2024届浙南名校联盟高三上学期第一次联考数学试题含答案.pdf

#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）1 2023 学年第一学期浙南名校联盟第一次联考学年第一学期浙南名校联盟第一次联考 高三年级数学学科参考答案高三年级数学学科参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A C B C D 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中有多项符合题 目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.2 14.-8 15.5 16.6459,4813 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解：（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，由题：=+=+,83,3010511dada解得21=da 3 分(列出方程组得列出方程组得 2 分，结果分，结果 1 分分)所以nnSnann+=2,2；5 分(通项公式和前通项公式和前 n 项和各项和各 1 分分)（2）由（1）知nnnb42=，则+=+=+)44241(24)44241(21322nnnnnTnT.两式相减得：)444441(23132+=nnnnT7 分(两式两式列列式式正确得正确得 1 分，相减结果正确分，相减结果正确 1 分分)即有44)13(921+=+nnnT 10 分(结果正确结果正确 3 分，错误分，错误 0 分，但形式可以不唯一分，但形式可以不唯一)题号 9 10 11 12 答案 BCD BD ACD BC#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）2 18.解：（1）由)sin()sin(ACbBAc=得：)sincoscos(sin)sincoscos(sinACACbBABAc=(和差公式正确得和差公式正确得 1 分分)则CabAbcAbcBcacoscoscoscos=(利用正弦定理角化边正确得利用正弦定理角化边正确得 1 分分)则AbcCabBcacos2coscos=+则2222acb=+，4 分(余弦定理应用正确得余弦定理应用正确得 1 分，结果正确分，结果正确 1 分分)又bca=2，则212cos222=+=bcacbA 所以3=A；6 分(结果正确结果正确 2 分，错误分，错误 0 分分)（2）由（1）得82222=+acb 所以5422cos2222=+=bcabcacbA 所以52=bc，8 分 由,82)(222=+=+bccbcb 10 分,c,bcb1313)(2=+=+11 分 则213C+=+=cbaCAB 12 分 19.解：（1）由已知得：抽取一次碳含量在之内的概率为 0.9974,所以0257.09743.019974.01)0(1)1(10=XPXP，3 分()0(=XP正确正确 1 分，分，)0(1)1(=XPXP1 分，结果分，结果 1 分分)又碳含量在之外的概率为 0.0026,故6)B(10,0.002X 5 分 因此026.0)(=XE；6 分(结果正确给结果正确给 3 分分)(3,3)+(3,3)+#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）3(2)由011.0317.0=sx，得，的估计值为317.0=,011.0=，所以)350.0,284.0()3,3(=+,7 分 由所测数据可以看出10次抽检的碳含量均在之内,因此不需对当天的生产过程进行检查 9 分 若去掉1x，剩下的数据的标准差21212219)(910+=xxs.12 分（结果正确（结果正确 3 分，错误分，错误 0 分分）20.解：(1)由三棱台可知：延长111,CCBBAA交于点P，连接PE，延长交BC于F，并连接AF，易得三棱锥ABCP为正四面体，且PFBCAFBC,，2 分（根据情况给（根据情况给 1 1 分、分、2 2 分，只要有点对，不能全扣分，只要有点对，不能全扣）所以BC平面APF，所以DEBC，又因为1BBDE，所以11CBCBDE平面，所以PFDE，4 分（根据情况给（根据情况给 3 3 分、分、4 4 分，只要有点对，不能全扣分，只要有点对，不能全扣）在APF中，23,3,2=PEAFPFPA，则,332cos=PFAPDPE23cos=DPEPEPD，所以21=AD；6 分（根据情况给（根据情况给 5 5 分、分、6 6 分，只要有点对，不能全扣分，只要有点对，不能全扣）(2)如图，以底面ABC中心O为坐标原点，以与BC平行的方向 为x轴，以OF方向为y轴，以OP方向为z轴建立空间直角坐标系，（正确建坐标系给（正确建坐标系给 1 1 分分）7 分 则,362,0,0,0,332,0,0,33,0,0,33,1PAFB (3,3)+A B C A1 C1 B1 E 第 20 题图 D F P x y z O#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）4 所以,36,63,0,66,23,0ED 所以,36,63,1,66,635,1=BEBD 取平面BDE的法向量为),(zyxm=，则=,0,0mBEmBD即为=+=+,06236,06356zyxzyx8 分（正确列出方程组（正确列出方程组 1 分分）得)24,2,33(=m，9 分 取平面ABC的法向量为)1,0,0(=n，10 分 所以21144|,cos=nmnmnm12 分（完整写出余弦计算公式就给（完整写出余弦计算公式就给 1 分，结果分，结果 1 分分）所以平面BDE与平面ABC夹角的余弦值为21144.