2019年高考数学总复习第61讲求轨迹方程的基本方法5506.pdf

第 61 讲 求轨迹方程的基本方法 1已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PAPBx2，则点P的轨迹是(D)A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 PA(2x，y)，PB(3x，y)，因为PAPBx2，所以(2x)(3x)y2x2，即y2x6.2已知F1(1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是(A)A椭圆 B双曲线 C抛物线 D线段 由于|PF1|PF2|2|F1F2|42，所以P点轨迹为椭圆 3曲线f(x，y)0 关于直线xy20 对称曲线的方程是(D)Af(x2，y)0 Bf(x2，y)0 Cf(y2，x2)0 Df(y2，x2)0 设(x0，y0)是f(x，y)0 上任一点，它关于xy20 的对称点为(x，y)，则 xx02yy0220，yy0 xx01，解得 x0y2，y0 x2.又f(x0，y0)0，所以f(y2，x2)0.4设A1、A2是椭圆x29y241 长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(C)A.x29y241 B.y29x241 C.x29y241 D.y29x241 设交点为P(x，y)，A1(3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，y0)因为A1、P1，P三点共线，所以yy0 xx0yx3，因为A2、P2，P三点共线，所以yy0 xx0yx3，解得x09x，y03yx，代入x209y2041，化简得x29y241.5在圆x2y29 中，过已知点P(1,2)的弦的中点的轨迹方程为(x12)2(y1)254.设弦的中点为M，则OMPM.所以M在以OP为直径的圆上，故所求轨迹方程为(x12)2(y1)254.6在平面直角坐标系xOy中，已知圆在x轴上截得的线段长为 2 2，在y轴上截得的线段长为 2 3，则圆心P的轨迹方程为 y2x21.设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意y22r2，x23r2，从而y22x23，所以P点的轨迹方程为y2x21.7 设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|d2 的点P的轨迹方程 (方法一)设P的坐标为(x，y)，由|PF|2d，得x22y22|x|，即(x2)2y2(2|x|)2.所以y24|x|4x.当x0 时，y28x；当x0 时，y20 即y0.故所求轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0)(方法二)由题意|PF|2d，当P在y轴右侧时，可转化为|PF|x2，即点P到定点F的距离等于到定直线l：x2 的距离，所以点P在抛物线y28x上 当P点在y轴左侧时，|PF|2x，即点P到F(2,0)的距离等于P到直线x2 的距离，从而有y0(x0)综上可知，所求轨迹方程为y28x(x0)和y0(x0)8点P是以F1、F2为焦点的椭圆上的一点，过焦点F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点M，则点M的轨迹是(D)A抛物线 B椭圆 C双曲线 D圆 连接OM，延长F2M交F1P的延长线于点Q，则|PQ|PF2|.所以|QF1|PF1|PQ|PF1|PF2|2a.因为OM为F1F2Q的中位线，所以|OM|12|QF1|a.因此点M的轨迹是圆故选 D.9直线l与椭圆x24y21 交于P、Q两点，已知l的斜率为 1，则弦PQ中点的轨迹方程为 x4y0(4 55x4 55).设M(x，y)为PQ中点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x214y211，x224y221.，得 kPQy1y2x1x214x1x2y1y2142x2y1.所以x4y0.则M(x，x4)，因为M在椭圆内，所以x24(x4)21，解得4 55x4 55.所以所求轨迹方程为x4y0(4 55x4 55)10(2016新课标卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程 由题意知F(12，0)设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A(a22，a)，B(b22，b)，P(12，a)，Q(12，b)，R(12，ab2)记过A，B两点的直线为l，则l的方程为 2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，故 1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1ab1a2aba2ab1aababk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF12|ba|FD|12|ba|x112|，SPQF|ab|2.由题设可得 212|ba|x112|ab|2，所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得2abyx1(x1)而ab2y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D(1,0)重合 所以所求轨迹方程为y2x1.