作业课件【数学七年级下册】9.等腰三角形中辅助线的作法.ppt

等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合,我们将等腰三角形这一性质称之为“三线合一”,“三线合一”适用于等腰三角形问题,用其可以解决同一三角形内部的边角问题.类型一：利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)又CD AD,AE BCACD 和ABE 均为直角三角形在Rt ACD 和Rt ABE 中BE=CDAB=AC Rt ACD Rt ABE(HL)ACD B 在ABC 中,AD BC,B 2C,求证:AB BD CD二、构造等腰三角形 在ABC 中,AD BC,B 2C,求证:AB BD CD证明:在DC 上截取DE DBAD BCADB ADE又AD ADADB ADE(SAS)AB AE,ABD AEDB 2CAED 2C又AED C EACC EACAE CEAB BD AE DECE DE CD.在中如果条件B 2C 与结论AB BD CD 互换,仍然成立吗?试说明理由.解:仍然成立,理由如下:在DC 上截取DE DBAD BCADB ADE又AD ADADB ADE(SAS)AB AE,B AEDAB BD CDAE DE CD而CE DE CDAE CEEAC C而AED EAC CAED 2CB 2C在等腰三角形中,如遇等边或等角,可以考虑作底边上的高线,运用“三线合一”性质解题;如遇垂直平分,可以考虑构造等腰三角形解题.等腰三角形中辅助线的作法等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形,它们除具有等腰三角形的所有性质外,还有自身独特的性质,因而在解题中,可以充分利用它们独特性质构造全等的三角形,以突破解题的难点.类型二：巧用等腰直角三角形构造全等如图1,OA=2,OB=4,以A 点为顶点,AB 为腰在第三象限作等腰直角ABC.(1)点求C 的坐标;(2)如图2,P 为y 轴负半轴上一个动点,当P 点向y 轴负半轴向下运动时,以P 为顶点,P A为腰作等腰直角APD,过D 作DE x轴于E 点,求OP DE 的值.图2图1如图1,OA=2,OB=4,以A 点为顶点,AB 为腰在第三象限作等腰直角ABC.(1)点求C 的坐标;解:(1)如图1,过C 作CM x轴于M 点,MAC+OAB=90,OAB+OBA=90,则MAC=OBA,又CMA=AOB=90,AC=AB,MAC OBA(AAS),CM=OA=2,MA=OB=4,OM=OA+AM=2+4=6,点C 的坐标为(-6,-2).图1解:(2)如图2,过点D 作DQ OP 于Q 点,则DE=OQ,OP-DE=OP-OQ=PQ,APO+QPD=90,APO+OAP=90,QPD=OAP,又AOP=PQD=90,AP=PD,AOPPQD(AAS),PQ=OA=2.即OP-DE=2.(2)如图2,P 为y 轴负半轴上一个动点,当P 点沿y 轴负半轴向下运动时,以P 为顶点,P A 为腰作等腰直角APD,过D 作DE x轴于E 点,求OP-DE 的值.图2类型三：等腰(边)三角形中截长补短构造全等或等边三角形如图,ABC 是正三角形,BDC 是顶角BDC 120 的等腰三角形,以D 为顶点作一个60 的角,角的两边分别交AB、AC 于M、N 两点,连结MN,求证:MN BMCN.如图,ABC 是正三角形,BDC 是顶角BDC 120 的等腰三角形,以D 为顶点作一个60 的角,角的两边分别交AB、AC 于M、N 两点,连结MN,求证:MN BMCN证明:延长MB 至点E 使BE CN BDC 120,DB DC 2330ABC 是正三角形160,ABD 90同理ACD 90DBE DCN 90 由得DCN DBEDN DE,36460,BDC 1205360MDE 5660MDE 4DM DM 由得MED MNDMN ME MB EB MB CN遇等腰直角三角形时,通常结合腰相等和锐角互余来添加辅助线、构造全等三角形;如遇等边三角形,通常以某条线段为边构造一个合适的等边三角形,同时构造全等三角形.