k-1)因此由得221236712366(1)6mmaaaaaakkmma a aa