专题05平面向量(文理合卷)45415.pdf

12020 年高考数学压轴必刷题专题 05 平面向量(文理合卷)1【2019 年北京理科 07】设点 A，B，C 不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：点 A，B，C 不共线，“与的夹角为锐角”“|”，“|”“与的夹角为锐角”，设点 A，B，C 不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件故选：C2【2018 年浙江 09】已知，是平面向量，是单位向量若非零向量 与 的夹角为，向量 满足4 30，则|的最小值是（）A1B1C2D2【解答】解：由4 30，得，（）（），如图，不妨设，则 的终点在以（2，0）为圆心，以 1 为半径的圆周上，又非零向量 与 的夹角为，则 的终点在不含端点 O的两条射线 y（x 0）上不妨以 y为例，则|的最小值是（2，0）到直线的距离减 1即故选：A23【2018 年天津理科 08】如图，在平面四边形 ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1若点 E为边 CD 上的动点，则的最小值为（）ABCD3【解答】解：如图所示，以 D 为原点，以 DA所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线为 y 轴，过点 B 做 BN x 轴，过点 B做 BM y 轴，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1，AN ABcos60，BN ABsin60，DN 1，3BM，CMMB tan30，DCDM+MC，A（1，0），B（，），C（0，），设 E（0，m），（1，m），（，m），0m，m2m（m）2（m）2，当 m时，取得最小值为故选：A4【2017 年新课标 2 理科 12】已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则（）的最小值是（）A2BCD1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以 BC 中点为坐标原点，则 A（0，），B（1，0），C（1，0），4设 P（x，y），则（x，y），（1x，y），（1x，y），则（）2x22y+2y22x2+（y）2当 x 0，y时，取得最小值 2（），故选：B5【2017 年新课标 3 理科 12】在矩形 ABCD中，AB1，AD2，动点 P在以点 C 为圆心且与 BD相切的圆上若，则+的最大值为（）A3B2CD2【解答】解：如图：以 A为原点，以 AB，AD所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系，则 A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），动点 P在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，设圆的半径为 r，BC2，CD1，BD BC CDBD r，r，圆的方程为（x 1）2+（y 2）2，设点 P的坐标为（cos+1，sin+2），5（cos+1，sin+2）（1，0）+（0，2）（，2），cos+1，sin+22，+cossin+2sin（+）+2，其中 tan 2，1sin（+）1，1+3，故+的最大值为 3，故选：A6【2017 年浙江 10】如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与 BD交于点 O，记 I1，I2，I3，则（）AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3【解答】解：ABBC，ABBCAD2，CD3，AC2，AOB COD 90，由图象知 OA OC，OB OD，0，0，即 I3I1I2，故选：C7【2016 年天津理科 07】已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点 D、E分别是边 AB、BC的中点，连6接 DE并延长到点 F，使得 DE 2EF，则 的值为（）ABCD【解答】解：如图，D、E分别是边 AB、BC 的中点，且 DE 2EF，故选：C8【2014 年浙江理科 08】记 maxx，y，minx，y，设，为平面向量，则（）Amin|，|min|，|Bmin|，|min|，|Cmax|2，|2|2+|2Dmax|2，|2|2+|2【解答】解：对于选项 A，取 ，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项 