解析几何第二十八讲抛物线5443.pdf

专题九 解析几何 第二十八讲 抛物线 2019 年 1.（2019 全国 II 理 8）若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 2 2 x y 1的一个焦点，则 p=3p p A2 B3 C4 D8 2.（2019 北京理 18（1）已知抛物线C:x2 2 py 经过点(2，-1).求抛物线 C 的方程及其准 线方程；3（2019 全国 I 理 19）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若 AF BF 4，求 l 的方程；（2）若 AP 3PB，求 AB 4.（2019 全国 III 理 21）已知曲线 C：y=x 2 2 1 上的动点，过 D 作 C 的两，D 为直线 y=2 条切线，切点分别为 A，B.（1）证明：直线 AB 过定点：（2）若以 E(0，5 2 )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积.2010-2018 年 一、选择题 1(2018 全国卷)设抛物线C：y2 4x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 2 3 的直线与C 交于 M，N 两点，则 FM FN=A5 B6 C7 D8 2（2017 新课标）已知 F 为抛物线C：y2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l，1 l，直线l 与C 交于 A、B 两点，直线 l 与C 交于 D、E 两点，则|AB|DE|的最 2 1 2 小值为 1 A16 B14 C12 D10 3(2016 年四川)设O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2 2px(p 0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且 PM=2 MF,则直线OM 的斜率的最大值为 A 3 3 B 2 3 C 2 2 D1 4(2016 年全国 I)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交C 于 A，B 两点，交C 的准线于 D，E 两点已知|AB|=4 2，|DE|=2 5，则C 的焦点到准线的距离为 A2 B4 C6 D8 5（2015 浙江）如图，设抛物线 y2 4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的 点 A,B,C，其中点 A,B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则 BCF 与 ACF 的面积之比是 A BF AF 1 1 B BF AF 2 2 1 1 C BF AF 1 1 D BF AF 2 2 1 1 6（2015 四川）设直线l 与抛物线 y2 4x 相交于 A,B 两点，与圆 x 5 y r r 0 2 2 2 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 A1，3 B1，4 C2，3 D2，4 7（2014 新课标 1）已知抛物线C：y2 8x的焦点为 F，准线为l，P 是l 上一点，Q 是 直线 PF 与C 的一个焦点，若 FP 4FQ，则|QF|=A 7 2 B 5 2 C3 D2 8（2014 新课标 2）设 F 为抛物线 C：y2 3x的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）2 A 3 3 4 B 9 3 8 C 63 32 D 9 4 9（2014 辽宁）已知点 A(2,3)在抛物线 C：y2 2px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第 一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（）A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 3 10（2013 新课标 1）O 为坐标原点，F 为抛物线C:y2 4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|4 2，则 POF 的面积为（）A 2 B 2 2 C 2 3 D 4 11（2013 江西）已知点 A 2,0，抛物线 C:x 4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线C 相 2 交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|:|MN|=A2:5 B1:2 C1:5 D1:3 12（2012 新课标）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2 16x的 准线交于 A、B 两点，|AB|4 3，则C 的实轴长为 A、2 B、2 2 C、4 D、8 13（2012 山东）已知双曲线 C：1 x y 2 2 2 2 1(a 0,b 0)的离心率为 2若抛物线 a b C2:x 2py(p 0)的焦点到双曲线 2 C 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C 的方程为 1 2 8 3 16 3 A x2 y B x2 y C x2 8y D x2 16y 3 3 14（2011 新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于 A，B 两点，|AB|12，P 为C 的准线上一点，则 ABP 的面积为 A18 B24 C36 D48 二、填空题 15(2018 全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线C：y2 4x，过C 的焦点且斜率为 k 的直 线与C 交于 A，B 两点若AMB 90o，则 k _ 16（2017 新课标）已知 F 是抛物线C：y2 8x的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长 3 线交 y 轴于点 N 若 M 为 FN 的中点，则|FN|17（2015 陕西）若抛物线 y2 2px(p 0)的准线经过双曲线 x2 y2 1的一个焦点，则 p=18（2014 湖南）如图 4，正方形 