攀枝花学院《概率论与数理统计》(谢永钦)课后习题答案.pdf
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1、概率论与数理统计习题及答案习题1.略.见教材习题参考答案.2.设A,B,。为三个事件,试用A,B,。的运算关系式表示下列事件:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)4 发生,B,C 都不发生;A 与 B 发 生,C 不发生;A,A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,B,C 都发生;C 至少有一个发生;。都不发生:C 不都发生;C 至多有2 个发生;C 至少有2 个发生.【解】A BC (2)ABC(3)ABC(4)A U B U C=A B C U A B C U A B C U ABCJABCUABC UABC=ABC(5)ABC=A JB JC(6)ABC(7)A B C U
2、A B C U A B C U A B C U A B C U A B C U A B C =A B C =A U B U C(S)A B U B C U C A=A B C UA B C U A B C U A B C3 .略.见教材习题参考答案4.设A,8为随机事件,且 尸(A)=0.7 1(4-8)=0.3,求P(A B ).【解】P(A B)=-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)J=1-0.7-0.3 =0.65.设A,B是两事件,且 尸(A)=0.6,尸=0.7,求:(1)在什么条件下P(A 8)取到最大值?(2)在什么条件下P(A 8)取到最小值?【解】(1)当A B=A时,P
3、(A 8)取到最大值为0.6.(2)当A UB=Q时,P(A 8)取到最小值为036.设A,B,C为三事件,且 尸(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且 尸(AS)=P(BC)=0,P(AC)=1/1 2,求4,B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(A U B U C)=P(A)+P(3)+P(C)-P(AB)-P(8 C)-P(AC)+P(A8 01 1 1 1 3=-1-4-=一4 4 3 1 2 47 .从5 2张扑克牌中任意取出1 3张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率是多少?【解】p=C 3C;3C/C;28 .对一个五人学习小组考虑生日问题:(1)求五个人的
4、生日都在星期日的概率;(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设A 尸 五个人的生日都在星期日,基本事件总数为千,有利事件仅1 个,故P(Ai)=1=(-)5(亦可用独立性求解,下同)75 7(2)设小=五个人生日都不在星期日,有利事件数为6 5,故P M65 6$2)=-7=(-575 7(3)设仆=五个人的生日不都在星期日P(A3)=l-P(A1)=l-(-)579 .略.见教材习题参考答案.1 0 .一批产品共N 件,其中历件正品.从中随机地取出 件5 3 0.如图阴影部分所示.n302 1r =-=602 42 2.从(0,1)中随机
5、地取两个数,求:(1)(2)【解】两个数之和小于9的概率;5两个数之积小于工的概率.4设两数为x J,则0 x,y l.(1)x+y ,51 440 =1一 2 =1 1(2)xv=(Z)=0.3,尸=0.4,P(A B)=0.5,求 产(B I A U B )【解】尸(B|A U后)=P(AB)P(A)-P(AB)P(AU6)P(A)+P(B)-尸(AB)0.7-0.5 1-0.7+0.6-0.5-424.在一个盒中装有1 5个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A尸 第一次取出的3
6、个球中有,个新球,i=0,l,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式,有3P(B)=P(B|4)P(4)i=03 3 12 3 3 3 3J _ y yy y 9 y j y y 十-十 3 0 3 3 3 3 0 3 3 0 31 5 L15 115 j 5 j 5,5 1 5 1 5=0.0 8 92 5.按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有9 0%的可能考试及格,不努力学习的学生有9 0%的可能考试不及格.据调查,学生中有8 0%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设4=被调查学生是
7、努力学习的,则 入=被调查学生是不努力学习的.由题意知户G4)=0.8,P (7)=0.2,又设8=被调查学生考试及格.由题意知尸(8 1 4)=0.9,尸(B IA )W.9,故由贝叶斯公式知(1)P(AB)P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A)P(B|A)+P(A)P(B I A)0.2 x0.1 =0.0 2 70 20.8 x0.9 +0.2 x0.1 3 7即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.70 2%P(A|万)=P(AB)P(A)P(同 A)P(B)P(A)P(雨)+P(N)P(乖)4=0.3 0 770.8 x0.10.8 x0.1 4-0.2 x0.9 1 3即
8、考试不及格的学生中努力学习的学生占3 0.77%.则=原发信息是B 则=收到信息是8 2 6,将两信息分别编码为A和8传递出来,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?【解】设4=原发信息是4 ,C=收到信息是A ,由贝叶斯公式,得(A|C)_ P(A)P C f)_P(A)P(C|A)+P(,)P(C)2/3 x0.9 82/3 x0.9 8 +1/3 x0.0 1=0.9 9 49 227.在已有两个球的箱子中再放一白球,然后任意取出一球,若发现这球为白球,试求箱子中
9、原有一白球的概率(箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种)【解】设4=箱中原有i个白球 (i=0,l,2),由题设条件知P(A,)=g,i=0,1,2.又设8=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知P 火P AJ P(A)i=0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2/3 xl/3 _ _ _ _ _ _ _ _ 1/3 x1/3 4-2/3 x1/3 +1 x1/3 -328.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 5,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设4=产品确为合格品,8=产品被认为
