概率论与数理统计_谢永钦版课后答案课后习题答案.pdf

概率论与数理统计习题及答案习 题 一1.略.见教材习题参考答案.2.设4 B,C为三个事件，试用力，B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生，B,C都不发生；(2)A与8发生，。不发生；(3)A,B,C都发生；(4)A,B,C至少有一个发生；(5)A,B,C都不发生；(6)A,B,C不都发生；(7)A,B,C至多有2个发生；(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)AUBUC=AB CU ABC UABC U A BCUAB CUABC UABC=ABC(5)ABC=AUBJC(6)ABC(7)BCUAB CUABC U AB CUA BC JA BC J ABC=ABC=A U 5 U C)ABUBCiJCA=ABC U/15CU 7 BCU4BC3.略.见教材习题参考答案4.设4,B为随机事件，且P G4)=0.7,尸(/-8)=0.3,求P().【解】P(AB)=1-P(AB)=l-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设4 8是两事件，且 尸(/)=0.6,尸(8)=0.7,求：(1)在什么条件下尸(4 8)取到最大值？(2)在什么条件下尸(A B)取到最小值？【解】(1)当48 时，P(A B)取到最大值为0.6.(2)当时,P(A B)取到最小值为0.3.6.设 B,C 为三事件，且 尸(N)=尸(8)=1/4,P(C)=1/3 且尸 CAB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求4,8,C至少有一事件发生的概率.【解】P UU5UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1 1 1 1 3=+-=一4 4 3 12 47 .从 5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】kC 5 c3 c3 c2/。313 13 13 13 528 .对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期H的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设4=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7 5,有利事件仅1 个，故1 1p ap=(-)5(亦可用独立性求解，下同)(2)设4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为&，故65 6P歹(3)设4=五个人的生日不都在星期日1p(4)=尸(4尸1 一(方户9 .略.见教材习题参考答案.1 0 .一 批产品共N件，其中河 件正品.从中随机地取出n件(n N).试求其中恰有m件(加W)正 品(记 为 4)的概率如果：(1)件是同时取出的；(2)件是无放回逐件取出的；(3)件是有放回逐件取出的.【解】(1)P(A)=C C-/CM N-M N(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P 种，次抽取中有机N次为正品的组合数为C，”种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正n品中取加件的排列数有P 种，从 A M1件次品中取-加件的排列数为P f 种,M N-M故P(J )=_u _ _ M,N.M-P N由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成C w C n-mP (A)=M N-M、N可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为2 种，次抽取中有机次为正品的组合数为C ，种，对于固定的一种正、次品的抽取次序,n2机 次取得正品，都 有 M 种取法，共 有 M种取法，TM 次取得次品，每次都有种取法，共 有(N-M)种取法，故P(A)=C”，M m(N Nn此题也可用贝努里概型，共做了 重贝努里试验，每次取得正品的概率为二不，则取得，件正品的概率为尸(4凯阁H.略.见教材习题参考答案.1 2 .5 0 只钾钉随机地取来用在1 0 个部件上，每个部件用3只钾钉.其中有3个抑钉强度太弱.若将3只强度太弱的怫钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设/=发生一个部件强度太弱。(4)=。C 3/C 3 =_10 3 50 I 9 6 01 3 .一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.【解】设4K恰有，个白球(i=2,3),显然4 与 4 互斥.PQ)=Ci 3 5P(A U N)=尸(4 )+尸(/)=23 2 3 3 51 4 .有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8 和 0.7,在两批种子中各随机取一粒，求：(1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设4=第批种子中的一粒发芽，(六1，2)(1)P(A A)=P(A )P(A)=0.7 x 0.8 =0.56I 2 1 2(2)P(A JA)=0.7 +0.8-0.7 x 0.8-0.9 41 2(3)P A AU AA)=0.8 x 034-0.2x 0.7 =0.38I2 1 215.掷一枚均匀硬币直到出现3 次正面才停止.(1)问正好在第6次停止的概率；(2)问正好在第6次停止的情况下，第 5 次也是出现正面的概率.1115。(1)(1)3 1 2【解】(1)P=。2()2()3=(2)p=4 2 2 _ =I 5、2 2 2 32 3 2 5/32 516 .甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7 及 0.6,每人各投了 3 次，求二人进球数相等的概率.3【解】设4=甲进，球,=0,1,2,3,4=乙进，球,i=0,1,2,3,则P(A B )=(0.3)3(0.4)3+CI 0.7 x(0.3)2。0.6 x(0.4)2+i i3 3 3i=0C2(0.7)2XO.