2015届高三概率专练理科.pdf

2015届局三概率练习题1.(本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是g,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才能入选.(I)求乙得分的分布列和数学期望；(I I)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.18.(本小题满分12分)【解】：(I)设乙答题所得分数为X,则X的可能取值为 15,0,15,30.C；1C也5P(X=1 5)/=p(x=o)=m=12G o12；cc?5c；1P(X=15)=寸=;P(X=30)=帚C i o1212乙得分的分布列如下：X-150 1530D15 51I1212 1212(6分)x(-15)+x0+X15+x30=.12 12 12 12 2(I I)由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A,乙入选为事件8.3 2则 P(A)=C(-)2(-)+81125P(B)-1-12 125 1 12故甲乙两人至少有一人入选的概率 44 1 103P=1-P(A B)=1-x-=.125 2 1252.(本小题12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设 甲、乙两种大树移栽的成活率分别为巳5 和甘4，且各株大树是否成活互不影响.求移栽6 5的4株大树中：(I)至少有1株成活的概率；(I I)两种大树各成活1株的概率.解：设人表示第攵株甲种大树成活，攵=1,2;设片表示第/株乙种大树成活,5 4/=1,2则4,4，稣为独立,且(4)=2(4)=7 2 4)=2打)=工(I)至少有1株成活的概率为:1 1 8 9 91 P（A 4 4 S）=1 P（A）P（4）P（4）P（B,）=1（）2（工）2=有o 5 9 0 0（I I）由 独 立 重 复 试 验 中 事 件 发 生 的 概 率 公 式 知，两 种 大 树 各 成 活 1株的概率为:3 .（1 2 分）某电视台综艺频道主办一种有奖过关游戏，该游戏设有两关，只有过了第一关,才能玩第二关，每关最多玩两次，连续两次失败者被淘汰出局.过关者可获奖金，只过第一关获奖金9 0 0 元，两关全过获奖金3 6 0 0 元.某同学有幸参与了上述游戏，且该同学每一次过关的概率均为各次过关与否互不影响.在游戏过程中，该同学不放弃所有机会.（1）求该同学仅获得9 0 0 元奖金的概率；（2）若该同学已顺利通过第一关，求他获得3 6 0 0 元奖金的概率；（3）求该同学获得奖金J的数学期望（精确到元）.解：（1）设该同学仅获得9 0 0 元奖金的事件为A,则P（A）=。一+9G4=鲁.（4 分）（2）因为该同学已顺利通过第一关，当他通过第二关即可获得3 6 0 0 元奖金，所以他获得 3 6 0 0 元奖金的概率尸=1 一=弓=普.（8分）（3）该同学获得奖金J可取的值为0,9 0 0,3 6 0 0P（=0）=j.1 =i；PC=9 0 0）=枭 P（=3 6 0 0）=1.1 =H.Eg=9 0 0 义鲁+3 6 0 0*转=2 9 3 3,该同学获得奖金J的数 学期望为2 9 3 3 元.（1 2 分）4 .甲、乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码X后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y,设随机变量X=卜-）|（1）求 y =2的概率；（2）求随机变量X 的分布列及数学期望.解：（1）P（y =2）=P（x =2,y =2）+P（x W 2,y =2）12 3 11=x+x-=-4 5 4 5 4（2）随机变量X 可取的值为0,1,2,3当 X=0 时,（x,y）=（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）P(X =0)=1x2 +上1x2 +1x2 +上12=24 5 4 5 4 5 4 5 5当 X =1 时，(x,y)=(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3P(X=1)=-x-+-x-+-x-+-x-+-x-+-x-=4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 4 5 1 0同理可得 P(X =2)=;P(X =3)=随机变量X的分布列为X0123p2531 0511 02 3 1 1/.EX=0 x-+l x +2 x-+3 x =15 1 0 5 1 05.(本小题满分1 2分)为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款Q Q应用，如“。农场”、音乐”、读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“QQ使用情况”调查，从高二年级的一、二、三、四班中抽取1 0名学生代表参加,抽取不同班级的学生人数如下表所示：班级一班二班三班四班人数2人3人4人1人(1)从这1 0名学生中随机选出2名，求这2人来自相同班级的概率；(2)假设在某时段，三名学生代表甲、乙、丙准备分别从QQ农场、QQ音乐、QQ读书中任意选择一项，他们选择QQ农场的概率都为,；选择QQ音乐6的概率都为；选择QQ读书的概率都为工；他们的选择相互独立.