10、是合格品由贝叶斯公式得P(A|3)=尸(A B)P(B)P(A)尸 A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)0.9 6x0.9 80.9 6x0.9 8 +0.0 4x0.0 5=0.9 9 829.某保险公司把被保险人分为三类:“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.0 5,0.1 5和0.3 0;如 果“谨慎的”被保险人占2 0%,“一般的”占50%,“冒失的”占3 0%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?【解】设4=该客户是“谨 慎 的 ,8=该客户是“一般的”,C=该客户是“冒失的,。=该客户在一年内
11、出了事故则由贝叶斯公式得P(AID)P(AD)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _尸(A)尸(l A)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _P(D)P(A)P(O i A)+P(B)P(D i 6)+P P(D IC)=-g x O N-=0.0 570.2 x 0.0 5+0.5x0.1 5+0.3 x 0.33 0 .加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.0 2,0.0 3,0.0 5,0.0 3,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.【解】设4=第i道工序出次品 (i=l,2,3,4).4 _
12、_ _ _ _ _ _ _ _p(U4)=i P(4A,4 4)i=l=I-P(A)P(4)P(4)P(4)=1-0.9 8 x 0.9 7 x 0.9 5 x 0.9 7=0.1 2 43 1 .设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行次独立射击.l-(0.8)n 0.9即为(0.8)n 0.1故”1 1至少必须进行II次独立射击.3 2 .证明:若 尸(A I 8)=P(A I B),则A,B相互独立.【证】尸(A I B)=尸(A I后)即生辿=尸(3)P(B)P(B)亦即 P(AB)P=尸(A历尸(8)P(A B)1
13、-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)因此 P(AB)=P(A)P(B)故A与B相互独立.3 3 .三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为,,-求将此密码破译出的概率.5 3 4【解】设A尸 第,人能破译 (/=1,2,3),则A,)=1 -P(H无)=1-P(QPW)P(无)i=l,4 2 3“=1 x x =0.65 3 43 4.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5 07,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0 2若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中,则飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率.【解】设4=飞机被击落,8尸 恰有i人
14、击中飞机,i=0,l,2,3由全概率公式,得3P(A)=ZP(A I 8,)P 3)/=0=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X0.7=0.45 83 5.已知某种疾病患者的痊愈率为2 5%,为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1)虽然新药有效,且把治愈率提高到3 5%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效,但
15、通过试验被认为有效的概率.3【解】(1)p=ZC o(O.35)A(O.6 5)g =0.5 138k=010(2)p2=Z C:o(O.25)(0.7 5)g =0.2241k=436.一架升降机开始时有6位乘客,并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)4=某指定的一层有两位乘客离开”;(2)B=没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”;(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”;(4)D=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开,故所有可能结果为1()6种.C294(I)P(A)=Y-,也可由6重贝努里模型:106i QP(A)=C;(一 火 一
16、 )46 10 10(2)6个人在十层中任意六层离开,故P6P(B)=一106(3)由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有C;o种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有C;种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式:4人中有3个人在同一层离开,另一人在其余8层中任一层离开,共有C;C:C;种可能结果;4人同时离开,有C;种可能结果;4个人都不在同一层离开,有P;种可能结果,故尸(C)=C C(C;C:C;+C;+P;)/(4)D=瓦故6P(0 =1-尸=1-常37.个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1)甲、乙两人坐在一起,且乙坐在
17、甲的左边的概率;(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3)如果个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.【解】(1)p,H-1(2)P23!(一 3)!(-D!,3,(-1)!1 ,3!(2)!Pi=-1=_,Pz=-,-,2 3n n n38 .将线段 0,任意折成三折,试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这一段长分别为x j M T-y.则基本事件集为由0j ca,0ya fia-x-y a-x-yx +(q _ x _ y)yy +(Q-x-y)x构成的图形,即八 Q0 x 20 y .2a x+y a2 .如图阴影部分所示,故所求概率为P=L.43 9 .某人有“把钥匙,其中只有一