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)3 3=0.3207617.从 5 双不同的鞋子中任取4 只，求这4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】,C4C C C C 1 13=1 5-3_3_ 3 3-C4 211018.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设4=下雨,8=下雪.(1)P(即)P(AB)%0.20.5(2)p(A jB)=P(A)+PB)P(AB)=0.3+0.5-0.1=0.71 9.已知一个家庭有3 个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】设 4=其中一个为女孩,8=至少有一个男孩，样本点总数为23=8,故P(卬)=上3丝、1 P(A)7/8 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.2 0.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】设/=此人是男人,8=此人是色盲,则由贝叶斯公式/用)=9=1 P(B)P(A)P(B|)+P(A)P(B|J)0.5 0.0 5 _ 20-0.-0.-5 .5 0.飞 血 5 2 12 1.两人约定上午9：00 10：00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.4yO 30 60题 2 1 图 题 22图【解】设 两 人 到 达 时 刻 为 则 0金,户 6 0溥件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-30.如图阴影部分所示.。=302=16 O 2 42 2.从(0,1)中随机地取两个数，求：6(1)两个数之和小于5 的概率；1(2)两个数之积小于7的概率.【解】设两数为x,y,则 O v x j K L6(1 ).1 4 41-2 1 1.1 1 =0.6 81 1 251(X)xy=_ 8 4=u-U-6C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 Ci C 3 C 31 5 1 5 I 5 1 5 I 5 I 5 I 5 I 5=0.0 8 925.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设/=被调查学生是努力学习的,则 彳=被调查学生是不努力学习的.由题意知尸(4)=0.8,P(A )=0.2,又设8=被调查学生考试及格.由题意 知 尸(5|J)=0.9,P(5|J )=0.9,故由贝叶斯公式知P（m P（B 口）P（AB）（1）P（AB）P（B）尸（/）P（叩）+尸（N）P（叩）=-。.-0.1 =_ t o 0 2 7 0 20.&0.-9 0 x 2 0.1 3 7即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.70 2%P（AB）_ P（/）P（耳/）P（B）PAP（BA）+P（A）P（BA）0.&0.10.8x 0.1 +0.2 x 0.94=0.3 0 771 3即考试不及格的学生中努力学习的学生占3 0.77%.2 6.将两信息分别编码为4 和 8 传递出来，接收站收到时，/被误收作8 的概率为0.0 2,而B被误收作力的概率为0.0 1.信息4 与8 传递的频繁程度为2 ：1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是力的概率是多少？【解】设Z=原发信息是4 ,则=原发信息是8 C=收到信息是4 ,则=收到信息是B 由贝叶斯公式，得6P(Z)P(。p(/)p(c|/)+P(N)p(c p)-2 7 0-9 8-=0.9 9 4 9 2P(川 C)2 /3(0.98 k/3 0.0 12 7.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设 4=箱中原有i 个白球 (=0,1,2),由题设条件知尸(4)=；i=0，l，2.又设8=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知勺 怛)=P(A B)P(即)尸 尸 P(B A)P(A)i=02/3 x l/31l/3 x l/3 +2/3 x l/3 +l x l/3 32 8.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.0 2,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 5,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设4=产品确为合格品,8=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得产(加)=9=尸 例叩)_1 P(B)P(A)P(B A)+P(A)P(B|J)=9 6 9 8=0.9980.9 6 0.-9 8 0 c 0 4 0.0 52 9.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.0 5,0.1 5和 0.3 0；如 果“谨慎的”被保险人占 2 0%,“一 般的”占 50%,“冒失的”占 3 0%,现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设Z=该客户是“谨慎的”,8=该客户是“一般的”,C=该客户是冒失的,小 该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得P M。)=上 2=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _p(/)p(0 z)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P(D)P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)0.2 x 0.0 5+0.5x 0.1 5+0.3 x 0.33 0 .