《概率论与数理统计》(谢永钦)课后习题答案.pdf
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1、概率论与数理统计习题及答案习 题 一4.设/,6 为随机事件,且 尸(=0.7,夕(/氏=0.3,求尸(而).【解】P C X B)=1 P(AB)=1 尸(1)P(A 百=1 0.7 0.3 =0.66.设4 B,C 为三事件,且尸(4)=尸(8)=1/4,P 9=1/3 且尸(4 8)=P(BC)=0 P(A O=1/1 2,求 4 B,C 至少有一事件发生的概率.【解】尸 3U6 UC)=(4)+尸(0+尸(。P(Aff)PBO P AC)+P ABC)=-+-+-=-4 4 3 1 2 48.1)求五个人的生日都在星期日的概率;(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生
2、日不都在星期日的概率.【解】(1)设 4=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7、有利事件仅1 个,故 尸(4)=(-)(亦可用独立性求解,下同)7-7 5 6(2)设 4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为6,故尸()=(一尸75 7(3)设 4=五个人的生日不都在星期日(4)=1尸(4)=1 (-)571 0.一批产品共N 件,其中 件正品.从中随机地取出件(水A。.试求其中恰有必件(而 Wm 正 品(记为4)的概率.1)件是同时取出的;(2)n 3)件是有放回逐件取出的.【解】P(A)=C%C禺,/c%(2)由于是无放回逐件取出,可用排列法计算.样本点总数有P;种,次抽取中有如次为正
3、品的组合数为C;种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从件正品中取0件的排列数有P;种,从“件次品中取)件 的 排 列 数 为 种,故P(/)Tyn-ntPT由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出,故上述概率也可写成尸(/)-cF可以看出,用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取,每次都有N 种取法,故所有可能的取法总数为“种,次抽取中有如次为正品的组合数为C;种,对于固定的一种正、次品的抽取次序,次取得正品,都有种取法,共 有 种 取 法 必 次 取 得 次 品,每次都有小 种取法,共有(N加 种取法,故P(A)=C:M(N M f /N此题也可用贝努里概型,共做了 重贝努里试验,每次
4、取得正品的概率为!,则取得w 件正品的概率为P(A)=C;?)1(J1 2.5 0 只佛钉随机地取来用在1 0 个部件上,其中有3 个钾钉强度太弱.每个部件用3只钏钉.若将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少?【解】设 上 发生一个部件强度太弱 P(A)=C o C;/C:o=一 1 9 601 3.7 个 球.其 中 4个是白球,3 个是黑球,从中一次抽取3 个,计算至少有两个是白球的概率.C2cd 1R C3 4 22【解】设 4=恰 有,个白球(2=2,3),显然4与 4互斥.p(A)=W =二 故P(A2 4)=P(4)+P(4)
5、=忑 7 3 5 G 3 5 3 51 4.0.8和 0.7,在两批种子中各随机取一粒,求:(1)两粒都发芽的概率;(2)至少有一粒发芽的概率;(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设 4=第/批种子中的一粒发芽,(1=1,2)(1)尸(4 4)=尸(A)尸(4)=0.7x 0.8=0.5 6(2)P(A&)=0.7+0.8 0.7x 0.8=0.9 4(3)P(A,A2 A,)=0.8 x0.3+0.2x ().7=0.3 81 5.【解】(1)1 6.解3次正面才停止.(1)问正好在第6 次停止的概率;(2)问正好在第6 次停止的情况下,第 5次也是出现正面的概率.Pi吟5L5/3 2 50.7
6、及 0.6,每人各投了 3次,求二人进球数相等的概率.设 4=甲 进,球,2=0,1,2,3,5,=乙 进,球),7=0,1,2,3,则3P(4综)=(0.3)3(0.4)3+C;0.7X(0.3)2C;0.6X(0.4)2+C;(0.7)2 x 0.3 C;(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0.3 2 0 76i=01 8.0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设力=下雨,田 下雪.(1)p(BA)=P A B =0.2(2)p(A B)=P(A)+P(B)P(A5)=0.3+0.5 0.1=0