ABCD和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a b)，原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y2 2px(p 0)经过C,F b 两点，则 a 19（2013 北京）若抛物线 y2 2px 的焦点坐标为(1,0)，则 p ，准线方程为 20（2012 陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，水 位下降 1 米后，水面宽 米 21（2010 浙江）设抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为 F，点 A(0,2)若线段 FA 的中点 B 在抛物线上，则 B 到该抛物线准线的距离为_ 三、解答题 22（2018 北京）已知抛物线C：y2 2px 经过点 P(1,2)过点Q(0,1)的直线l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO，QN QO，求证：1 1 为定值 23（2018 全国卷）设抛物线：C y2 4x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k 0)的直线l 与C 交于 A，B 两点，|AB|8 4 (1)求l 的方程；(2)求过点 A，B 且与C 的准线相切的圆的方程 24（2018 浙江）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线C：y2 4x 上存在 不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在C 上 y A P M x O B(1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 y 2 x2 1(x 0)上的动点，求 PAB 面积的取值范围 4 25（2017 新课标）已知抛物线C：y2 2x，过点(2,0)的直线l 交C 与 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4,2)，求直线l 与圆 M 的方程 26（2017 浙江）如图，已知抛物线 B，抛物线上的点 x y 点 A(1,1)，(3,9)2 2 4 2 4 1 3 P(x,y)(x )，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为Q 2 2 y B Q A P x O 5 （）求直线 AP 斜率的取值范围；（）求|PA|PQ|的最大值 27（2017 北京）已知抛物线C：y2 2px 过点 P(1,1)过点(0,1)2 作直线l 与抛物线C 交 于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线OP，ON 交于点 A，B，其中O 为原点（）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点 28(2016 年全国 III)已知抛物线 C：y2 2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l，l 分 1 2 别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点.（）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 29（2015 新课标 1）在直角坐标系 xoy 中，曲线C：x 2 y 与直线 y kx a(a 0)交 4 与 M，N 两点，（）当 k 0 时，分别求C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM OPN？说明理由 30（2014 山东）已知抛物线C:y2 2px(p0）的焦点为 F，A 为C 上异于原点的任意 一点，过点 A 的直线l 交C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有 FA FD，当点 A 的横坐标为 3 时，ADF 为正三角形。（）求C 的方程；（）若直线l1/l，且l1 和C 有且只有一个公共点 E，（）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标；（）ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说 明理由。y x 2 2 31（2014 陕西）如图，曲线C 由上半椭圆 1:2 2 1(0,0)C a b y 和部分抛物 a b 2 C1,C2 的公共点为 A,B，其中 线 C y x y 连接而成，C 的离心率为 1 2:1(0)6 3 2 （）求 a,b的值；C C 分别交于 P,Q（均异于点 A,B），若 AP AQ，求 1,2（）过点 B的直线l 与 直线l 的方程 32（2013 广东）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F 0,cc 0到直线l:x y 2 0 的距离为 3 2 2 设 P 为直线l 上的点，过点 P 作抛物线C 的两条切线 PA,PB，其中 A,B 为切点（）求抛物线C 的方程；（）当点 P x0,y0 为直线l 上的定点时，求直线 AB 的方程；（）当点 P 在直线l 上移动时，求 AF BF 的最小值 33（2012 新课标）设抛物线 C：x2 2py(p 0)的焦点为 F，准线为l，A 为C 上一点，已知以 F 为圆心，FA为半径的圆 F 交l 于 B、D 点（）若 BFD 90o，ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F 的方程；（）若 A、B、F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与C 只有一个公共 点，求坐标原点到 m、n 距离的比值 34（2011 新课标）在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 A(0,1)，B 点在直线 y 3上，M 点满足 MB/OA，MAgAB MBgBA，M 点的轨迹为曲线 C（）求 C 的方程；7 （）P 为 C 上动点，l 为 C 在点 P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值 8