加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.0 2,0.0 3,0.0 5,0.0 3 ,假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设/第，道工序出次品 3=1,2,3,4).PC A)=I-P(7 T T T)i 1 2 3 4/=1)P(A)汽/)P(A )12 3 47=1 0.9&0.9 0.9即为(0.8 0.1故 腹 1 1至少必须进行1 1次独立射击.3 2 .证明：若P a I 8)=P(A I 5),则z,B相互独立.【证】P(川阶P(即P(AB)P(B)P(AB)P亦即 P(AB)R 玲 FTA B R BP(AB)1-P(B)=P(A)P(AB)P(B)因此 P(A B)=R R B)故4与5相互独立.3 3 .三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为：，；，,求将此密码破译出的概率.【解】设/第，人能破译册=1，2,3)，则z)=i p(彳77)=1 P(7)P(7)尸(了)/1 2 3 1 2 3f=l3 4 .甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0 4,0.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0 2若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6：若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 公 飞机被击落,4=恰有i人击中飞机,i=0,l,2,3由全概率公式，得P(m=P(A IB)P(B )i ii=0=(0.4 X 0.5 x 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0,7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X 0.5 X 0.7=0.4 5 83 5 .已知某种疾病患者的痊愈率为2 5%,为试验一种新药是否有效，把它给1 0个病人服用，且规定若1 0个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.8(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】(1)P=2L o (O.35)A(O.65)IO-A-=0.5 1 3 81 10k=。(2)p=Zc*(0.2 5)*(O.7 5)io-x-=0.2 2 4 12 10A=43 6.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)4=某指定的一层有两位乘客离开”；(2)8=没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”；(4)D=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0 层楼中的任层离开，故所有可能结果为1 0 6 种.C 2 94P(小命，也可由6重贝努里模型:(2)P(4)=1 9C 2()2(二)46 1 0 1 06个人在十层中任意六层离开，故P 6P(B)=101 0 6(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有Cl种可能结果，再从10六人中选二人在该层离开，有C 2 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情6况，因此可包含以下三种离开方式：人 中 有 3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C iC 3。种可能结果；4人同时离开，有C l 种可能结果：9 4 8 94个人都不在同一层离开，有 P 4 种可能结果，故9P(C)=C l C 2(C l C 3 C l +C l +P 4)/1 0 610 6 9 4 8 9 9(4)D=5.故P 6尸(0=1 (8)=1-式3 7.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.1【解】P、=-r1 7 7-19 p=Z,3(_)!(3)P：(-1)!1 ，2 33 8.将线段 0,任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设 这 三 段 长 分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由0 x af i y a,0 a-x-y a-x-yx +a-x-y)yy +(a-x-y)x构成的图形，即0 x 20 y -2a x +y 1 0 0 0 P(A )=0.0 9 6,P(A )=0.0 0 82 1 0 0 0 J 1 0 0 04 1 .对任意的随机事件4 B,C,试证P(A B)+P(A C)-P(B O【证】P(A)P A(B Q P(U 8 A C=P(A B)+H/矢 R AB f10P(AB)+Fi AQ-BE42.将 3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设4=杯中球的最大个数为i,i=W.将 3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4 3 种，杯中球的最大个数为1 时,每个杯中最多放一球，故一C33!1 4 338而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故比或11 6=143cj4XT83pxrwA)=Z2(/348i 92P(A)=T 6C i C Cl 34 364 3,将 枚 均 匀 硬 币 掷 2 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2 次硬币，可能出现：/=正面次数多于反面次数,8y正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,A,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故 P(/)=P(5).所以小)=空由2n重贝努里试验中正面出现次的概率为P(C)=O(1)(1)故 p()=l i-c -L 2 2 2 2 4 4 .掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设/=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P=P(5)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等由P (4)+P (8)=1 得 P (4)=P (8)=0.5(2)当为偶数时，由上题知p(/)=!明)“4 5 .设甲掷均匀硬币+1 次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令 甲=甲掷出的正面次数，甲=甲掷出的反面次数.1 1:反乙=乙掷出的正面次数，乙=乙掷出的反面次数.止 反显然有专乙?=(甲5 乙/=(+1-甲产-乙J1 1=(甲2 1+乙)=(甲 乙)反 反 反 反由对称性知P (甲 乙)=p (甲 乙)iE 正 反 反因此P(甲 乙)=3正 正 24 6 .证 明“确定的原则”(S u r e-t h i n g)：若 P U|C)P(B Q,P(A C),则 p (A)尸(8).【证】由尸(AC)2p(以O,得P(AC)P(BC)即有 P(4R B 0同理由 P A|-C P(B Q,得 P(AQ H。，故 P(/)=P(/今 /T/f 国C (P)B4 7.一列火车共有节车厢，有41 2”)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设4r第i节车厢是空的，(i=l,，)，则.=(1.i nk nP(AA)=i J nn P(A A/)=(1-)k4 12*n其 中i J,/是1,2,，中的任一 1个.1 Z/I1显然“节车厢全空的概率是零，于是S=X p(J)=M(l-l =C1(1-1 iin n n/=1S=E P(AA)q(l 3)*2 i j n nsn-1E P(A A.A)q”i(l一 b*n2 f-l S-0尸(CM)=S-S +S-.+(-1+I5,=I 1 2 3 12=。（1-L）-（上+9 k），k）n ft故所求概率为i-p（U J）=I-CI（I-1）A+C 2（i-2）（-+（-i+i c-i（i-（=1 n n n n n4 8.设随机试验中，某一事件4出现的概率为 0.试证明：不论 0 如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中，/至少出现一次的概率为1 -（1-s ）1（/?-00）4 9 .袋中装有机只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只,将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设/=投掷硬币，次都得到国徽8=这只硬币为正品_ 7由题知 P（B）=m加 +m +n1 _P（AB）=P（AB）=12 r则由贝叶斯公式知”勺 叫 一 口力8）_ P（B）P（川 B）P（A）P（8）P（川 8）+P（B）P（/|3）5 0.巴 拿 赫（Ba n a c h）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另 盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以 4、4 记火柴取自不同两盒的事件，则有P（e）=P（8,）=g.（I）发现一盒已空,另一盒恰剩r根，说明已取了 2“-/次，设次取自4 盒（已空），n-r次取自B,盒,第 2-什1 次拿起巧,发现已空。把取2”-厂次火柴视作2 -厂重贝努里试验，则所求概率为c“Ln-r 2 2 r-r式中2反映珞 与纹盒的对称性（即也可以是与 盒先取空）.（2）前 2-1 次取火柴，有 次 取 自 纥 盒，7-厂次取自2 盒，第 2 片,次取自盒，故概率为5 1 .求重伯努利试验中4出现奇数次的概率.13【解】设在次试验中4 出现的概率为p.则由(q+p)“=Co pqq，I+Ci pqn-i+C2 piqn-i+C p“q。=1n n n n(q-p)=Copoq”+Ci pq-+C2piqn-2-+(-l)Cnp qon n n n以上两式相减得所求概率为P=Cl pqn-+C3p3q“-3+1 n n=y l-(9-P =J l-(1 -2p)若要求在重贝努里试验中/出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p,=g l+(l-2 p).52.设48 是任意两个随机事件，求 口(7+8)(A+B)(7 +看)(/+耳)的值.【解】因 为(/U 8)n(AUB)=A BUAB(A UB)C l(A U B)=AB U AB所求(N+8)(如 B)iA B)=A SA B N 期=0故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A,8 和 C 满足条件：/BC=，P(A)=P(B)=P(Q 1/2,且 产(NU5UC)=9/16,求 尸(4).【解】由。(Z U 8 U。)=P(A)+P+P(C)_ P(A B)-P(A C)-P(B Q +P(ABC)=3 P 0:五“(2 琮、1 3 1 1故p(z)=w 或 不 按 题 设 尸 U)f 0 2 )=口”.n故 1-P 0 A ：故 PQ)=,或 PQ)=q(舍去)2即 P (4)=,5 5.随机地向半圆0 勺 42ax -x 2(为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与X轴的夹角小于T T /4 的概率为多少？【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为：71 展.阴影部分面积为n 1 Q2+Q24 2故所求概率为兀 1n4 2 I 上 IP=-1i-=52 +一7 1一兀。225 6.设 1 0 件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】设4=两件中至少有一件是不合格品,尸 )=P(AB)P Q)8=另一件也是不合格品C24C2 1=_ _U)=一 C 2 51-6-C2105 7.设有来自三个地区的各1 0 名、1 5 名和2 5 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7 份 和 5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后抽到的份是男生表，求先抽到的份是女生表的概率0【解】设4=报名表是取自第，区的考生，/=1,2,3.