椭圆标准方程及几何性质.pptx

第一节第一节 椭圆的椭圆的 标准方程标准方程第1页/共78页 2008年9月25日晚21时10分04秒，“神舟 七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。第2页/共78页第3页/共78页生活中的椭圆第4页/共78页数学实验：数学实验：新课讲解第5页/共78页结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该如何定义椭圆？思考：思考：F1F2M第6页/共78页F1F2M平面内到两个定点平面内到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大于（大于|F|F1 1F F2 2|）的点的轨迹叫的点的轨迹叫椭圆椭圆。这两个定点这两个定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点两焦点之间的距离叫做两焦点之间的距离叫做焦距焦距。1 1、椭圆的定义、椭圆的定义 如果设轨迹上任一点如果设轨迹上任一点M到两定点到两定点F F1 1、F F2 2的距离和为的距离和为常数常数2a，两定点之间的距离为，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：以用集合语言表示为：P=M|MF1|+|MF2|=2a（2a2c）第7页/共78页平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距。（1 1）平面曲线（2 2）到两定点F F1 1，F F2 2的距离等于定长2a2a（3 3）定长|F|F1 1F F2 2|(2a2c)|(2a2c)理解：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？第8页/共78页动点动点M M的轨迹：的轨迹：线段线段F F1 1F F2 2.MF1 F2 动点动点M M的轨迹：的轨迹：不存在不存在.时，即a=c时当2121FFMFMF=+时，即ac时当2121FFMFMF0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（想一想：下面怎样化简？）由椭圆的定义，代入坐标OxyMF1F2第11页/共78页则方程可化为则方程可化为观察左图，观察左图，你能从中找出表示你能从中找出表示 c c、a a 的线段吗？的线段吗？即即a a2 2-c-c2 2 有什么几何意义？有什么几何意义？（）第12页/共78页焦点在y y轴：焦点在x x轴：椭圆的标准方程椭圆的标准方程1oFyx2FM1 12 2yoFFMx F1（-c，0）、F2（c，0）F1（0，-c）、F2（0，c）第13页/共78页注意理解以下几点：在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；在椭圆的两种标准方程中，由于 ，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；椭圆的三个参数之间的关系是 ，其中大小不确定第14页/共78页思考：（1）将一个底面圆半径为5的圆柱沿与底面成600角作一个截面，截面为椭圆，求其标准方程。（2）椭圆的中心在点（m,n），标准方程式什么？第15页/共78页分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。注意：注意：1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？哪个坐标轴上？跟踪练习第16页/共78页变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，结果如何？变式二变式二:将上题改为两个焦点的距离为8 8，椭圆上一点P P到两焦点的距离和等于1010，结果如何？已知两个焦点的坐标分别是已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点，椭圆上一点P到到两焦点距离的和等于两焦点距离的和等于10；2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程当焦点在当焦点在X X轴时，方程为：轴时，方程为：当焦点在当焦点在Y Y轴时，方程为：轴时，方程为：第17页/共78页例1.椭圆两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经过点P ，求标准方程。解：法1：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为 c=2，且 c2=a2-b2 4=a2-b2 又椭圆经过点P 联立可求得：椭圆的标准方程为 xyF1F2P例题讲解第18页/共78页法2：设它的标准方程为 由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为求椭圆标准方程的步骤：（1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位）（2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b.（后定量)第19页/共78页1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=3,焦点在x 轴；（2）a=5,c=2,焦点在y 轴上2椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；的弦，则的周长为 若CD为过左焦点跟踪练习第20页/共78页分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标探究定义探究定义a、b、c 的关系的关系xyF1 1F2 2MOxyF1 1F2 2MOa2-c2=b2(ab0)P=M|MFP=M|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|=2a（2a2c2a2c）知识总结第21页/共78页例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)一、求椭圆的标准方程一、求椭圆的标准方程例题讲解第22页/共78页解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)2a(54)2(54)210a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的方程为x225y291.