7、.7P(A)0.51 9.3 个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】设 片 其中一个为女孩,作 至少有一个男孩,样本点总数为2 8,故尸网A)_ 6/8 _ 6P(A)-778-7或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.P(B|A)=|2 0.5%的男人和0.2 5%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】设 左 此人是男人,庐 此人是色盲,则由贝叶斯公式P(A|B)=P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P P(B|A)+P(A)P(B|A)0.5x0.05 200.5x0.05+0
8、.5x0.0025-2?2 1.9 :0 0 1 0 :0 0 在公园会面,求一人要等另一人半小时以上的概率.题 2 1 图题 2 2 图302 1【解】设两人到达时刻为x,y,则 0 W x,y W 6 0.事 件“一人要等另一人半小时以上”等价于 3 0.如图阴影部分所示.P =二一=60-42 2.【解】0,1)中随机地取两个数,求:(1)两个数之和小于9的概率;(2)两个数之积小于的概率.5 41 446设两数为 x,y,则 0 x,y L (1)A+7.=1一”068(2)xy=-+-ln 24 22 3.0(A )=0.3,P(历=0.4,K A B)=0.5,求 P (6 I /
9、U 8 )【解】P(如一)(“).=0.7-0.541 P(A B)P(A)+P(8)-P(A8)0.7+0.6-0.5 42 4.1 5 个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中:第二次比赛同样任意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设月产 第一次取出的3 个球中有f 个新球,了=0,1,2,3.斤(第二次取出的3 球均为新球由全概率公式,有 P(B)=f p(8|4)P(4)=W W+上乎W +*工=0089i=5 15 j 5 L 5 J 5 15 15 152 5.按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有9 0%的可能考试及格,不努力
10、学习的学生有9 0%的可能考试不及格.据调查,学生中有8 0%的人是努力学习的,试问:(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?【解】设 左 被调查学生是努力学习的,则 人=被调查学生是不努力学习的.由题意知一(/)=0.8,尸(A)=0.2,又 设 炉 被调查学生考试及格.由题意知P(创/)=0.9,一(B|A )=0.9,故由贝叶斯公式知(1)P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(8|A)+P(A)P(雨)02x0.10.8 x 0.9 +0.2 x 0.1=0.0270237即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占
11、2.7 0 2%P(A同=P(通)RA)P(同 A)O.8xO.lP(a P(A)P(BA)+P(A)P(BA)0.8x0.1 +0.2X0.9 134=0.3077即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.7 7%.2 6.将两信息分别编码为力和6传递出来,接收站收到时,4被误收作6的概率为0.0 2,而6被误收作/的概率为0.01.信息力与6传递的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,试问原发信息是A的概率是多少?【解】设 a 原发信息是,则=原发信息是因 小 收到信息是4,则=收到信息是向由贝叶斯公式,得(A|C)=P P(C|4)P(A)P(C|A)+P(N)P(CB)2/3 x
12、O.XOXo.O0-9 9 4 9 227.【解】设4=箱中原有/个白球 (j=0,1,2),由题设条件知一(4)=;,片0,1,2.又设田 抽出一球为白球.由贝叶斯公式知P(AW)p(AB)_ P(B|AJ P(A)273x1/3P(B)p(用 A,)p(d)l/3 x l/3 +2/3xl/3+lx l/3 3z=O28.9 6%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 5,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设 上 产品确为合格品,庄 产品被认为是合格品由贝叶斯公式得 P(A忸)P(AB)P(A)P(8|A)0
13、.9 6x0.9 8P(B)P(A)P(同 A)+P(A)P(6|A)0.9 6x0.9 8+0.04x0.050.9 9 8129.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30;如 果“谨慎的”被保险人占20%“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,贝I他 是“谨慎的”的概率是多少?【解】设 片 该客户是“谨慎的”,炉 该客户是“一般的”,CM该客户是 冒失的”,方 该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 尸(A|O)=P(AD)P(A)P(DA)0.2x0.05PCD)P(A)尸(。|A)+P(8)P(O|5)+尸(C)P