第 次取出的是女生表，尸 1,2.则P(Z)=：/1,2,3 3375 巴4)=万玖，汽)=江口，4)=行15(1)，=尸 里)二 尸 里|夕=%+5 +六)=1|i=四广篝2而P(B2)=HP(B2A)P(A)/=11 /7 8 2、0 6 1=(+)=3 10 15 25 90故P(BB)=HP(BB|A)P(A)1 2 1 2 I Ii=l=1 (z 3 X 7+7X 8+X5,)2=0 23 10 9 15 14 25 24 92尸(8瓦)a 20d _ I =P(B)61 612 905 8.设4 8为随机事件，且 尸(5)0尸8)=1,试比较P(Z U 8)与P(N)的大小.(2 0 0 6研考)解：因为 P(H J 6=H咨H吩 H N8P(AB)=P(B P(J p)=P(B)所以 P(/U向=H今K吩 凡 属 H z5 9.60.习题二L一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】16X=3,4,5P(X =3)=0.1P(X=4)=二=0.3P(X =5)=T =0.6故所求分布律为X345p0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2 只为次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数，求：(1)X 的分布律；(2)X 的分布函数并作图；(3)1 3 3PX ,P X -,P X -,P 1 X 2 .【解】X=0,l,2.尸(x =o)=1L=襄1 5，、C l C 2 1 2p(X =1)=一 不，L 3 =.1 5小=2)=m.1 5故 X 的分布律为X 01 2P 2 23 51 2 13 5 3 5(2)当 x 0 时，F(x)=P(XWx)=02 2当 0Wxl 时;F(x)=P(XWx)=X=0)=3 4当 lWx2 时，F(x)=P(XWx)=P(X=0)+尸(X=l)=行当 x22 时，F(x)=P(XWx)=1故 X 的分布函数170,x 02 22 x)=3 53 43 5?0 x ll x 2p(x 4=心=高尸(lX -=吗 一 尸(l)=：?03 4 1P(lX 2)=F(2)-F(l)-P(Jr=2)=l-_-.=0.3.射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X =1)=0 0.8(02)2=0.0963P(X=2)=C 2(0.8)20.2=0.3843p(x=3)=(0.8)3=0.512分布函数故X的分布律为X01 23P0.0080.0960.3840.5120,x 00.008,0 x 1尸 a)=0.104,1 x 20.488,2 x 3P(X 2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.(1)设随机变量X的分布律为尸2i石，其中4=0,1,2,4 0为常数，试确定常数a18(2)设随机变量X的分布律为PX=k=a/N,k=,2,，N,试确定常数a.【解】(1)由分布律的性质知1=P(X=左)=-=a e入k!*=0k=0故a=e-入(2)由分布律的性质知1=W P X =k)=艺 ak=k=即a=l.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、丫表示甲、乙投中次数，则 月6(3,0.6)，h 6(3,0.7)(1)p(x=丫)=p(x=o,y =0)+p(x=i,y =i)+P(X=2,y =2)+p(X=3,Y =3)=(04)3(0.3)3+C l 0.6(0.4)20 0.7(03)2+3 3C 2(0.6)X).4 C(0.7)0.3+(0.6)(0.7)3 3=0.3 2 0 7 6(2)P(X y)=p(x=i,y =o)+p(x=2,y =o)+p(x=3 1=0)+P X=2,Y=1 P (X=3 Y=B 尸 膘=芬=C i 0.6(0.4)2(03)3+C 2(0.6)20.4(0.3)3+3 3(0.6)3(03)3+C 2 (06)20.4。0.7(0.3)2+3 3(0.6)3 C i 0.7(03)2+(0.6)3C 2(0.7)20.33 3=0.2436.设某机场每天有2 0 0架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则 六6(200,0.02),设机场需配备N条跑道，则有19即利用泊松近似尸(X N)0.012 C*(O.O2)*(O.98)2O O-*0.01200k=N+卜=np=200 x 0.02=4.e e-4 4AP(X N N)-2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1 一 1 0.xl-eo8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X满足P 小1 =PX=2,求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则C 1 0(1一 p)4 =C 2 P 2(l-p)3551故P=g所以=4)=C 4()4-.9.设事件4在每一次试验中发生的概率为0.3,当/发 生 不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X表示5次独立试验中/发生的次数，则X6(5,0.3)P(X 3)=ZCA(0.3)A(0.7)5-*=0.163085k=3(2)令y表示7次独立试验中Z发生的次数，贝Iyb(7,0.3)P(Y 3)=ZCA(0.3)*(0.7)7-*=0.352937k=310.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.20【解】。(X =0)=e 4 (2)P(X l)=l-P(X =O)=l-e-i11.PX=k=Ckpk(-p)2-k,%=O,1,22P Y=tn=C w (1 P)4-川,加=0,1,2,3,445分别为随机变量x,丫的概率分布，如果已知尸 x e i =,试求尸 丫 21.5 4【解】因为P(X N 1)=万，故 P(X 1)=不.而 p(x 1)=1 -P(r=0)=1 -(1-p)4=0.802478112.