设在该时段3 2这三名学生中选择QQ读书的总人数为随机变量求随机变量彳的分布列及数学期望解：(D记这两名学生都来自第i班 为 事 件=1,2,3,4)则尸喀修尸唔*哈哈二 1 0 2.P=P(A)+/5(A)+/5(A)+P(A4)=-=-.6 分(I D J的取值为0,1,2,3.PC=o)=出W；PC=i)=c；CPG=2)=C；(=|；PG=3)=C；4的分布列为:0 12 31 3 3 13 3E j =0 x+l x+2 x+3 x=二.或 E?=p =.1 2 分7 8 8 8 8 2 2.6.第3 0届 奥 运 会 将 于2 0 1 2年7月2 7日在伦敦举行，当地某学校招募了 8名男志 愿 者 和1 2名 女 志 愿 者。将 这2 0名 志 愿 者 的 身 高 如 下 茎 叶 图（单 位：c?）：若 身 高 在1 80cm以 上（包 括1 80cm）定义为“高 个 子”，身 高 在1 8 0 c加 以 下（不 包 括1 8 0 c z n）定 义 为“非 高 个 子”，且 只 有“女高个 子”才 能 担 任“礼 仪 小 姐”。（I ）用 分 层 抽 样 的 方 法 从“高 个 子”和“非高 个 子”中 抽 取5人，如果从.这5人中随机选男 女8 1 65 8 98 7 6 1 72 3 5 57 4 2 1 80 121 1 9062人，那 么 至 少 有1人 是“高 个 子”的 概 率 是 多 少？（I I）若 从 所 有“高 个 子”中 随 机 选3名 志 愿 者，用X表示所选志愿者中能担任“礼 仪 小 姐”的 人 数，试 写 出X的 分 布 列，并 求X的 数 学 期 望。.解：（I）根据茎叶图可知，这2 0名志愿者中有 高个子 8人，非高个子 12人，用分层抽样的方法从中抽出5人，则 每 个 人 被 抽 到 的 概 率 为 所 以 应 从 高 个 子 中 抽8x =22 0 4 4人，从 非高个子 中抽12X =3人。4用事件A表示“至少有一名，高个子，被选中，则它的对立事件K表示“没有一名，高个子，被选 C2 3 7 7中 ，则p（A）=1 =p（A）=l-=l-=，因此至少有1人是高个子的概率是一；C；10 10 10（I I）依题意知，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的所有可能为0,1,2 3厂 1 c C2 3P（x=）=#彳尸（x =D=玄方P（X=2）=等 P（X=3（因此，X的分布列如下：1 3 3 1 3所以X的数学期望E X=0 x +l x +2 x +3 x =14 7 7 14 2X0123P137371147.某赛季，甲、乙两名篮球运动.员都参加了 7场比赛,况用如图所示的茎叶图表示(I)求甲、乙两名运动员得分的中位数；(I I)你认为哪位运动员的成绩更稳定？(III)如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙他们所有比赛得分的情的 得 分 的 概 率.(参 考 数 据：91 2+82+102+22+62+102+92=466,1 28.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为一,一，投中一球得1 分，投不中得0 分，且2 3两人投球互不影响。(I)甲、乙两人在罚球线各投球一次，记 他 们 得 分 之 和 为 求 J 的概率分布列和数学期72+42+62+32+12+22+112=236)【解】：(1)运动员甲得分的中位数是2 2,运动员乙得分的中位数是23.2 分,、14+17+15+24+22+23+32(2):=-=213 分12+13+11+23+27+31+30 八x乙7 =-=21.4 分72 _(21-14)2+(21-17)2+(21-15)2+(21-24)2+(21-22+(21-23)2+(21-32)2 _甲 7 _(21-12)2+(21-13+(21-11)?+(21-23)2+(21-27)2+(21-31/+(21-30_ 4 6 6乙 7 7 .s 从而甲运动员的成绩更稳定.8 分-5(3)从甲、乙两位运动员的7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3 场，甲得17分有3 场，甲得15分有3 场甲得24分 有 4 场，甲 得 2 2 分 有 3 场，甲 得 2 3 分有,3 场，甲 得 3 2 分 有7场，共 计 26场.11分从而甲的得分大于乙的得分的概率为=竺4912分(I I)记事件A为四次投球中至少一次命中，则一 =别 手 专，A P(A)=1-P(A)=|9.（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：工（九）=丁，人（%）=5也 人（幻=2,/,W=-|r 4 U）=s i n（y+x）,fb（x）=xcosx.