2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节两个计数原理排列与组合.docx

第一节两个计数原理、排列与组合考试要求：理解排列、组合的概念、排列数公式及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题一、教材概念·结论·性质重现1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有Nmn种不同的方法完成这件事共有Nm×n种不同的方法两个计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事2排列与组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义作为一组3排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数公式Anmn(n1)(n2)··(nm1)n！nm！CnmAnmAmmnn1n2nm+1m！n！m！nm！性质Annn！，0！1CnmCnnm，Cnm+Cnm1Cn+1m(1)“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合(2)排列数与组合数之间的联系：CnmAmmAnm两种形式：连乘积形式与阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证二、基本技能·思想·活动经验1判断下列说法的正误，对的画“”，错的画“×”(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列(×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(5)若CnxCnm，则xm成立(×)2教学楼共有6层楼，每层都有南、北两个楼梯，从一楼到六楼的走法共有()A25种B52种C62种D26种A解析：根据题意，教学楼共有6层，共5层楼梯，每层均有两个楼梯，即每层有2种走法，则一共有2×2×2×2×225种走法故选A3中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()A30种B50种C60种D90种B解析：甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×1020种，甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×1030种，所以总共有203050种故选B44位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A12种B24种C30种D36种B解析：由题意知本题是一个分步乘法计数问题因为恰有2人选修课程甲，共有C426种结果，所以选甲的两个人再选一门课程各有两种选法，共有2×24种结果，余下的两个人只有1种选法，根据分步乘法计数原理知共有6×4×124种结果故选B5从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有_种(用数字作答)16解析：方法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C4212(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有C22C414(种)根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12416(种)方法二：从6人中任选3人，不同的选法共有C6320(种)从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C434(种)所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20416(种)考点1两个计数原理应用性1下图是某项工程的网络图(单位：天)，则从开始节点到终止节点的路径共有()A14条B12条C9条D7条B解析：由图可知，由有3条路径，由有2条路径，由有2条路径，根据分步乘法计数原理可得从共有3×2×212条路径故选B2用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为()A81B48C36D24B解析：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况，则此时四位数有2×2×2×216个；数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，此时四位数有4×2×2×232个，故有163248个四位数故选B3(2022·威海模拟)已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的7个大小、形状相同的小球小明从袋子中有放回地取3次球，每次只取一个球，且3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数，则不同的取球方法种数为()A712B216C108D72C解析：根据3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数可知，有一次取出的球的编号为奇数，2次取出的球的编号为偶数，先确定哪一次得到奇数号球，然后从4个奇数号球中取一个，再每次都从3个偶数号球中任取一个(有放回取球)，故满足题意的取球方法有3×4×3×3108(种)4现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A120B140C240D260 D解析：先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂法方法有5×4×(1×43×3)260(种)，故选D两个计数原理的应用(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成(2)较复杂的问题可借助图表来完成(3)对于涂色问题：分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素注意对每个区域逐一进行，分步处理考点2排列与组合综合性(1)(2022·新高考卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()A12种B24种C36种D48种B解析：因为丙、丁要在一起，先把丙、丁捆绑，看做一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3！×2×224(种)不同的排列方式故选B(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232B252C472D484C解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C41C122264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C1233C4322012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法有264208472(种)1有限制条件的排列问题的常用方法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法2组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，可逆向思维，间接求解考点3分组分配问题综合性考向1整体均分问题教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法90解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C62C42C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A336种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C62C42C22A33·A3390种分派方法解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数一般地，若为平均分组，则应用n个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列；若为不平均分组，则应按照实际情况分析重复排列的种数，然后再进行相应计算考向2部分均分问题将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有_种(用数字作答)1 560解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C63C31C21C11A3320(种)；有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C62C42A22·C21C11A2245(种)所以不同的分组方法共有204565(种)然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A441 560(种)考向3不等分问题(1)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为()A35B70C165D1 860C解析：根据题意，分4种情况讨论：没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C7335种放法；有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C434种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C7221种分组方法，则有4×2184种放法；有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C426种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C717种分组方法，则有6×742种方法；有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法故一共有3584424165种放法(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法360解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C61种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C52种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种分法根据分步乘法计数原理，共有C61C52C3360种分法再将这3组教师分配到3所中学，有A336种分法，故共有60×6360种不同的分法1局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以“m！”