某教科书出版了 2 0 0 0 册，因装订等原因造成错误的概率为0.0 0 1,试求在这2 0 0 0 册书中恰 有 5册错误的概率.【解】令X 为 2 0 0 0 册书中错误的册数，则-6(2 0 0 0,0.0 0 1).利用泊松近似计算，X=np=2 0 0 0 x 0.0 0 1 =2得P(X =5)a=0.0 0 1 81 3.进行某种试验，成功的概率为之，失败的概率为1.以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.【解】X =l,2,人 P(X =2)+P(X =4)+-+P(X =2 +3=+（、3+.+4 4 4 43-i +41 4.有 2 5 0 0 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.0 0 2,每个参加保险的人在1 月 1日须交1 2 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2 0 0 0 元赔偿金.求：21(1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于1 0 0 0 0元、2 0 0 0 0元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日，保险公司总收入为2 5 0 0 X 1 2=30 0 0 0元.设1年中死亡人数为X,则-6(2 5 0 0,0.0 0 2),则所求概率为P(2 0 0 0 X 30 0 0 0)=P(X 1 5)=1一 P(X 15)1-ZX&x 0.0 0 0 0 694=0(2)P(保险公司获利不少于1 0 0 0 0)=P(3 0 0 0-0 2 0)&1 0 9 00*4(Ze55 0.98 630 5kk=O即保险公司获利不少于1 0 0 0 0元的概率在9 8%以上P(保险公司获利不少于 2 0 0 0 0)=尸(30 0 0 0 -2000X N 2 0 0 0 0)=P(X W 5)dV*_e_-_5 _5_A 0.61 5 961k=o即保险公司获利不少于2 0 0 0 0元的概率约为6 2%1 5.已知随机变量X的密度函数为/(x)=J e-M,_ 8 Vx+8,求：(1)4 值；(2)P 0Xl ;(3)尸(x).【解】由0/(x)d x =l得-00故当x 0时、尸(x)=J*l e.v(L r =l e x30当尤20时，/(x)=j-001 l e-w d x =r d x +JJ e-x d x22202=l-l e-x2221 =J g Z e Tx i d r =2 A e-x dx =2A co 02 -j 7(0 Ar l)=lf1e 2-v d x=l(l-e-i)2 o 2故2x 016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为/(x)=100,X20,x 100.求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3)F(%).【解】(1)P(i 5 o)3=q)3=u(3)当 x100 时 F(x)=0当 100 时=J*/(Z)d/-3 0=j 0/(。山+J x /(。山-0 0100 吗=1一州100 t2 X故_100F(x)=100 x 017.在区间 0,a上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在 0,a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数.【解】由题意知X U 0,0,密度函数为1/(x)=a 50,0 xa其他故当xa 时，F(x)=1即分布函数230,x0 xE(x)=一，0 x a18.设随机变量X 在 2,值大于3 的概率.【解】X-U2,5,即5 上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测，/、1,2x3)=J52dx=：3 3 3故所求概率为P=C 栉 2；+C =1 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E&).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5 次，以 丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y 的分布律，并求产 丫1.【解】依题意知x E(g),即其密度函数为1/W =150,x 0 x 10)=Je 5 dx=e-2io 5y /5,e-2),即其分布律为P(y=%)=c&(e-2)M 1 e-2)5%=0,1,2,3,4,55p(y l)=l-P(y=0)=l-(l-e-2)5 =0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从 N(40,102)：第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N(50,42).(1)若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，X-N(40,1 0 2),则P(X 60)=6：；。)=e(2)=0.9772724若走第二条路，XN(5 0,4 2),则P(X 6 0)=.(X：5 0 6 0；5 0 1=(2.5)=0.9 9 3 8 +故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若XN(4 0,WO,贝 ij，X-4 0 4 5 -4 0P(X 4 5)=P J。J。=中(0.5)=0.6 9 1 5若 XN(5 0,4 2),则P(X 4 5)=P-50 4550o(-1.25)=1 (1.2 与 0.1 0故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设标W(3,22),(1)求尸 2 2,PX 3;(2)确定 c 使P X c =P X W c .【解】(1)尸(2 XM5)=P(2 W?)=(D 一 扪 一】+&)=0.8 4 1 3-1 +0.6 9 1 5 =0.5 3 28P(-4X4 1 0)=尸-4-3 X-3 1 0-3-2 2 2=2)=P(X 2)+P(X 3)=P(X J =1-0(0)=0.5(2)c=322.由某机器生产的螺