14、(O|C)0.2x0.05+0.5x0.15+0.3x 0.30.05730.L02,0.03,0.05,0.0 3,假定各道工序是相互独立的,求加工出来的零件的次品率.4 _ _ _ _ _【解】设 4=(第,道工序出次品(片1,2,3,4).P(4)=1-尸(A/24A4)=1 P(A)P(4)P(A)P(A)=1-0.98x0.97x0.95x0.97=0.124Z=131.0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行次独立射击.1 (0.8)0.9即为(0.8)“(0.4 X 0,5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X
15、0.5 X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 Xi=O0.7)0.6+0.4X0.5X0.7=0.45835.为试验一种新药是否有效,把它给10个病人服用,且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效,反之则认为无效,求:(1)虽然新药有效,且把治愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效,但通过试验被认为有效的概率.3 10【解】(1)p|二 工 喘(0.3 5)气0.6 5产 =0.51 3 8 p2=0(0.2 5)*(0.75)1 0-*=0.2 2 4 1k=0k=43 6.乘客,并等可能地停
16、于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)走“某指定的一层有两位乘客离开”;(2)比“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”:(3)用 恰有两位乘客在同一层离开;(4)分”至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在1 0 层楼中的任一层离开,故所有可能结果为1 0 6 种.(1)P(A)=带也可由6重贝努里模型:P(A)=C;(5)2()4P6(2)6个人在十层中任意六层离开,故 P(B)=*(3)由于没有规定在哪一层离开,故可在十层中的任一层离开,有 C;。种可能结果,再从六人中选二人在该层离开,有C;种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况,因此可包含以下三种离开方式
17、:4人中有3个人在同一层离开,另一人在 其 余 8层中任一层离开,共 有 种 可 能 结 果;4人同时离开,有 C;种可能结果;4个人都不在同一层离开,有 用 种 可 能 结 果,故尸(Q=C;C:(C;C;C;+C;+片)/1。6p6(4)D=B.故 P(D)=1 P(B)=1-祥3 7.个朋友随机地围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:(1)甲、乙两人坐在一起,且乙坐在甲的左边的概率;(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率;(3)如果个人并排坐在长桌的一边,求上述事件的概率.,、1 ,、3!(/?-3)!c ,、,(/-I)!1 ,3!(一2)!一【解】(1)Pi =-(2)p,=-,3(3)P =
18、-=;,=-,n3n-(z j-l)!n n n38.0,a x+y a-x-y【解】设这三段长分别为%a x%则基本事件集为由 0 X a,0 y a,0 yy+(a-x-y)x构成的图形,即0 y-如图阴影部分所示,故所求概率为 =.2 4a x+y PA(B C)=P(AB AC)=PAB)+P(AC)-P(ABC)+P(AC)-P(BC)42.3 个球随机地放入4 个杯子中去,求杯中球的最大个数分别为1,2,3 的概率.【解】设 4 =杯中球的最大个数为丹,片1,2,3.将 3 个球随机放入4 个杯子中,全部可能放法有4:种,杯中球的最大个数为1 时,每个杯中最多放一球,故 P(A)=
19、呼C331 =?34 8C1 1而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中,故 P(AJ=W=3 43 163 1 9因此 P(A)=I-P(A)-/(A)=I-=8 16 16或尸(&)=/上=而43.2次,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2 次硬币,可能出现:上 正面次数多于反面次数,比 正面次数少于反面次数,e 正面次数等于反面次数,A,B,。两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故-(/)=尸(#.所 以 P(A)J 一02由2 重贝努里试验中正面出现次的概率为 P(C)=C)(;)故44.次均匀硬币,求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设=出现正面次数多于