，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数2不均分问题，实质上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数简单地说，解不等分配题的一般原则：先分组后排列3整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数1将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其他三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_种(用数字作答)660解析：若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有C62C42A33种；若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有C63A33种则不同的分配方案共有C62C42A33+C63A33660种26本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)甲得一本，乙得二本，丙得三本；(2)平均分成三堆；(3)甲、乙、丙每人至少得一本解：(1)分成三堆的方法有C61C52C33种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法为C61C52C3360 (种)(2)6本不同的书平均分成三堆，有C62·C42·C223！15(种)分法(3)共计分为3类：按照4，1，1分，共有C61·C51·C44·390(种)方法；按照3，2，1分，共有C61·C52·C33·A33360(种)分法；按照2，2，2分，共有C62·C42·C2290(种)分法故共有9036090540(种)分法课时质量评价(五十六)A组全考点巩固练1现有甲、乙、丙三种树苗可供选择，分别种在一排五个坑中，要求相同的树苗不能相邻，第一、五坑内只能种甲种树苗，则不同的种法共有()A4种 B5种 C6种 D7种C解析：根据题意，分2种情况讨论：若二、四号坑种的树苗相同，则二、四号坑有2种选择，三号坑有2种选择，此时有2×24种种法，若二、四号坑种的树苗不同，则二、四号坑有2×12种选择，三号坑有1种选择，此时有2×12种种法则有426种不同的种法故选C2(2023·长沙模拟)为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有()A48种 B36种 C24种 D12种B解析：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步乘法计数原理，共有2×3×636(种)不同的选取方法故选B3A，B，C，D，E五人并排站成一排，若A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有()A24种 B36种 C48种 D60种A解析：根据题意，分2步进行分析：A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种排法；将AB整体与C，D，E全排列，有A4424种排法，则共有1×2424种排法故选A4(多选题)已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b，则下列说法正确的有()Aba表示不同的正数的个数是6Bba表示不同的比1小的数的个数是6C(a，b)表示x轴上方不同的点的个数是6D(a，b)表示y轴右侧不同的点的个数是6BC解析：对于选项A，若a，b均为正，共有2×24个，若a，b均为负，共有1×22个，但6342，所以共有5个，所以选项A错误；对于选项B，若ba为正，显然均比1大，所以只需ba为负即可，共有2×21×26(个)，所以选项B正确；对于选项C，要使(a，b)表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×36(个)，所以选项C正确；对于选项D，要使(a，b)表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×48(个)，所以选项D错误故选BC5冼太夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这4个景区均为广东茂名市的热门旅游景区现有5名学生决定于今年暑假前往这4个景区旅游若每个景区至少有1名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为()A120 B180 C240 D360C解析：根据题意，分2步进行分析：将5名学生分为4组，有C5210种分组方法；将分好的4组全排列，安排到4个景区旅游，有A4424种安排方法则共有10×24240种安排方法故选C6若把一句话“我喜欢数学”的汉字顺序写错了，则可能出现错误的情况共有_种119解析：根据题意，“我喜欢数学”五个字排成一排，有A55120种不同的顺序，其中正确的只有1种，则可能出现错误的情况有1201119种7高考期间，某校高三年级租用大巴车送考，原则上每班一辆车，但由于高三(1)班人数较多，坐满一辆车之后还余下7名同学现有高三(2)、(3)、(4)班的选考车辆分别剩余2，3，3个空位，要把这7名同学都安排到这三辆车中，则共有_种不同的安排方法560解析：根据题意，余下的7人坐车，还有8个空座位，可以看成7个人再加上一个空位，安排在8个空座位上的问题，有C82C63C33560种安排方法8有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数(1)甲、乙两人相邻；(2)丙、丁两人不相邻；(3)甲站在丙、丁两人的中间(未必相邻)解：(1)根据题意，将甲、乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有A22A7710 080(种)排法(2)根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A77种，则丙、丁两人不相邻的排法有A88A22A7730 240(种)(3)根据题意，将8人全排列，有A88种排法，甲、丙、丁三人的排法有A336(种)，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，则有甲站在丙、丁两人的中间有A22×A88A3313 440(种)B组新高考培优练9某校进行体育抽测，甲与乙两名同学都要在100 m跑、立定跳远、铅球、引体向上、三级跳远这5项运动中，选出3项进行测试假定他们对这五项运动没有偏好，则他们选择的结果中至少有两项相同运动的选法种数为()A70 B50 C30 D20A解析：根据题意，分2种情况讨论：他们选择的结果中有两项相同运动，有C53A3260种选法他们选择的结果中有三项相同运动，有C5310种选法，则共有601070种选法故选A10(多选题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是()A若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45B若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为A54C41C如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为C53C21+C52C32A33D每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A33AD解析：根据题意，依次分析选项：对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有C52A44种安排方法，B错误；对于C，分2步分析：需要先将5人分为3组，有C53C21A22+C52C32A22种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A33种情况，则有C53C21A22+C52C32A22A33种安排方法，C错误；对于D，分2种情况讨论：从丙，丁，戊中选出1人开车，从丙，丁，戊中选出2人开车，则有C31C42A33+C32A33种安排方法，D正确故选AD11(多选题)现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则()A排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5 400种B全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3 600种C全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种D全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1 440种BCD解析：根据题意，依次分析选项：对于A，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有C73A33A445 040种排法，A错误；对于B，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A663 600种排法，B正确；对于C，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44576种排法，C正确；对于D，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A531 440种排法，D正确12(2022·临沂三模)某社区需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有()A72种 B81种C144种 D192种D解析：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为A22A55240，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为A22A4448，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192(种)故选D13(2022·杭州模拟)某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A，B，C3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有_种(用数字作答)1 080解析：由题意可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生假设A医院分配的是2名医生1名护士，则B，C医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有C42C51C21C42360(种)，故不同的分配方案有360×31 080(种)14学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有_种36解析：根据题意，分2步进行分析：将6人分为3组，要求甲、乙不在同一组，有C62C42C22A33C42C22A2212种分组方法若甲所在的组在14日值班，有A222种安排方法；若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法则有3种值班安排方法故共有12×336种安排方法15现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，求共有多少种分法解：(1)根据题意，5本书完全相同，将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，则有C7221(种)不同的分法(2)根据题意，分2步进行分析：将5本书分成3组，若分成1，1，3的三组，有C53C21C11A2210(种)分组方法若分成1，2，2的三组，有C51C42C22A2215(种)分组方法，从而分组方法有101525(种)将分好的三组全排列，对应3名学生，有A336(种)情况，根据分步乘法计数原理，故共有25×6150(种)分法(3)记这5本书分别为A，A，B，C，D，5本书取其3本分配时，不含A时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法；仅含一个A时，分组的方法有C32种，再分配给3人，共有C32×A3318(种)方法；含两个A时，分组的方法有C31种，再分配给3人，共有C31×A3318(种)方法从而共有1818339(种)分法