高三数学一轮复习讲义 导数与积分 老师.docx

课题：导数与定积分 知识点一、导数1.导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量，y=f（x0+x）f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即= 。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f （x）或y |x = x0；即f （x）=。2.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率 。也就是说，曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率是f （x0）。相应地，切线方程为yy0 = f (x0)(xx0)3.几种常见函数的导数：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）.4.两个函数的和、差、积、商的求导法则：（1）函数和（或差）的求导法则：设是可导的，则.（2）函数积的求导法则：设是可导的，则，即两个函数的积的导。 特例：若C为常数,则.（3）函数商的求导法则：设是可导的，且，则.（简记为 （） ）5.确定函数的单调性（求单调区间）（1）在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数在这个区间内单调递减。（2）如果在某区间内恒有，则为常数；6.极点与极值：（1）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（2）极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有，则是函数 的极大值，极小值同理）（3）求函数极值的步骤：求导数 求方程的根 列表 下结论。7.当函数在点x0处连续时： 如果在x0附近的左侧0，右侧0，那么是极大值； 如果在x0附近的左侧0，右侧0，那么是极小值。【典型例题】【例1】函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ,所以当 时, ; 当 时, ,因此当 时, 取最大值,选D.【例2】函数内有极小值，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：因为 ，函数内有极小值，所以 ，所以.考点：导数在函数中的应用.【例3】若函数，则等于（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，故选C.考点：导数的计算.【例4】函数，则的最小值是 【答案】【解析】略【举一反三】1函数，则（ ）A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点【答案】A【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点2已知函数,则过点可以作出（ ）条图象的切线A B C D【答案】C【解析】试题分析：设切点为，切线方程为，把代入，得，解得，或，所以切线有两条故选C考点：导数的几何意义【名师点睛】本题考查导数的几何意义在求函数图象的切线时，如果求函数图象上点处的切线，切线方程为，若求过点的切线方程，则设切点为，写出切线方程，再把代入切线方程，求得，有几解，则有几条切线4函数的导函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，故选B.考点：商的求导法则.5函数在其极值点处的切线方程为 【答案】y=【解析】试题分析：依题意得y=ex+xex，令y=0，可得x=-1，y=因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=考点：导数与切线【名师点睛】本题考查利用导数求切线方程，解题关键是掌握函数极值的定义，求得极值点与极值方法是求得导函数，解方程，得极值点，若极值是，则所求切线方程为本题是填空题，因此只要求得的解后，可以直接写出切线方程如果是解答题还要判断方程的解是不是极值点，否则易出错6已知函数有极大值又有极小值，则的取值范围是 .【答案】【解析】知识点二、定积分1.定积分的概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<<xi1<xi<xnb把区间 a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式:f (i)x（其中x为小区间长度。在等分情况下，x = ），把n即x0时，和式的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即f (i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函 数，x叫做积分变量，f(x) dx叫做被积式。 2.基本的定积分公式：（1）（2）（C为常数）（3）（4）（5） （6） （7）【典型例题】【例1】 （ ）A B C D 【答案】B【解析】解：因为，选B【例2】若，则的值是（ ）A2 B3 C4 D6【答案】A【解析】试题分析：因为，所以可化为，所以，的值是2.选A.考点：定积分计算，对数运算.【例3】若，则实数等于（ ）A B C D【答案】A【解析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式 ，列出关于a的方程，从而求解解：，=（-cosx）-（asinx） =0-（-1）-a=2，a=-1，故选A【例4】的值为_【答案】0【解析】因为f(x)=x3+tanx+x2sinx，1x1所以f(x)=x3tanxx2sinx=f(x)，所以f(x)为奇函数，.【举一反三】1曲直线y=2x及曲线围成的封闭图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：曲直线y=2x及曲线的交点坐标为（1,2），利用定积分几何意义，可知曲直线y=2x及曲线围成的封闭图形的面积为2直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积等于_.【答案】【解析】直线 与抛物线的交点坐标为，据此可得：直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积等于:.3计算 . 【答案】【解析】试题分析：考点：定积分【课堂巩固】1函数的零点所在的区间是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】试题分析：函数yf(x)如果满足：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)·f(b)<0，则函数yf(x)在区间(a，b)内有零点；经计算，可知,，同时利用函数的单调性可知函数yf(x)在上是单调递增的，因此根据零点定理故选C考点：1、函数零点的判定定理；2、函数的单调性的判断方法.2函数的零点是( )A. B. C.3D. 【答案】A【解析】令解得，所以函数的零点为，故选A。函数零点是指函数与x轴交点的横坐标值，所以B不符合。3函数，则的值是（ ）A. -1 B. 0 C. 1 D. 【答案】A【解析】因为，所以， 4定积分的值为（ ） A0 BCD-2【答案】B【解析】解：利用微积分基本定理可得：5由，及轴围成的图形的面积为 ：A、28 B、26 C、30 D、【答案】A【解析】解：因为利用定积分的几何意义可知，交点为（1,4）（3,28,）那么围成的面积为，选A6在处有极大值，则常数的值为_【答案】2【解析】试题分析：，由函数在处有极大值可得 考点：函数导数与极值7 _.【答案】0【解析】试题分析：方法一：，故填.方法二：由于定积分性质可知，对于奇函数，若积分对应的区间关于原点对称，那么积分的结果一定为（通过图像也可以判别），故填.考点：定积分运算.8计算定积分：= 【答案】【解析】试题分析：，结合定积分的几何意义可知所求定积分值为围成的曲边形，结合圆的面积公式可得考点：定积分【课后练习】 正确率：_1曲线与直线x=1,x=2及x轴围城的封闭图形的面积是（ ） .A.1 B.3 C.7 D.8【答案】C【解析】试题分析：首利用定积分的几何意义求解即可由题意，故选C.考点：定积分在求面积中的应用2（ ）A. 0 B. -1 C. D. 【答案】A【解析】被积函数 为奇函数，且积分上下限关于原点对称，故故选A3由曲线，直线及轴所围成的图形是面积为（ ）A12 B24 C16 D18【答案】D【解析】试题分析：曲线，直线的交点为，由定积分的几何意义可知,曲线与直线及轴围成的面积为,故选D.考点：1、定积分的应用；2、定积分的几何意义.4 等于 () A B 2 C 2 D 2【答案】D【解析】略5函数的导数 ， 【答案】 ；67【解析】此题考查函数的导数计算公式和运算法则；根据公式得到，所以6若函数在处取得极值，则_【答案】【解析】函数在处取得极值，则又，所以故答案为：7曲线在处的切线平行于直线,则点坐标为_.【答案】【解析】设切点横坐标为 ，函数的导函数为： ，由切线与导函数的关系可得： ，而： ，即点坐标为.第 11 页 共 11 页学科网（北京）股份有限公司