完整数学人教版八年级上册134最短路径问题.pdf

134 课题学习 最短路径问题 教学目标 知识与技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想.过程与方法 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感、态度与价值观 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学.教学重难点 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学准备 多媒体课件 PPT 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 如图所示，从 A 地到 B 地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”二、自主学习，指向目标 页，思考下列问题：87 页至 85 自学教材第 1求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直 线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短 2 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求 3在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易 解决的问题，从而作出最短路径的选择 三、合作探究，达成目标 探究点一 探索最短路径问题 活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问 1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线 追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？答：(1)从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地，再回到 B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小(如图)问题 2：如图，点 A，B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？追问 1：对于问题 2，如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等？追问 2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B吗？展示点评：作法：(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B；(2)连接 AB，与直线 l 交于点 C.则点 C 即为所求 最短吗？BCAC 你能用所学的知识证明 3 问题 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C(与点 C 不重合)，连接 AC，BC，BC.由轴对称的性质知，BC BC，BCBC.AC BC AC BC AB，ACBC ACBC.在ABC中，ABACBC，AC BCACBC.即 AC BC 最短.小组讨论：证明 AC BC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C(与点 C 不重合)，证明 AC BC ACBC？这里的“C”的作用是什么？反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题 利用三角形的三边关系，若直线 l 上任意一点(与点 C 不重合)与 A，B 两点的距离和都大于 AC BC，就说明 AC BC 最小.C的代表的是除点 C 以外直线 l 上的任意一点 针对训练：1如图，A、B 是河流 同侧的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出来 BlBABlPP即为所求关于于点的对称点，连接，点交答：如下图，作点 2如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径 QBCQPQBCR，的对称点于，连接交 答：作关于直线PQRP.旅游船线路：探究点二 选址造桥问题 活动二：(造桥选址问题)如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)展示点评：从 A 到 B 要走的路线是 AMNB，如图所示，而 MN 是定值，于是要使路 最短即可BNAM 程最短，只要 解：在直线 a 上取任意一点 M，作 MNb 于点 N，平移 AM，使点 M移动到点 N的位置，点 A 移动到点 A的位置，连接 AB 交直线 b 于点 N，过点 N 作 MNa 于点 M，则路径 AMNB最短 理由如下：如图，点 M为直线 a 上任意一点(不与点 M 重合)，线段 AN是线段 AM 平移得到的 AAMN，ANAM AMMNBNANAABN MN 平行 AA且 MNAA MN 可以看作是 AA经过平移得到的 ANAM AMNBANNB 根据两点之间线段最短，得 ANNBABANBN AMNBANNB 根据两点之间线段最短，得 ANNBABANBN AMNBAMBN MNMN AMMNNBAMMNNB，即路径 AMNB 最短 小组讨论：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？反思小结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题 针对训练：3如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到 AB 边反弹后 再撞到黑球？答：4某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？b.解：如图1COA CDOBD2CDOA，(的分别交对称点)，作点关于连接的对称点，(作)，点关于1111OBPQCPQD的路线行走，所走的总路程最短，那么小明沿 于，四、总结梳理，内化目标 1本节课研究问题的基本过程是什么？2轴对称在所研究问题中起什么作用？五、达标检测，反思目标 1要在河边修建一个水泵，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？2.如图，四边形 ABCD 中，BAD120，BD90，在 BC，CD 上分别找一点 F，的度数AFEAEF 周长最小，求AEF 使 ACDBCAAAACDBC于点，分别交的对称点答案：如图，分别作点，连接关于、2211FEAEFADAFABAEAA180，因为周长最小由对称可知，即此时，2211BAD60DAFBAEAA60EAF 60AEF，所以，所以，所以21AFE180EAF120.布置作业，巩固目标教学难点 1上交作业 教科书复习题 13 第 15 题.2课后作业 见学生用书