4《概率论与数理统计》(韩旭里 谢永钦版)习题一及答案.pdf
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1、 1习题四 习题四 1.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E(X),E(X2),E(2X+3).【解】【解】(1)11111()(1)012;82842E X=+=(2)2222211115()(1)012;82844E X=+=(3)1(23)2()32342EXE X+=+=+=2.已知 100 个产品中有 10 个次品,求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X,则 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5905100C0.583C=1410905100C C0.3
2、40C=2310905100C C0.070C=3210905100C C0.007C=4110905100C C0C=5105100C0C=故 ()0.583 00.340 1 0.070 20.007 30 40 5E X=+0.501,=520()()iiiD XxE XP=222(00.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)00.432.=+=?3.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E(X)=0.1,E(X2)=0.9,求 P1,P2,P3.【解】【解】因1231PPP+=,又12331()(1)010.1E XPPPPP
3、=+=ii,222212313()(1)010.9E XPPPPP=+=+=iii 由联立解得1230.4,0.1,0.5.PPP=4.袋中有 N 只球,其中的白球数 X 为一随机变量,已知 E(X)=n,问从袋中任取 1 球为白球的概率是多少?【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球,则 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 2 0()|NkP AP A XkP Xk=i全概率公式 0011().NNkkkP XkkP XkNNnE XNN=i 5.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=.,0,21,2,10,其他xxxx 求 E(X),D(X).【解】【解
4、】12201()()dd(2)dE Xxf xxxxxxx+=+213320111.33xxx=+=122232017()()dd(2)d6E Xx f xxxxxxx+=+=故 221()()().6D XE XE X=6.设随机变量 X,Y,Z 相互独立,且 E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望.(1)U=2X+3Y+1;(2)V=YZ 4X.【解】【解】(1)(231)2()3()1E UEXYE XE Y=+=+2 53 11 144.=+=(2)44()E VE YZXE YZE X=,()()4()Y ZE YE ZE Xi因独立 11 84 568
5、.=7.设随机变量 X,Y 相互独立,且 E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求 E(3X 2Y),D(2X 3Y).【解】【解】(1)(32)3()2()3 32 33.EXYE XE Y=(2)22(23)2()(3)4 129 16192.DXYD XDY=+=+=8.设随机变量(X,Y)的概率密度为 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 3f(x,y)=其他 求 E(XY).【解】【解】方法一:先求 X 与 Y 的均值 102()2 d,3E Xxx x=i 5(5)500()ed5e de d5 1 6.z yyzzE Yyyzz
6、z+=+=+=令 由 X 与 Y 的独立性,得 2()()()64.3E XYE XE Y=i 方法二:利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立,故联合密度为(5)2 e,01,5,(,)()()0,yXYxxyf x yfxfy=i其他 于是 11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yyE XYxyxx yxxyy+=ii 10.设随机变量 X,Y 的概率密度分别为 fX(x)=;0,0,0,22xxxe fY(y)=.0,0,0,44yyye 求(1)E(X+Y);(2)E(2X 3Y2).【解】【解】22-2000()()d2edeedxxxXXxfxxxxx
7、x+=i 201ed.2xx+=401()()d4edy.4yYE Yyfyyy+=i 22242021()()d4ed.48yYE Yy fyyyy+=i 从而(1)113()()().244E XYE XE Y+=+=+=圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 4(2)22115(23)2()3()23288EXYE XE Y=11.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=.0,0,0,414xxxe 为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备,工厂获利 100 元,而调换一台则损失 200 元,试求工厂出售一台设备赢利的数
8、学期望.【解】【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值:100 元和 200 元 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 5 /41/4111001ede4xP YP Xx+=1/420011 e.P YP X=故1/41/41/4()100 e(200)(1 e)300e20033.64E Y=+=(元).14.设 X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且有 E(Xi)=,D(Xi)=2,i=1,2,n,记=niiSXnX12,1,S2=niiXXn12)(11.(1)验证)(XE=,)(XD=n2;(2)验证 S2=)(11122=niiXnXn;(3)