第23页/共78页(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)4a20b210a21b21 a24，b21.故所求椭圆的方程为y24x21.第24页/共78页1.根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和B(12，3)；(2)经过点(2，3)且与椭圆9x24y236 有共同的焦点 跟踪练习第25页/共78页解：(1)设所求椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0 且 mn)椭圆经过两点A(0,2)、B(12，3)，0m4n1，14m3n1，解得 m1，n4.所求椭圆方程为x2y241.第26页/共78页(2)椭圆 9x24y236 的焦点为(0，5)则可设所求椭圆方程为x2my2m51(m0)又椭圆经过点(2，-3)则有4m9m51.解得m10或m2(舍去)所求椭圆的方程为x210y2151.第27页/共78页例例2.已已知知动动圆圆M过过定定点点A(3,0)，并并且且内内切切于于定定圆圆B：(x3)2y264，求求动动圆圆圆圆心心M的的轨轨迹方程迹方程二、利用椭圆的定义求轨迹方程二、利用椭圆的定义求轨迹方程例3.已知圆B:(x+1)2+y2=16，A(1,0)，C为圆上任意一点，AC中垂线与CB交于点P，求点P的轨迹方程。第28页/共78页解：设动圆 M 的半径为 r，则|MA|r，|MB|8r，|MA|MB|8，且 8|AB|6，动点 M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且 2a8，a4，c3a2c21697.所求动圆圆心 M 的轨迹方程是x216y271.b2第29页/共78页例4.有一颗地球卫星沿地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行，卫星近地点约200公里，远地点约500公里，地球半径R约6400公里，求运行轨道方程。xoFF1ABy规律：近地点和远地点一定是长轴的两个端点。第30页/共78页1.已知动圆M和定圆C1：x2(y3)264内切，而和定圆C2：x2(y3)24外切求动圆圆心M的轨迹方程跟踪练习第31页/共78页解：设动圆 M 的半径为 r，圆心M(x，y)，两定圆圆心 C1(0,3)，C2(0，3），半径 r18，r22.则|MC1|8r，|MC2|r2.|MC1|MC2|(8r)(r2)10.又|C1C2|6，动圆圆心 M 的轨迹是椭圆，且焦点为 C1(0,3)，C2(0，3)，且 2a10，a5，c3，b2a2c225916.动圆圆心 M 的轨迹方程是y225x2161.第32页/共78页2.设点A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为 ，求点M的轨迹方程。思考：斜率之积为m(m2c)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距(2c)。1、椭圆的定义注意“常数2a”的条件：2a=2c 等于线段 2ab0)为例由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式1,即x2a2 ,y2b2，x a ,y b.1,椭圆的几何性质新课讲解第42页/共78页x这说明椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里。oya-ab-b第43页/共78页 在椭圆上，任取一点(x,y),其关于x轴、y 轴和坐标原点对称的点仍在椭圆上。所以椭圆关于x轴、y 轴和坐标原点都是对称的。xo(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)y、对称性、对称性 其中坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.第44页/共78页、顶点、顶点 椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长xo(a,0)(0,b)(-a,0)(0,-b)yA1A2B1B2第45页/共78页4 4、离心率、离心率【定义】焦距与长轴长的比【范围】0e0即3k2+k+3/40恒成立（事实上，点P在椭圆内,直线与椭圆恒相交）K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1（法二）：设A(x1,y1),B(x2,y2),x12+4y12=4x22+4y22=4点差得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0即2+4k=0K=-1/2所以l:y=(-1/2)x+1代入方程由弦长公式得到弦长。第71页/共78页3.椭圆C中心在原点，交点在x轴上,过点P(1,0)的直线L与椭圆交于A，B，直线y=x/2过AB中点，同时，椭圆上存在一点N与右焦点F关于L对称，求L及椭圆C.xoAByFN第72页/共78页4.长轴为4的椭圆上有A,B,C三点，A为长轴一端点，BC过椭圆中心O，且AC.BC=0，|BC|=2|AC|(1)建立适当坐标系，求椭圆方程；(2)如果椭圆上有两点P,Q，使角PCQ的平分线垂直于AO,证明：PQ=tABxoAByCPQ第73页/共78页解解:(1):(1)方程：方程：x x2 2+3y+3y2 2=4=4(2)(2)解：若斜率不存在，CP，CQ重合，故两直线都有斜率，令xoAByCPQ由从这里就要解出 来（呵呵。很多人已经没勇气再算下去了，解析几何在高考中很多时候就是考计算，这点不算什么）大家注意，硬解那当然就bt了，这方程中肯定有一解是1，因为直线是过了(1,1)的，呵呵，所以另一根用韦达定理求得。第74页/共78页呵呵，所以呵呵，再算可以再同样算，但是注意到就是先的变-就完了，所以所以正好是AB 的斜率，（因为B（-1，-1）所以PQ=tAB第75页/共78页(2)过点 作直线L与椭圆x2+4y2=16相交于A、B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线L倾斜角的正切值。5.（1)椭圆x2+4y2=16上有两点A,B，若OA,OB斜率之xoAByP积为-1/4,求|OA|2+|OB|2；第76页/共78页，要求的是，又所以从方程中换掉后就得到所求的是那么我们把条件一用就该得到（这是解析几何一个大思路，题目给你什么你用什么，叫你求什么你算什么，并且注意点是椭圆上的点进而利用方程减少变量。）（为何要平方，就是为了能用椭圆方程来消元）将代入有化一下就有，故答案为20这个东西。解:(1)第77页/共78页感谢您的观看。第78页/共78页