（I ）从中任意拿取2张卡片，其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（I I）现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数J的分布列和数学期望.I l2A-1解：（I ）工（月=1为奇函数，人（同=5凶为偶函数，力（x）=2为偶函数,力（力 二 汨 jr为奇函数，买（x）=s i n（,+x）为偶函数，八（x）=x co s x为奇函数.3分所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数;故基本事件总数为C；C；+C；满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为C；r2 1故所求概率为尸=己 .6分C；C；+C；4（II）4可取 1,2,3,4.P C =D =C=J.P C=2）=G =3,K C：2仁）C C 1 0P G=3）=G.G C=2_ P G=4）=1.G.G.G=J _；9分 C：C Cl 2 0 “）C；C Cl C；2 0 故J的分布列为41234P231 032 012 01 3 3 1 7Ej =l x-+2 x +3x +4 x =一.2 1 0 2 0 2 0 41 0.（本小题1 3分）某公司从某大学招收毕业生，经过综合测试,录用了 1 4名男生和6名女生,这2 0名毕业生测试成绩如茎叶图所示（单位：分）公司规定：成绩在1 80分以上者到“甲部门”工作；1 80分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于1 80分的男生才能担任“助理工作”.（I ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（I I ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X的分布列，并求出X的数学期望.6男8 8 64 3 25 4 23 2 116女8-17 618 5 619 0 2o 9解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为2 =2 0 5根据茎叶图，甲部门人选1 0人，乙部门人选1 0人2?.选中的甲部门人选有1 0 x=4人，乙部门人选有1 0 x =4人-3分5 5用A表 示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件K表 示“没有一名甲仁 3 1 4部门人选被选中，则P（A）=1 P由）=1-1 3故至少有一人是“甲部门”人选的概率是一1 46分（I I ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3p（X=0）=CC3 =1c,3o 30cc2P（X=1）=中C1 031 0p（x =2）=C C =1 Cf Cj 1r 2 X的分布列为p（x=3）=-1 0 分Go 6X0123P13031 02261 3 1 1 9EX =0 x +l x +2 x-+3x-=-130 1 0 2 6 51 1.（本小题满分1 2分）某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困.救援队从入口进入之后有乙,4两条巷道通往作业区（如.下图），4巷道有4,4,&三个易堵塞点，各点被1 3 3堵塞的概率都是5；4巷道有用,为两个易堵塞点，被 堵 塞 的 概 率 分 别 为3.Az3c-4-4-4作业区（I）求4巷,道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率;（II）若4巷道中堵塞点个数为X,求X的分布列及数学期望EX,并按照 平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由.解：（I）设 巷 道 中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则 P（A）=C；x（；）3 +C；x g x（1）2=1（II）依题意，X的可能取值为0,1,2P（X=0）=（1-j）x（l-j）=历3 3 9p（X=2）=-x-=4 5 20所以，随机变量X的分布列为：3 3 3 3 9P(X=l)=-x(l-)+(l-)x-=-X012P1109209201 9 9E X=0 x+lx +2x10 20 202720（方法一）设 右巷道中堵塞点个数为丫,则Y的可能取值为0,1,2,32丫 =0)=*(步=38p（y=3）=c；x g）3=：所以，随机变量y的分布列为:Y0123P1331888813 3 1 3Ey=0 x-+lx-+2 x-+3 x-=-因为EX EY,所以选择右巷道为抢险路线8 8 8 8 2为好.1 1 3（方法二）设A,巷道中堵塞点个数为丫,则随机变量Y8（3,一）,所以，E Y=3x=2 2 2因为EX 丫，所以选择L2巷道为抢险路段为好12.（本小题满分12分）某市公租房的房源位于4,B,C三个.片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中:(I)恰有2 人申请A 片区房源的概率；(1 1)申请的房源所在片区的个数J 的分布列和期望.解：(I)所有可能的申请方式有34种，恰有2 人申请A 片 区 房 源 的 申 请 方 式 有 22种,从而恰有2 人申请A 片区房源的概率为互 经 1=&,.5 分34 27(II)的所有可能值为1,2,3,1 3.