B，取，是非零的相等向量，则不等式左边 min|，|0，显然，不等式不成立；对于选项 C，取，是非零的相等向量，则不等式左边max|2，|2|24，而不等式右边|2+|22，故 C 不成立，D 选项正确7故选：D9【2014 年天津理科 08】已知菱形 ABCD的边长为 2，BAD120，点 E、F分别在边 BC、DC 上，若1，则+（）ABCD【解答】解：由题意可得若（）（）22cos120 2+4+4+22cos1204+4 221，4+4 23 （）（1）（1）（1）（1）（1）（1）22cos120（1 +）（2），即 +由 求得+，故选：C10【2013 年上海理科 18】在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若 m、M分别为（）（）的最小值、最大值，其中i，j，k 1，2，3，4，5，r，s，t 1，2，3，4，5，则 m、M满足（）Am 0，M0Bm 0，M0Cm 0，M0Dm 0，M0【解答】解：由题意，以 A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为、，8利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于 0，m、M分别为（）（）的最小值、最大值，m 0，M0故选：D11【2012 年天津理科 07】已知ABC为等边三角形，AB2 设点 P，Q满足，R 若，则（）ABCD【解答】解：，R，ABC为等边三角形，AB2（1）22cos60+22cos180+（1）22cos180+（1）22cos6024+4 4+2 22，22+2 2424+10（2 1）20故选：A12 【2011 年 上 海 理 科 17】设 A1，A2，A3，A4，A5是 平 面 上 给 定 的 5 个 不 同 点，则 使成立的点 M的个数为（）A0B1C5D10【解答】解：根据题意，设 M的坐标为（x，y），x，y 解得组数即符合条件的点 M的个数，再设 A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；9若成立，得（x1x，y1y）+（x2x，y2y）+（x3x，y3y）+（x4x，y4y）+（x5x，y5y），则有 x，y；只有一组解，即符合条件的点 M有且只有一个；故选：B 13【2019 年天津理科 14】在四边形 ABCD中，AD BC，AB 2，AD 5，A 30，点 E在线段CB 的延长线上，且 AE BE，则【解答】解：AE BE，AD BC，A 30，在等腰三角形 ABE中，BEA120，又 AB 2，AE 2，又，12521故答案为：114【2019 年江苏 12】如图，在ABC中，D是 BC 的中点，E在边 AB 上，BE 2EA，AD 与 CE 交于点 O 若6，则的值是10【解答】解：设（），（）（1），（），66（）（）（），3，故答案为：15【2019 年浙江 17】已知正方形 ABCD的边长为 1当每个i（i 1，2，3，4，5，6）取遍1 时，|123456|的最小值是，最大值是【解答】解：正方形 ABCD的边长为 1，可得，110，|123456|12345566|（13+56）（24+5+6）|，由于i（i 1，2，3，4，5，6）取遍1，可得13+560，24+5+60，可取561，131，21，41，可得所求最小值为 0；由13+56，24+5+6的最大值为 4，可取21，41，561，11，31，可得所求最大值为 2故答案为：0，216【2018 年江苏 12】在平面直角坐标系 xOy中，A为直线 l：y 2x 上在第一象限内的点，B（5，0），以 AB 为直径的圆 C与直线 l 交于另一点 D 若0，则点 A的横坐标为【解答】解：设 A（a，2a），a 0，B（5，0），C（，a），则圆 C的方程为（x 5）（x a）+y（y 2a）0联立，解得 D（1，2）解得：a 3 或 a 1又 a 0，a 3即 A的横坐标为 3故答案为：31217【2017 年江苏 12】如图，在同一个平面内，向量，的模分别为 1，1，与的夹角为，且 tan 7，与的夹角为 45若mn（m，n R），则 m+n【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由与的夹角为，且 tan 7cos，sinCcos（+45）（cos sin）sin（+45）（sin+cos）Bmn（m，n R），mn，0n，解得 n，m则 m+n3故答案为：31318【2017 年浙江 15】已知向量、满足|1，|2，则|+|的最小值是，最大值是【解答】解：记AOB，则 0 ，如图，由余弦定理可得：|，|，令 x，y，则 x2+y210（x、y 1），其图象为一段圆弧 MN，如图，令 z x+y，则 y x+z，则直线 