概率论与数理统计_谢永钦版课后答案课后习题答案.pdf
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1、概率论与数理统计习题及答案习 题 一1.略.见教材习题参考答案.2.设4 B,C为三个事件,试用力,B,C的运算关系式表示下列事件:(1)A发生,B,C都不发生;(2)A与8发生,。不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)AUBUC=AB CU ABC UABC U A BCUAB CUABC UABC=ABC(5)ABC=AUBJC(6)ABC(7)BCUAB CUABC U AB CUA BC JA BC
2、 J ABC=ABC=A U 5 U C)ABUBCiJCA=ABC U/15CU 7 BCU4BC3.略.见教材习题参考答案4.设4,B为随机事件,且P G4)=0.7,尸(/-8)=0.3,求P().【解】P(AB)=1-P(AB)=l-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设4 8是两事件,且 尸(/)=0.6,尸(8)=0.7,求:(1)在什么条件下尸(4 8)取到最大值?(2)在什么条件下尸(A B)取到最小值?【解】(1)当48 时,P(A B)取到最大值为0.6.(2)当时,P(A B)取到最小值为0.3.6.设 B,C 为三事件,且 尸(N)=尸(8)=1/4,
3、P(C)=1/3 且尸 CAB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求4,8,C至少有一事件发生的概率.【解】P UU5UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1 1 1 1 3=+-=一4 4 3 12 47 .从 5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】kC 5 c3 c3 c2/。313 13 13 13 528 .对一个五人学习小组考虑生日问题:(1)求五个人的生日都在星期日的概率;(2)求五个人的生日都不在星期H的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设4
4、=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7 5,有利事件仅1 个,故1 1p ap=(-)5(亦可用独立性求解,下同)(2)设4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为&,故65 6P歹(3)设4=五个人的生日不都在星期日1p(4)=尸(4尸1 一(方户9 .略.见教材习题参考答案.1 0 .一 批产品共N件,其中河 件正品.从中随机地取出n件(n N).试求其中恰有m件(加W)正 品(记 为 4)的概率如果:(1)件是同时取出的;(2)件是无放回逐件取出的;(3)件是有放回逐件取出的.【解】(1)P(A)=C C-/CM N-M N(2)由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P 种
5、,次抽取中有机N次为正品的组合数为C,”种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正n品中取加件的排列数有P 种,从 A M1件次品中取-加件的排列数为P f 种,M N-M故P(J )=_u _ _ M,N.M-P N由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成C w C n-mP (A)=M N-M、N可以看出,用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取,每次都有N种取法,故所有可能的取法总数为2 种,次抽取中有机次为正品的组合数为C ,种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,n2机 次取得正品,都 有 M 种取法,共 有 M种取法,TM 次取得次品,每次都有种取法,共
6、有(N-M)种取法,故P(A)=C”,M m(N Nn此题也可用贝努里概型,共做了 重贝努里试验,每次取得正品的概率为二不,则取得,件正品的概率为尸(4凯阁H.略.见教材习题参考答案.1 2 .5 0 只钾钉随机地取来用在1 0 个部件上,每个部件用3只钾钉.其中有3个抑钉强度太弱.若将3只强度太弱的怫钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设/=发生一个部件强度太弱。(4)=。C 3/C 3 =_10 3 50 I 9 6 01 3 .一个袋内装有大小相同的7个球,其中4个是白球,3个是黑球,从中一次抽取3个,计算至少有两个是白球的概率.【解】设4
7、K恰有,个白球(i=2,3),显然4 与 4 互斥.PQ)=Ci 3 5P(A U N)=尸(4 )+尸(/)=23 2 3 3 51 4 .有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8 和 0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1)两粒都发芽的概率;(2)至少有一粒发芽的概率;(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设4=第批种子中的一粒发芽,(六1,2)(1)P(A A)=P(A )P(A)=0.7 x 0.8 =0.56I 2 1 2(2)P(A JA)=0.7 +0.8-0.7 x 0.8-0.9 41 2(3)P A AU AA)=0.8 x 034-0.2x 0.7 =0.38I2 1 215.