18、把能开他的门.他逐个将它们去试开(抽样是无放回的).证明试开k 次=1,2 产.)才能把门打开的概率与我无关.【证】Pp l品-14=1,2,n4 0.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,在这些小立方体中,随机地取出一个,试求它有i 面涂有颜色的概率尸(4,)(i=0,1,2,3).【解】设4,=小立方体有i 面涂有颜色,PA(B U C)J =P(AB U AC)=P(A B)+P(A C)-P(4 B C)P(AB)+P(AC)-P(BC)4 2 .将 3 个球随机地放入4个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3的概率.【解】设 4=杯中球的最大个数为i ,i=l,2,3
19、.将 3 个球随机放入4个杯子中,全部可能放法有4 3 种,杯中球的最大个数为1 时,每个杯中最多放一球,故尸C号331 73而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故c1p )=311 6因此3 1p(a)=l P(A)p(4)=l-=O 1O91 6或P(4)=c:c;c;91 64 3 .将一枚均匀硬币掷2 次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2 次硬币,可能出现:A=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,4,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故 产(A)=P(B).所以P(A)=T由2 重贝努里试验中正面出现次的
20、概率为故 P(A)=g l C 4 4 .掷次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知尸(A)=P(B)(1)当为奇数时,正、反面次数不会相等.由P(A)+P(B)=1 得 尸(A)=P(8)=0.5(2)当”为偶数时,由上题知1 1p(A)=-i-c H-)n4 5 .设甲掷均匀硬币+1 次,乙掷”次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲片甲掷出的正面次数,甲 反=甲掷出的反面次数.乙,尸乙掷出的正面次数,乙 反=乙掷出的反面次数.显然有(甲啬胃)=(甲nW乙正)(+1 甲 反 一 乙 反)=(
21、甲反2 1+乙反)=(甲反 乙 反)由对称性知P(甲正 乙正)=P(甲反 乙 反)因此P(甲正 乙 正)=;4 6.证 明“确定的原则”(Sure-thing):若 P M IC)P(BQ,P(AC),则 P(4)【证】由P(A IC)P(B ,得P(AC)P(BC)P(C)一 P(C)即有 P(AC)P(BC)同理由 P(AIC)P(BIC),得P(AC)P(BC),故 P(A)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(B0)=P(B)47.一列火车共有节车厢,有k(k2)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A尸 第i节车厢是空的,(i=l,,则其中八/2
22、,Xi是1,2,n中的任-1个.显然节车厢全空的概率是零,于是故所求概率为P(4)=()nnP(A,4)=(I-亍M 1P(A,A2-AJ=(I-rm=p(A,)=(i=c;(iy/=in52=E P(4A)(i 2 y!/j7 _1S“T=Z P(A“&,)灯(1 ys“=op(0 4)=s/S 2+S 3-+(-1)M s”/=1=c:(1 -与 Y(i -2 +(-1)c/(i-n n nn19M _ 1i -p(u A)=1 -c:(i )A+(I Dn+I c;-(I yi=i n n n48.设随机试验中,某一事件A 出现的概率为e0.试证明:不论e 0 如何小,只要不断地独立地重
23、复做此试验,则A 迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中,A 至少出现一次的概率为1一(1一)”71(-8)49.袋中装有加只正品硬币,”只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少?【解】设4=投掷硬币r 次都得到国徽8=这只硬币为正品由题知 P(B)=m+nnm+n1 P(AB)=,P(AB)=l则由贝叶斯公式知P(B)P(AIB)P(BIA)=P(A)-P(B)P(AI8)+P(8)P(AI8)mm 1_ m +2 m 1 ,m+2rn-1-1m+n 2r m+n50.巴拿赫(Banach)火柴盒问题:某数学
24、家有甲、乙两盒火柴,每盒有N 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有,根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有,根的概率又有多少?【解】以历、电记火柴取自不同两盒的事件,则有P(B 1)=P(4)=;.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩”艮,说明已取了 2 n-r 次,设”次取自S 盒(已空,”-,次取自星 盒,第 2-r+l 次拿起&,发现已空。把取2-r 次火柴视作2-r 重贝努里试验,则所求概率为%=2 1 =式中2反映当 与阴盒的对称性(即也可以是电 盒先取空).(2)前 2-厂-1 次取火柴,有 次 取 自 用盒,-r
25、 次取自B 2 盒,第 2-r 次取自与盒,故概率为a=2 (|)-弓)|=CL-产-15 1 .求“重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由(q +P)=C W+C:p q T +.+c:p q。=1(q-P Y=C P q +C:p/i +C;p 2 q T +C V以上两式相减得所求概率为8=C;pqi+C:p 3 尸 +=1n-(i-2Pr i若要求在重贝努里试验中A出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得P 2=;l +(l 2 p)5 2 .设A,8是任意两个随机事件,求 P (,+B)(A+B)(,+与)(4+豆)的值.【解】因 为(AUB)n
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