9、验证 E(S2)=2.【证】【证】(1)1111111()()().nnniiiiiiE XEXEXE Xnuunnnn=i 22111111()()nnniiiiiiiD XDXDXXDXnnn=i之间相互独立 2221.nnn=i(2)因 222221111()(2)2nnnniiiiiiiiiXXXXXXXnXXX=+=+2222112nniiiiXnXX nXXnX=+=i 故22211()1niiSXnXn=.(3)因2(),()iiE Xu D X=,故2222()()().iiiE XD XEXu=+=+同理因2(),()E Xu D Xn=,故222()E Xun=+.从而 圣
10、才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 6222221111()()()()11nniiiiE sEXnXEXnE Xnn=221222221()()11().1niiE XnE Xnnununn=+=ii 15.对随机变量 X 和 Y,已知 D(X)=2,D(Y)=3,Cov(X,Y)=1,计算:Cov(3X 2Y+1,X+4Y 3).【解】【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()XYXYD XX YD Y+=+3 2 10(1)8 328=+=(因常数与任一随机变量独立,故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变
11、量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=221,1,0,.xy+其他 试验证 X 和 Y 是不相关的,但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】【解】设22(,)|1Dx yxy=+.2211()(,)d dd dxyE Xxf x yx yx x y+=21001=cosd d0.rr r=i 同理 E(Y)=0.而 Cov(,)()()(,)d dX YxE xyE Yf x yx y+=i 2221200111d dsincosd d0 xyxy x yrr r+=,由此得0XY=,故 X 与 Y 不相关.下面讨论独立性,当|x|1 时,22121112()d1.xXxfxyx=当|y|1
12、时,22121112()d1yYyfyxy=.显然()()(,).XYfxfyf x yi 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 7故 X 和 Y 不是相互独立的.17.设随机变量(X,Y)的分布律为 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证 X 和 Y 是不相关的,但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】【解】联合分布表中含有零元素,X 与 Y 显然不独立,由联合分布律易求得 X,Y 及 XY 的分布律,其分布律如下表 X 1 0 1 P 38 28 38 Y 1 0 1 P 38 28 38 XY 1
13、0 1 P 28 48 28 由期望定义易得 E(X)=E(Y)=E(XY)=0.从而 E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知 XY=0,即 X 与 Y 的相关系数为 0,从而 X 和 Y 是不相关的.又331111,1888P XP YP XY=i 从而 X 与 Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求 Cov(X,Y),XY.【解】【解】如图,SD=12,故(X,Y)的概率密度为 题 18 图 2,(,),(,)0,x yDf x y=其他.X Y圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统
14、计学习网 圣才学习网 8()(,)d dDE Xxf x yx y=11001d2d3xxxy=i 22()(,)d dDE Xx f x yx y=112001d2d6xxxy=从而222111()()().6318D XE XE X=同理11(),().318E YD Y=而 11001()(,)d d2d dd2d.12xDDE XYxyf x yx yxy x yxxy y=所以 1111Cov(,)()()()123336X YE XYE XE Y=i.从而 1Cov(,)1362()()111818XYX YD XD Y=i 19.设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=1sin(
15、),0,0,2220.xyxy,+其他 求协方差 Cov(X,Y)和相关系数 XY.【解】【解】/2/2001()(,)d ddsin()d.24E Xxf x yx yxxxyy+=+=i 22222001()dsin()d2.282E Xxxxyy=+=+i 从而 222()()()2.162D XE XE X=+同理 2(),()2.4162E YD Y=+又 /2/200()dsin()d d1,2E XYxxyxyx y=+=故 24Cov(,)()()()1.2444X YE XYE XE Y=i 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 922222
16、24Cov(,)(4)8164.832832()()2162XYX YD XD Y+=+i 20.已知二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为4111,试求 Z1=X 2Y 和 Z2=2X Y 的相关系数.【解】【解】由已知知:D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而 12()(2)()4()4Cov(,)14 44 113,()(2)4()()4Cov(,)4 144 14,D ZD XYD XD YX YD ZDXYD XD YX Y=+=+=+=+=12Cov(,)Cov(2,2)Z ZXYXY=2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()2
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