8、掷一枚均匀硬币直到出现3 次正面才停止.(1)问正好在第6次停止的概率;(2)问正好在第6次停止的情况下,第 5 次也是出现正面的概率.1115。(1)(1)3 1 2【解】(1)P=。2()2()3=(2)p=4 2 2 _ =I 5、2 2 2 32 3 2 5/32 516 .甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7 及 0.6,每人各投了 3 次,求二人进球数相等的概率.3【解】设4=甲进,球,=0,1,2,3,4=乙进,球,i=0,1,2,3,则P(A B )=(0.3)3(0.4)3+CI 0.7 x(0.3)2。0.6 x(0.4)2+i i3 3 3i=0C2(0.7)2X
9、O.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)3 3=0.3207617.从 5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】,C4C C C C 1 13=1 5-3_3_ 3 3-C4 211018.某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设4=下雨,8=下雪.(1)P(即)P(AB)%0.20.5(2)p(A jB)=P(A)+PB)P(AB)=0.3+0.5-0.1=0.71 9.已知一个家庭有3 个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(
10、小孩为男为女是等可能的).【解】设 4=其中一个为女孩,8=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故P(卬)=上3丝、1 P(A)7/8 7或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.2 0.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】设/=此人是男人,8=此人是色盲,则由贝叶斯公式/用)=9=1 P(B)P(A)P(B|)+P(A)P(B|J)0.5 0.0 5 _ 20-0.-0.-5 .5 0.飞 血 5 2 12 1.两人约定上午9:00 10:00在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.4yO
11、30 60题 2 1 图 题 22图【解】设 两 人 到 达 时 刻 为 则 0金,户 6 0溥件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-30.如图阴影部分所示.。=302=16 O 2 42 2.从(0,1)中随机地取两个数,求:6(1)两个数之和小于5 的概率;1(2)两个数之积小于7的概率.【解】设两数为x,y,则 O v x j K L6(1 ).1 4 41-2 1 1.1 1 =0.6 81 1 251(X)xy=_ 8 4=u-U-6C 3 C 3 C 3 C 3 C 3 Ci C 3 C 31 5 1 5 I 5 1 5 I 5 I 5 I 5 I 5=0.0 8 925.按以
12、往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设/=被调查学生是努力学习的,则 彳=被调查学生是不努力学习的.由题意知尸(4)=0.8,P(A )=0.2,又设8=被调查学生考试及格.由题意 知 尸(5|J)=0.9,P(5|J )=0.9,故由贝叶斯公式知P(m P(B 口)P(AB)(1)P(AB)P(B)尸(/)P(叩)+尸(N)P(叩)=-。.-0.1 =_ t o 0 2 7 0 2
13、0.&0.-9 0 x 2 0.1 3 7即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.70 2%P(AB)_ P(/)P(耳/)P(B)PAP(BA)+P(A)P(BA)0.&0.10.8x 0.1 +0.2 x 0.94=0.3 0 771 3即考试不及格的学生中努力学习的学生占3 0.77%.2 6.将两信息分别编码为4 和 8 传递出来,接收站收到时,/被误收作8 的概率为0.0 2,而B被误收作力的概率为0.0 1.信息4 与8 传递的频繁程度为2 :1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是力的概率是多少?【解】设Z=原发信息是4 ,则=原发信息是8 C=收到信息是4 ,则=收到信息是
14、B 由贝叶斯公式,得6P(Z)P(。p(/)p(c|/)+P(N)p(c p)-2 7 0-9 8-=0.9 9 4 9 2P(川 C)2 /3(0.98 k/3 0.0 12 7.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设 4=箱中原有i 个白球 (=0,1,2),由题设条件知尸(4)=;i=0,l,2.又设8=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知勺 怛)=P(A B)P(即)尸 尸 P(B A)P(A)i=02/3 x l/31l/3 x l/3 +2/3 x l/3 +l x l/3 32
15、 8.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为 0.0 2,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 5,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设4=产品确为合格品,8=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得产(加)=9=尸 例叩)_1 P(B)P(A)P(B A)+P(A)P(B|J)=9 6 9 8=0.9980.9 6 0.-9 8 0 c 0 4 0.0 52 9.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.0 5,0.1 5和 0.3 0;如 果“谨慎的”被保险人
16、占 2 0%,“一 般的”占 50%,“冒失的”占 3 0%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】设Z=该客户是“谨慎的”,8=该客户是“一般的”,C=该客户是冒失的,小 该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得P M。)=上 2=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _p(/)p(0 z)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P(D)P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)0.2 x 0.0 5+0.5x 0.1 5+0.3 x 0.33 0 .加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为
17、0.0 2,0.0 3,0.0 5,0.0 3 ,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设/第,道工序出次品 3=1,2,3,4).PC A)=I-P(7 T T T)i 1 2 3 4/=1)P(A)汽/)P(A )12 3 47=1 0.9&0.9 0.9即为(0.8 0.1故 腹 1 1至少必须进行1 1次独立射击.3 2 .证明:若P a I 8)=P(A I 5),则z,B相互独立.【证】P(川阶P(即P(AB)P(B)P(AB)P亦即 P(AB)R 玲 FTA B R BP(AB)1-P(B)=P(A)P(AB)P(B)因此 P(A B)=R R B)故4与5相
