2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节两个计数原理排列与组合.docx
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1、第一节两个计数原理、排列与组合考试要求:理解排列、组合的概念、排列数公式及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题一、教材概念结论性质重现1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有Nmn种不同的方法完成这件事共有Nmn种不同的方法两个计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都
2、完成了才算完成这件事2排列与组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义作为一组3排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数公式Anmn(n1)(n2)(nm1)n!nm!CnmAnmAmmnn1n2nm+1m!n!m!nm!性质Annn!,0!1CnmCnnm,Cnm+Cnm1Cn+1m(1)“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”取出元素后交换顺序,如果与顺序有关,则是排列;如果与顺序无关,则是组合(2
3、)排列数与组合数之间的联系:CnmAmmAnm两种形式:连乘积形式与阶乘形式前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证二、基本技能思想活动经验1判断下列说法的正误,对的画“”,错的画“”(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(5)若CnxCnm,则xm成立()2教学楼共有6层楼,每层都有南、北两个楼梯,从一楼到六楼的走法共有()A25种B52种C62种D26种A解析:根据题意,教学楼共有6层
4、,共5层楼梯,每层均有两个楼梯,即每层有2种走法,则一共有2222225种走法故选A3中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有()A30种B50种C60种D90种B解析:甲同学选择牛,乙有2种,丙有10种,选法有121020种,甲同学选择马,乙有3种,丙有10种,选法有131030种,所以总共有203050种故选B44位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修2门,
5、则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()A12种B24种C30种D36种B解析:由题意知本题是一个分步乘法计数问题因为恰有2人选修课程甲,共有C426种结果,所以选甲的两个人再选一门课程各有两种选法,共有224种结果,余下的两个人只有1种选法,根据分步乘法计数原理知共有64124种结果故选B5从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有_种(用数字作答)16解析:方法一:可分两种情况:第一种情况,只有1名女生入选,不同的选法有C21C4212(种);第二种情况,有2名女生入选,不同的选法有C22C414(种)根据分类加法计数原理知,至少有1名女生入选的不同的选
6、法共有12416(种)方法二:从6人中任选3人,不同的选法共有C6320(种)从6人中任选3人都是男生,不同的选法有C434(种)所以,至少有1名女生入选的不同的选法共有20416(种)考点1两个计数原理应用性1下图是某项工程的网络图(单位:天),则从开始节点到终止节点的路径共有()A14条B12条C9条D7条B解析:由图可知,由有3条路径,由有2条路径,由有2条路径,根据分步乘法计数原理可得从共有32212条路径故选B2用数字3,6,9组成四位数,各数位上的数字允许重复,且数字3至多出现一次,则可以组成的四位数的个数为()A81B48C36D24B解析:根据题意,数字3至多出现一次,分2种情
7、况讨论:数字3不出现,此时四位数的每个数位都可以为6或9,都有2种情况,则此时四位数有222216个;数字3出现1次,则数字3出现的情况有4种,剩下的三个数位,可以为6或9,都有2种情况,此时四位数有422232个,故有163248个四位数故选B3(2022威海模拟)已知一个不透明的袋子中放有编号分别为1,2,3,4,5,6,7的7个大小、形状相同的小球小明从袋子中有放回地取3次球,每次只取一个球,且3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数,则不同的取球方法种数为()A712B216C108D72C解析:根据3次取出的球的编号相乘的结果为偶数、相加的结果为奇数可知,有一次取出的球的
8、编号为奇数,2次取出的球的编号为偶数,先确定哪一次得到奇数号球,然后从4个奇数号球中取一个,再每次都从3个偶数号球中任取一个(有放回取球),故满足题意的取球方法有3433108(种)4现有5种不同颜色的染料,要对如图所示的四个不同区域进行涂色,要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是()A120B140C240D260 D解析:先涂A处共有5种涂法,再涂B处有4种涂法,最后涂C处,若C处与A处所涂颜色相同,则C处共有1种涂法,D处有4种涂法;若C处与A处所涂颜色不同,则C处有3种涂法,D处有3种涂法,由此可得不同的涂法方法有54(1433)260(种),故选D两个计数
9、原理的应用(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步:分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键;分步要做到“步骤完整”,步步相连才能将事件完成(2)较复杂的问题可借助图表来完成(3)对于涂色问题:分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素注意对每个区域逐一进行,分步处理考点2排列与组合综合性(1)(2022新高考卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有()A12种B24种C36种D48种B解析:因为丙、丁要在一起,先把丙、丁捆绑,看做一个元素,连同乙、戊看成三个元素排列,有3!种排列方式;为使甲不在两端,必须
10、且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙、丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有:3!2224(种)不同的排列方式故选B(2)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()A232B252C472D484C解析:分两类:第一类,含有1张红色卡片,不同的取法共有C41C122264(种);第二类,不含有红色卡片,不同的取法共有C1233C4322012208(种)由分类加法计数原理知,不同的取法有264208472(种)1有限制条件的排列问题的
11、常用方法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法2组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含有”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含有”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型:若直接法分类复杂时,可逆向思维,间接求解考点3分组分配问题综合性考向1整体均分问题
12、教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有_种不同的分派方法90解析:先把6个毕业生平均分成3组,有C62C42C22A33种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A336种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有C62C42C22A33A3390种分派方法解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数一般地,若为平均分组,则应用n个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列;若为不平均分组,则应按照实际情况分析重复排列的种数,然后再进行相应计算考向2部分均分问题将6本不同的书分给甲、乙
13、、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共有_种(用数字作答)1 560解析:把6本不同的书分成4组,每组至少1本的分法有2种有1组3本,其余3组每组1本,不同的分法共有C63C31C21C11A3320(种);有2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有C62C42A22C21C11A2245(种)所以不同的分组方法共有204565(种)然后把分好的4组书分给4个人,所以不同的分法共有65A441 560(种)考向3不等分问题(1)把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则不同的放法种数为()A35B70C165D1 860C解析:根据题意,分4种情况讨论:没有空盒,将8个
14、相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选3个,插入隔板,将小球分成4组,顺次对应4个盒子,有C7335种放法;有1个空盒,在4个盒中任选3个,放入小球,有C434种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选2个,插入隔板,将小球分成3组,顺次对应3个盒子,有C7221种分组方法,则有42184种放法;有2个空盒,在4个盒中任选2个,放入小球,有C426种选法,将8个相同的小球排成一列,排好后,各球之间共有7个空位,在7个空位中任选1个,插入隔板,将小球分成2组,顺次对应2个盒子,有C717种分组方法,则有6742种方法;有3个空盒,
15、即将8个小球全部放进1个盒子,有4种放法故一共有3584424165种放法(2)若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有_种不同的分法360解析:将6名教师分组,分三步完成:第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有C61种分法;第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C52种分法;第3步,余下的3名教师作为一组,有C33种分法根据分步乘法计数原理,共有C61C52C3360种分法再将这3组教师分配到3所中学,有A336种分法,故共有606360种不同的分法1局部均分问题,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以“m!”,一个分
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