20、反面次数,代 出现反面次数多于正面次数,由对称性知产(4=P(B)1 21(1)当为奇数时,正、反面次数不会相等.由一(力)+?(6)=1得 P 3)=尸(皮=0.5(2)当为偶数时,由上题知 P(A)=口C:()2 245.户1 次,乙掷次,求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲产甲掷出的正面次数,甲*甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数,乙 反=乙掷出的反面次数.显然有(甲正乙正)=(甲乙乙正)=(加1甲 反 乙 反)=(甲 反 2 1+乙反)=(甲 反 乙反)由对称性知一(甲正 乙无)=尸(甲 反 乙反)因此P(甲汇 乙 市)=246.Su r e t h ing):若
21、一(川O,尸(80,尸尸(0C),则尸(4)尸(0.【证】由一(4|C)尸(8。,得 P(AC,J(B C)即有 P(AC)P(B C)P(C)P(C)同理由P(AC)P(BC 得P(AC)P(BC),故 P(A)=P(AQ+P(AQ P(BC)+P(BQ=P(B)4 7.一列火车共有节车厢,有个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设力产 第,.节车厢是空的,(户1,“,),则 呼=(p(4 A)=a 二 yM 1P(A-(其中九I是1,2,中的任 1个.显然节车厢全空的概率是零,于是s产 p(a)=a-与=c:(i-3/=i n7s?=Z P(4 4)=C:
22、(1 )As,T=E P(4A&,)4 7(1 3),区 K2 V *ns“二 oP(4)=SS,+S 3 -+(-i)n+s/=1n n n故所求概率为 I-P(Z,A)=i-c,(i-)/;+c(i-)/-+(-i)n+,c;-(i-/=i n n n4 8.设随机试验中,某一事件A出现的概率为e 0.试证明:不论e 0如何小,只要不断地独立地重复做此试验,则/迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中,4至少出现一次的概率为 1 (1 )”-1(-8)4 9 .袋中装有0只正品硬币,只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正
23、品的概率是多少?【解】设 片 投掷硬币r 次都得到国徽 田 这只硬币为正品由题知P(B)=/一,P(初P(A|B)=P(A|B)=1m+n则由贝叶斯公式知P(B|A)=P(AB)P(B)P(A|B)2 P(A)尸(B)P(A|B)+P(8)P(A|B)j n m+21 nm+n5 0 .巴 拿 赫(B anach)火柴盒问题:某数学家有甲、乙两盒火柴,每 盒 有/V根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少?第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r 根的概率又有【解】以瓜、民记火柴取自不同两盒的事件,则有P(B J=2(&)
24、=;.(1)发现一盒已空,另一盒恰剩r 根,说明已取了 2 r 次,设次取自区盒(已空),r 次取自泥盒,第 2 户1 次拿起5,发现已空。把取2 r 次火柴视作2 r 重贝努里试验,则所求概率为 8=2,一,(3)(;);=C:7.去式中2 反映8,与区盒的对称性(即也可以是氏盒先取空).(2)前 2 r 1 次取火柴,有 1 次取自a 盒,r 次取自旦盒,第 2 r 次取自8盒,故概率为 外=2 C:二g =C,二(g产一5 1 .重贝努里试验中力出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中1出现的概率为p.则由 q +p)”=Cpg+C:pqT+C:p2q2+c:pq=l(q-p)=Cpq+C
25、:pqT+C 22-+(l)”C:pZ以上两式相减得所求概率为 p,=c X+c v-3+=-n-(?-p)n=-i-(i-2 p)n若要求在重贝努里试验中/出现偶数次的概率,则只要将两式相加,即得 p2=-l +(l-2 p)n.5 2 .设/,8是任意两个随机事件,求尸 (A+6)(4+8)(A+B)T+B)的值.【解】因 为(4U6)n(A U B)=H 8uA 6(A U 6)C T U 8)=46U AB所求 4+5)(4+5)&+5)04+豆)=(45 AB)(AB+AB)=0 故所求值为 0.53.设两两相互独立的三事件,A,6和吐,0(4)=a(而=。(。1/2,且。(4U6U
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