18、互独立.3 3 .三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为:,;,,求将此密码破译出的概率.【解】设/第,人能破译册=1,2,3),则z)=i p(彳77)=1 P(7)P(7)尸(了)/1 2 3 1 2 3f=l3 4 .甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0 4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0 2若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6:若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设 公 飞机被击落,4=恰有i人击中飞机,i=0,l,2,3由全概率公式,得P(m=P(A IB)P(B )i ii=0=(0.4 X 0.5 x
19、 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0,7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X 0.5 X 0.7=0.4 5 83 5 .已知某种疾病患者的痊愈率为2 5%,为试验一种新药是否有效,把它给1 0个病人服用,且规定若1 0个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1)虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.8(2)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.【解】(1)P=2L o (O.35)A(O.65)IO-A-=0.5 1 3
20、81 10k=。(2)p=Zc*(0.2 5)*(O.7 5)io-x-=0.2 2 4 12 10A=43 6.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)4=某指定的一层有两位乘客离开”;(2)8=没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”;(4)D=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0 层楼中的任层离开,故所有可能结果为1 0 6 种.C 2 94P(小命,也可由6重贝努里模型:(2)P(4)=1 9C 2()2(二)46 1 0 1 06个人在十层中任意六层离开,故P 6P(B)=101
21、0 6(3)由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有Cl种可能结果,再从10六人中选二人在该层离开,有C 2 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情6况,因此可包含以下三种离开方式:人 中 有 3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有C iC 3。种可能结果;4人同时离开,有C l 种可能结果:9 4 8 94个人都不在同一层离开,有 P 4 种可能结果,故9P(C)=C l C 2(C l C 3 C l +C l +P 4)/1 0 610 6 9 4 8 9 9(4)D=5.故P 6尸(0=1 (8)=1-式3 7.n个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事
22、件的概率:(1)甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3)如果个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.1【解】P、=-r1 7 7-19 p=Z,3(_)!(3)P:(-1)!1 ,2 33 8.将线段 0,任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设 这 三 段 长 分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由0 x af i y a,0 a-x-y a-x-yx +a-x-y)yy +(a-x-y)x构成的图形,即0 x 20 y -2a x +y 1 0 0 0 P(A )=0.0 9 6,P(A )=0.0 0 82 1 0 0 0
23、 J 1 0 0 04 1 .对任意的随机事件4 B,C,试证P(A B)+P(A C)-P(B O【证】P(A)P A(B Q P(U 8 A C=P(A B)+H/矢 R AB f10P(AB)+Fi AQ-BE42.将 3个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设4=杯中球的最大个数为i,i=W.将 3个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有4 3 种,杯中球的最大个数为1 时,每个杯中最多放一球,故一C33!1 4 338而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故比或11 6=143cj4XT83pxrwA)=Z2(/348i 92P(A)=T
24、 6C i C Cl 34 364 3,将 枚 均 匀 硬 币 掷 2 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2 次硬币,可能出现:/=正面次数多于反面次数,8y正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,A,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故 P(/)=P(5).所以小)=空由2n重贝努里试验中正面出现次的概率为P(C)=O(1)(1)故 p()=l i-c -L 2 2 2 2 4 4 .掷次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设/=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P=P(5)(1)当为奇数时,正、反面次数不
25、会相等由P (4)+P (8)=1 得 P (4)=P (8)=0.5(2)当为偶数时,由上题知p(/)=!明)“4 5 .设甲掷均匀硬币+1 次,乙掷次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令 甲=甲掷出的正面次数,甲=甲掷出的反面次数.1 1:反乙=乙掷出的正面次数,乙=乙掷出的反面次数.止 反显然有专乙?=(甲5 乙/=(+1-甲产-乙J1 1=(甲2 1+乙)=(甲 乙)反 反 反 反由对称性知P (甲 乙)=p (甲 乙)iE 正 反 反因此P(甲 乙)=3正 正 24 6 .证 明“确定的原则”(S u r e-t h i n g):若 P U|C)P(B Q,P(A
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