(2)方法方法 2：如图，延长FAED,交于G，连接1,EABG，作FAEH，BGHI,连接EI，由(1)得：BCEH，所以EH面ABC，所以BGEH，所以BG面EHI，所以EIBG，所以EIH即为平面BDE与平面ABC的夹角8 分（根据情况给（根据情况给 7 7 分、分、8 8 分，只要有点对，不能全扣分，只要有点对，不能全扣）在PAF中，36=EH，9 分 在GFBRT中，31338312334sin=FGBGHHI，10 分 所以2431tan=HIEHEIH，11 分（计算（计算EI同样给分）同样给分）C B A E P D A1 G H I F#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）5 所以21144cos=EIH.12 分（每个量（每个量EIHEIHHIEHcos,tan,给出正确计算结果分别获得给出正确计算结果分别获得 1 分）分）21.解：（1）由题：)0,1(F，设),(),(,1:2211yxByxAnyxAB+=，（设对直线给（设对直线给 1 分分）代入xy42=得 0442=nyy，则有=+,4,42121yynyy 2 分 所以)2,12(2nnP+，3 分 故2212|2|2+=nnkOP 所以直线OP的斜率取值范围为2222，；4 分（2）设),(),(4433yxDyxC，则 444211311313=+=yyyyxxyykCA解得1316yy=同理，2416yy=所以),16,64(),16,64(222121yyDyyC 6 分（1 1 个点坐标表示正确个点坐标表示正确 1 1 分分）所以Q点的横坐标为)12(16)(2)(32)11(322221212212221+=+=+nyyyyyyyy，7 分 Q点的纵坐标为nyy8)11(821=+，8 分 所以OQ的斜率OPOQknnk41)12(22=+=，#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）6 记OPkt=，取OQOP,的方向向量分别为),4(),1(tqtp=，故21,0,1716911614|cos222222+=+=ttttttqpqpPOQ，10 分（结果正确结果正确 2 2 分，错误分，错误 0 0 分分）所以当212=t时，POQcos取到最小值为11113.12 分（结果正确结果正确 1 1 分，等号成立条件正确分，等号成立条件正确 1 1 分分）22.解：（1）由题：0,111111)(+=+=xaxxxaxxf，1 分（i）当1a时，0)(xf，函数在),0(+上单调递减；2 分(ii)当10 a时，0)(=xf解为aax=1，且0)(,1;0)(,1,0+xfaaxxfaax，所以函数)(xf有减区间为 aa1,0，增区间为+,1aa；3 分（2）由（1）知当10 a时，)(xf有减区间为 aa1,0，增区间为+,1aa 由题可知：对任意10 a，均有0)1ln(ln)1ln(1+=baaaaaaaf成立，等价于)1ln(ln)1ln(aaaaab+恒成立，令aaaaagln)1ln()1()(=，10 a 4 分（函数构造正确得分，可以不同函数）（函数构造正确得分，可以不同函数）则0)11ln()(=aag，得21=a，且0)(,21;0)(,21,0+agxagx，所以)(ag在21,0上递增，在+,21上递减，5 分 所以2ln21)(max=gag，所以2lnb；6 分#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#高三数学学科 第 页（共 6 页）7 所以当2lnb时，01aaf，又+=+)(lim)(lim0 xfxfxx，7 分 所以b的取值范围为),2(ln+；（3）证明：两边取自然对数得，2132221321nnnnnnn 2ln2ln211=nnkknk，2ln2ln11=nnknknk 8 分（有取对数等价变形就给（有取对数等价变形就给 1 分）分）因为=+=+=111111111ln1lnln1lnln2nknknknknknknknknknnknknknknk 10 分（有倒序求和给（有倒序求和给 1 分，配对正确给分，配对正确给 1 分）分）由（2）可知：2ln)1ln()1(ln),1,0(+aaaaa，取1,2,1,=nknka，代入上式得 2ln2ln1ln1lnnnknknknk+，1,2,1=nk11 分 2ln2ln)1(1ln1ln11nnnknknknknk+=，所以2ln2ln11=nnknknk，得证！12 分#QQABCQKAogCgAhAAAQhCAwFQCEAQkBECCKoOhEAMsAIAAANABAA=#