(本 小 题 满 分 1 3 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的1 0 0 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4件5 至 8 件9至 1 2件1 3 至 1 6 件1 7 件及以上顾客数(人)X3 025y1 0结算时间(分钟/人)11.522.53已知这1 0 0 位顾客中一次购物量超过8件的顾客占5 5%.(I )确 定 x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(I I )若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率.(注：将频率视为概率)解析：(I)由已知，得 25+y+10=55,x+3 0=4 5,所以 x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得3 3 1 11P(X=1)=,P(X=1.5)=,P(X=2)=-,P(X=2.5)=-,P(X =3)=,所以X的分布列为X11.522.53P3203W_5_511 03 3 1 1 1X 的数学期望为E(X)=l x +1.5 X +2X-+2.5 X +3 x =1.9 .6 分20 1 0 4 5 1 0(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X,(i =l,2)为该顾客前面第，位顾客的结算时间，则3 3 3 3 3 3 9P(A)=P(X 1 =1 且X,=1)+P(X 1 =1 且X,=1.5)+P(X 1 =1.5 且 X,=l)=，x，+3x?+3x3=1 21 2 1 2 20 20 20 1 0 1 0 20 8 09故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为3.1 3分8 01 4.(本题满分1 2分)甲、乙、丙三个同学同时报名参加某重点高校20 1 4年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格.因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为上，2，士，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格2 5 53 1 3的概率分别为己，-o5 2 4(I)求甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率；(H)设甲，乙，丙三人中材料审核过关的人数为随机变量X ,求X的分布列和期望。解：(I)设甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格的概率分别为P(A)、P(B)、P(C),1 3 3 1 3 3 2 3 3则 P(A)=x =3,P(B)=-x-=,P(C)=-x-=2 5 1 0 2 5 1 0 5 4 1 0所以甲，乙，丙三人中只有一人获得自主招生入选资格的概率：3 3P =C；(1)2=0.4 4 13 1 0 1 0(I D X 可能取值为 0,1,2,3,则 P(X=0)=(l ；)(l 1)(1|)=(八 1 2 3 1 3 3 1 2 2 1 9P(X=1)=-X-X-+X-X-+x-x-=25 5 25 5 25 5 5 0C、13 2 1 2 2 1 3 3 1 925 5 25 5 25 5 5 01 3 2 3p(X=3)=-x-x-=2 5 5 25X0123P3251 95 01 95 03252 c 3 ,1 9 c 1 9 c 6EX=0 x +l x +2x +3 x =325 5 0 5 0 5 021 5.（本小题满分1 2分）一个袋中装有8个大小质地相同的球，其中4个红球、4个白球，现从中任意取出四个球，设X为取得红球的个数.（I ）求X的分布列；（I I）若摸出4个都是红球记5分,摸出3个红球记4分，否则记2分.求得分的期望.19.解：(I )X=0,1,2,3,40 r 4 1其概率分布分别为：P（O）=24I=-L C；70叫）=等=殍尸 =詈嗡/U /V/尸（3）=C 8史_，C：C：-1 .其分布列为70 C：70383 54170(I I)E(0 =X 5+x 4+v 7 70(迎+上+(70 70（12 分）16.（本小题满分12分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方 法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.（1）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（2）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.别性 对 甲乙男32女52解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为（3 +5）:（2 +2）=2:1,2 1所以，从甲组抽取的学生人数为x 3 =2；从乙组抽取的学生人数为x 3 =l.3 3设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A,则 尸（A）=g =，C；2 8故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为.6分2 8（2）随机变量X的所有取值为0,1,2,3.ax=o)=f 1*e x=D=*+fg 号C2.C1 C1 C1-C1 9 C2.C1 3P(X=2)=3 5+2 2 =2-p(x=3)=-.