y x+z 过 M、N时 z 最小为 zmin1+33+14，当直线 y x+z 与圆弧 MN 相切时 z 最大，由平面几何知识易知 zmax即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧 MN 所在圆的半径的倍，所以 zmax综上所述，|+|的最小值是 4，最大值是故答案为：4、1419【2016 年江苏 13】如图，在ABC中，D是 BC 的中点，E，F是 AD 上的两个三等分点，4，1，则的值是【解答】解：D是 BC 的中点，E，F是 AD 上的两个三等分点，3，3，221，9224，2，2，又2，2，422，故答案为：20【2016 年浙江理科 15】已知向量，|1，|2，若对任意单位向量，均有|+|，则 的最大值是【解答】解：由绝对值不等式得|+|（）|，15于是对任意的单位向量，均有|（）|，|（）|2|2+|2+2 5+2，|（）|，因此|（）|的最大值，则，下面证明：可以取得，（1）若|+|，则显然满足条件（2）若|+|，此时|2|2+|22 514，此时|2 于是|+|2，符合题意，综上 的最大值是，法 2：由于任意单位向量，可设，则|+|+|，|+|，|，即（）26，即|2+|2+2 6，|1，|2，即 的最大值是 16法三：设，则，|+|+|，由题设当且仅当 与同向时，等号成立，此时（）2取得最大值 6，由于|2+|）22（|2+|2）10，于是（）2取得最小值 4，则，的最大值是 故答案为：21【2016 年上海理科 12】在平面直角坐标系中，已知 A（1，0），B（0，1），P是曲线 y上一个动点，则 的取值范围是【解答】解：在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），P是曲线 y上一个动点，设 P（cos，sin），0，（1，1），（cos，sin+1），cos+sin+1，的取值范围是0，117故答案为：0，122 【2015 年 浙 江 理 科 15】已 知是 空 间 单 位 向 量，若 空 间 向 量满 足，且对于任意 x，y R，1（x0，y0 R），则 x0，y0，|【解答】解：|coscos，不妨设（，0），（1，0，0），（m，n，t），则由题意可知mn 2，m，解得 m，n，（，t），（）（x y，t），|（）|2（x y）2+（）2+t2x2+xy+y24x 5y+t2+7（x）2（y 2）2+t2，由题意当 x x01，y y02 时，（x）2（y 2）2+t2取最小值 1，此时 t21，故2故答案为：1；2；21823【2015 年上海理科 14】在锐角三角形 ABC中，tanA，D为边 BC 上的点，ABD 与ACD 的面积分别为 2 和 4过 D作 DE AB 于 E，DF AC 于 F，则【解答】解：如图，ABD 与ACD 的面积分别为 2 和 4，可得，又 tanA，联立 sin2A+cos2A 1，得，cosA由，得则故答案为：24【2015 年天津理科 14】在等腰梯形 ABCD中，已知 AB DC，AB 2，BC 1，ABC60动点E和 F分别在线段 BC 和 DC 上，且，则 的最小值为【解答】解：由题意，得到 AD BC CD 1，所以（）（）（）（）21cos60+11cos602111cos1201（当且仅当时等号成立）；19故答案为：25【2014 年江苏 12】如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AB 8，AD 5，3，2，则的值是【解答】解：3，又AB 8，AD 5，（）（）|2|225122，故22，故答案为：2226【2013 年江苏 10】设 D，E分别是ABC的边 AB，BC 上的点，ADAB，BEBC，若12（1，2为实数），则1+2的值为【解答】解：由题意结合向量的运算可得，又由题意可知若12，故可得1，2，所以1+2故答案为：27【2013 年浙江理科 17】设、为单位向量，非零向量xy，x、y R 若、的夹角为 30，则的最大值等于20【解答】解：、为单位向量，和的夹角等于 30，11cos30非零向量xy，|，故当时，取得最大值为 2，故答案为 228【2012 年上海理科 12】在平行四边形 ABCD中，A，边 AB、AD 的长分别为 2、1，若 M、N分别是边 BC、CD 上的点，且满足，则的取值范围是【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则 B（2，0），A（0，0），D（），设，0，1，M（2），N（），所以（2）（）22+5，因为0，1，二次函数的对称轴为：1，所以0，1时，22+5 2，5故答案为：2，529【2011 年浙江理科 14】若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则 