=()C：C C：28 (-)C C；5 6所以，随机变量X 的分布列为：X 0 1235 2 593P 2 8 5 62 85 65 2 5 9E X=0 x+l x +2 x+3 x 3_ 52 8 5 6 2 85 6一4 ,12 分17.（本小题满分1 3 分）对甲，乙两名运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如下，列出乙的得分统计表如下：（1）估计甲在一场比赛中得分不低于2 0分的概率分值 0J 0)10,2 0)2 0,3 0)3 0,4 0)场数102 04 03 0（2）判断甲，乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（3）在乙所进行的100场比赛中，按表格中个分值区间的场数分布采用分层抽样法取出10场比赛，再从这10场比赛中随机选出2场进一步分析，记这2 场比赛中得分不低于10分 的 场 数 为 求 J的分布列和数学期望。(K2O 4IS)（本小题满分13 分）解：（I ）0.72 .2 分（I I）甲更稳定，.5分（HI）按照分层抽样法，在 0,10）,10,2 0）,2 0,3 0）,3 0,4 0）,内抽出的比赛场数分别为1,2,4,3,6 分J的取值为0,1,2,.7 分C2 2 1 7分10分P C =2)=空=3C(o 45 1511分J的分布列为:012P7157151157 7 1E4=0+1+2 15 15 1515513 分1 8.(本小题满分12分)甲、乙两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时甲赢得乙一张卡片，否则乙赢得甲一张卡片.规定掷硬币的次数达6次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设X表示游戏终止时掷硬币的次数。(1)求第三次掷硬币后甲恰有4张卡片的概率；(2)求X的分布列和数学期望E X.解：(1)记“第三.次掷硬币后甲恰有4张卡片”为事件A,则 P(A)=*)3250空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2013年 9 月份的30天中随机抽取15天的PM 2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所不.(I)试估计甲城市在2013年 9 月份30天的空气质量类别3 2045 56 47 6978 8079 1809为优或良的天数;（I I ）在甲城市这1 5 个监测数据中任取2个，设 X 为空气质量类别为优或良的天数，求 X 的分布列及数学期望。1 7.解：（I ）由茎叶图可知，甲城市在2 0 1 3 年 9 月份随机抽取的1 5 天中的空气质量类别为优或良的天数为5 天.所以可估计甲城市在2 0 1 3 年 9 月份3 0 天的空气质量类别为优或良的天数为1 0 天.（I I ）X 的取值为0,1,2,因为p（x=o）=i=3,p（x=i）=3,尸（X=2）=2C”7 C 5 2 1 C,5 2 1所以X 的分布列为:X012P371 021223 1 0 2 2所以数学期望EX=0X2+1X +2X*=*7 2 12 1 32 3.（本小题满分1 2 分）某校举行中学生“日常生活小常识 知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行;每位选手最多有5次答题机会,选手累计答对3 题或答错3 题即终止比赛，答对3 题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为士，且相互间没有影响.3 求选手甲进入复赛的概率；设选手甲在初赛中答题的个数为X,试求X 的分布列和数学期望.1 9.解：或选手甲答了 4个题，前 3个 2对 1 错，第 4次对进入复赛或选手甲答了 5个题，前 4个 2对 2 错，第 5次对进入复赛呜审评-6 分 选手甲进入复赛的概率P 吟+导3嗤一一7分（I I ）X可取 3,4,5-8 分对应X的每一个可能取值，选手可能被淘汰或进入复赛.尸（X=3）=或（？2 3+或（？I 3 =1P（x=4）=唠）3翡+C冲2.若 吟P（X=5）=*）2 .（孑|+喈2 .（孑 1=2-1 1 分分布列为：X345P JO J _3 2 7 2 72 4.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得一1分.现从盒内任取3个球(I )求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(I I)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(I I I)设J为取出的3个球中白色球的个数，求J的分布列和数学期望【答案】(I )P =l-3分(II)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C,贝I J尸(3+(7)=尸(3)+尸(0=C宅.6分U 42(I I I):可能的取值为0,1,2,3.7分软 )=1椅;.11 分2 5 .(本小题满分1 2分)某高校在2 0 1 1年自主招生考试成绩中随机抽取1 0 0名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组 7 5,8 0),第2组 8 0,8 5),第3组 8 5,90),第4组 90,95),第5组 95,1 0 0 得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第3,4,5组的频率；(2)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，(i)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；(i i)学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，频率设 第4组中有名学生被考官D M面试，求J的分布列和数学期望.0.0 7 H0.060.050.040.03-0.020.0175 8085 90 95 100 分数19.解：(1)第 三 组 的 频 率 为 0.06x5=0.3；第 四 组 的 频 率 为 0.04x5=0.2；第 五 组 的 频 率 为 0.02x5=0.1.3 分(2)(1)设加 学生甲和学生乙同时进入第二轮面试P（M）=i=_ LC；。145（i i）P低=i）=0 2T:2;（j=0、l、2）/02p5“82 2E=H-=1515 3-6 分1 28 115 15-10分-12分2 6.(本小题12分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到A,B,C 三个社区参加社会实践,要求每个社区至少有一名同学.(I)求甲、乙两人都被分到A 社区的概率；(I I)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(I I I)设随机变量孑为四名同学中到A 社区的人数，求 孑 的 分 布 列 和 的 值.答案42【解析】(1 )记甲、乙两人同时到A 社区为事件当，那么p(E J=岛118即甲、乙两人同时到A 社区的概率是.2分181(I I)记甲、乙两人在同一社区为事件E,那么p(E)=T =一，.4分C;A 6 5所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是p(E)=l p(E)=66分（Il l）随机变量J可能取的值为1,2.事件=l ”是指有i个同学到A社区,则 =2）=；.8 分2所以（乡=1）=1一，=2）=,J的分布列是:1 0分12P2331 2分2 1 4:.E 4 =l x+2 x=.3 3 32 7.为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出1 8人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表:（1）从 这1 8名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率;对别北京上 海天津八一人数4635（2）中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为求随机变量J的分布列及数学期望E 44.（理）解：（I ）“从 这1 8名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A,则 2A）=-6._:=-.（5 分）18,（ID 4的所有可能取值为0,1,2.（7分）Ly、八 9 1 ,5 6 6 4二 EC）=0 x +1 X +2 x =一 （1 2 分）1 5 3 1 5 3 1 5 3 92 8.（本题满分1 2分）如图所示，质点尸在正方形4 8 5的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3 一共六个数字.质点夕从1点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点？前进一步（如由力到向；当正方体上底面出现的数字是2,质点P前进两步（如由力到。，当正方体上底面出现的数字是3,质点前进三步（如由/到功.在质点户转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.p-|C（D求质点尸恰好返回到4点的概率；B（2）在质点。转一圈恰能返回到1 点的所有结果中，用随机变量f 表示点户恰能返回到力点的投掷次数，求 f 的数学期望.2 12.解：（1）投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为4=工=不只投掷一次不可能返回到4点；若投掷两次质点尸就恰好能返回到/点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1,3）、（3,1）、（2,2）三种结果，其概率为8=铲X 3=：；若投掷三次质点户恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1,1,2）、（1,2,1）、（2,1,1）三种结果，其概率为月=4尸*3=1：O J若投掷四次质点户恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1,1,1,1）.