和 的夹角 的范围是21【解答】解：|sinsin，|1，|1，sin，0，30，150，故答案为：30，150，或，30【2011 年天津理科 14】已知直角梯形 ABCD中，AD BC，ADC90，AD 2，BC 1，P是腰DC 上的动点，则|3|的最小值为【解答】解：如图，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设 P（0，b）（0b a）则（2，b），（1，a b），（5，3a 4b）5故答案为 531【2010 年浙江理科 16】已知平面向量满足，且 与的夹角为 120，则|的取值范围是22【解答】解：令用、，如下图所示：则由，又 与的夹角为 120，ABC60又由 AC由正弦定理得：|（0，故|的取值范围是（0，故答案：（0，1【2018 年天津文科 08】在如图的平面图形中，已知 OM 1，ON 2，MON 120，2，2，则的值为（）A15B9C6D0【解答】解：解法，由题意，2，2，232，BCMN，且 BC3MN，又 MN2OM2+ON22OM ON cos1201+4212（）7，MN；BC3，cosOMN，|cos（OMN）31（）6解题：不妨设四边形 OMAN 是平行四边形，由 OM 1，ON 2，MON 120，2，2，知3333，（33）33312+321cos1206故选：C2【2016 年天津文科 07】已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点 D、E分别是边 AB、BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 DE 2EF，则 的值为（）ABCD【解答】解：如图，D、E分别是边 AB、BC 的中点，且 DE 2EF，24故选：C3【2012 年天津文科 08】在ABC中，A90，AB1，AC2设点 P，Q满足，R 若2，则（）ABCD2【解答】解：由题意可得0，由于（）（）0（1）0（1）4 12，解得，故选：B4【2010 年天津文科 09】如图，在ABC中，ADAB，则（）ABCD【解答】解：故选：D5【2019 年天津文科 14】在四边形 ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点 E在线段CB的延长线上，且 AE BE，则25【解答】解：AE BE，AD BC，A 30，在等腰三角形ABE 中，BEA 120，又 AB 2，AE 2，又，125 21故答案为：16【2017 年天津文科14】在ABC 中，A 60，AB 3，AC 2 若2，（R），且4，则的值为【解答】解：如图所示，ABC 中，A 60，AB 3，AC 2，2，（），26又（R），（）（）（）（）32cos6032 224，1，解得故答案为：7【2015 年天津文科 13】在等腰梯形 ABCD中，已知 AB DC，AB 2，BC 1，ABC60，点 E和 F分别在线段 BC 和 DC 上，且，则 的值为【解答】解：AB 2，BC 1，ABC60，BG，CD 211，BCD120，（）（）（）（）21cos6021cos011cos6011cos1201，27故答案为：8【2014 年天津文科 13】已知菱形 ABCD的边长为 2，BAD120，点 E，F分别在边 BC，DC 上，BC 3BE，DC DF，若1，则 的值为【解答】解：BC 3BE，DC DF，菱形 ABCD的边长为 2，BAD120，|2，22cos1202，1，（）（）（1）1，即442（1）1，整理得，解得 2，故答案为：29【2013 年北京文科 14】已知点 A（1，1），B（3，0），C（2，1）若平面区域 D由所有满足（1 2，0 1）的点 P组成，则 D的面积为【解答】解：设 P的坐标为（x，y），则（2，1），（1，2），（x 1，y+1），解之得281 2，0 1，点 P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形 CDEF及其内部其中 C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）|CF|，点 E（5，1）到直线 CF：2x y 60 的距离为 d平行四边形 CDEF的面积为 S|CF|d3，即动点 P构成的平面区域 D的面积为 3故答案为：310【2011 年天津文科 14】已知直角梯形 ABCD中，AD BC，ADC90，AD 2，BC 1，P是腰DC 上的动点，则|3|的最小值为【解答】解：如图，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设 P（0，b）（0b a）则（2，b），（1，a b），（5，3a 4b）5故答案为 5