其概 率 为 月=（1），=-.1 1 1 3 7所以，质点户恰好返回到力点的概率为：4134+吗平H=1（2）由（1）知，质点尸转一圈恰能返回到4点的所有结果共有以上问题中甲7种情况,f 的可能取值为2,3,4,|+上=_3 3 1 5则尸（f=2）=亍，尸（f=3）=亍，P（i=4）=-,77 7 8=A3 3 1 19 I所以，E =2 X y+3 X y+4 X-=且2 9.某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T （单位：年）有关，若 T W 1,则销售利润为0元；若 1 3,则销售利润为2 0 0 元.设每台该种电器的无故障使用时间T W 1,1 T W 3,T 3 这三种情况发生的概率分别为片,吕，鸟，又知4，5为方程2 5 x 2-15 x+a=0 的两根，且 =%（I）求的值；（H）记J表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求 J的分布列及数学期望.2.解：（I）由已知得 解得：1 _ 2 2解得：&=5,与=5,区=5.(I I)J 的可能取值为 0,10 0,2 0 0,3 0 0,4 0 0.P(j=0)=1 1 X=5 5125P(J=10 0)=24x 25 245P C=2 0 0)=2 X -5 5 5x2=J_5 25P(j=3 0 0)=,22 X 一8252x 55P(/匕5=4 0 0)、=2 X 2=45 5 25随机变量J的分布列为010 02 0 03 0 04 0 0P12542582582542514 8 8 4所求的数学期望为 E J=0 X +10 0 X 一 +2 0 0 X 一 +3 0 0 X 一 +4 0 0 X 一 =2 4 0 (元)25 25 25 25 25所以随机变量4的数学期望为2 4 0 元.3 0.袋中有8个大小相同的小球，其中1 个黑球，3个白球，4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；(I I)若从袋中一次摸出3个小球，且 3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记 此 时 红 球 的 个 数 为 求4的分布列及数学期望E j.解：(I )摸出的2个小球为异色球的种数为C：C；+C；C；=19 .2分从 8个球中摸出2个小球的种数为C；=2 8 .3 分故所求概率为P =19 .4分2 8(I I)符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1 个红球，1 个黑球，1个白球，共有C：C：C；=1 2 种.5分一种是有2个红球，1 个其它颜色球，共有C：C：=2 4 种，.6分一种是所摸得的3小球均为红球，共有=4种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有4 0 种.8分由题意知，随机变量J的取值为1,2,3.其分布列为：4123P310351To3 3 1 9E =l x +2 X-+3 X =-.12 分10 5 10 520.(本小题满分13分)在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中,4,8两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,4队队员是8 队队员是8；,人津一按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下表，现按衣中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1 分，负队得。分，设4 队,8队最后所得总分分别为小且$+7=3.对阵队员4 队队员胜4 队队员负4 国2T1T2T342.7T(1)求 4 队得分为1 分的概率；(2)求6 的分布列;并用统计学的知识说明哪个队实力较强.21.(本小题满分14分)已知函数/(x)=Inx mx m,m e R.(1)巳知函数”外在点(1 4 1)处与工轴相切,求实数雨的值；(2)求函数/(x)的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0a6,证明/(”小叫 0）x依题意得/(I)=1 一 2 =0 ,即2 =13分当机0时，/(x)=机0,知函数/*)在(0,+8)递增；X/1、一 2(X-)当 相 0 时，/)=-粗-,由/(x)0 得 XG(0,-),由 f(x)0 得x mxw(,+)m即函数/(x)在(0,L)递增，在(工,+8)上递减.9分m m(3)由(1)知机=1,得/(x)=lnx-x+l,对于任意的0。m,9)_ 1，一1可化为b-a a(nb-b)-(na-a)1 1 上八,-一一 1,其中 0。b-a a=丁 旦 1,其中 0 v Q v。如a l lnf f +l 1,即/1r-1由知，函数/(x)在(1,+。)递减，且/=0,于是上式成立故对于任意的0a 8,八力二/(/_ 1成立.b-a a