【数学】圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体导学案-2023-2024学年高一下人教A版（2019）必修第二册.docx

课题：第八章 立体几何初步8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体班级 姓名一学习目标1 让学生了解一些常见的旋转体的概念，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程及结构特征。了解简单组合体的概念及构成的基本形式。通过旋转体的形成过程，培养学生的空间想象能力和直观感知能力，培养学生直观想象、数学抽象等数学核心素养，同时本节课也使得学生了解平面图形形成空间图形的过程，使得学生适应由平面到空间的过渡，清楚地了解平面图形和空间图形的关系，本节课是高中立体几何的基础。2 借助于实物，几何画板等信息技术，在圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程中，抽象出它们的组成要素，并描述旋转体的结构特征。通过观察，分析，类比能力，培养学生数学抽象等核心素养。能了解圆柱、圆锥、圆台的联系与区别。3对现实世界中的大多数物体，能说出它们是由哪些基本几何体以怎样的方式组合而成的。二问题与例题问题1：观察生活中的圆柱并思考该如何定义它呢? 用几何画板或者教学视频展示圆柱形成的过程，并让学生讨论在圆柱形成过程中的重要因素！归纳出圆柱的相关概念：圆柱及相关概念图形及表示定义以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱用表示它的轴的字母表示图中圆柱记作：圆柱OO相关概念轴： 叫做圆柱的轴；底面： 的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；侧面： 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；母线：无论旋转到什么位置， 的边都叫做圆柱侧面的母线（注：注重教材语言的描述，以上请同学们通读教材后自己完成填空，并用身边合适的东西演示其形成的过程！）问题2：观察生活中的圆锥并思考该如何定义它呢?用几何画板或者教学视频展示圆锥形成的过程，并让学生讨论在圆锥形成过程中的重要因素！归纳出圆锥的相关概念：圆锥及相关概念图形及表示定义以直角三角形的 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥用表示它的轴的字母表示图中圆锥记作： 相关概念轴： 叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的 叫做圆锥的底面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的 叫做圆锥的侧面；母线：无论旋转到什么位置， 的边都叫做圆锥侧面的母线问题3：观察生活中的圆台并思考该如何定义它呢?用几何画板或者教学视频展示圆台形成的过程，并让学生讨论在圆台形成过程中的重要因素！归纳出圆锥的相关概念：圆台及相关概念图形及表示定义用 于圆锥底面的平面去截圆锥， 与截面之间的部分叫做圆台；以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台轴：旋转轴叫做圆台的轴；用表示它的轴的字母表示图中圆台记作： 相关概念底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的 叫做圆台的底面；侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面；母线：无论旋转到什么位置， 的边叫做圆台的母线探究4：圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？请同学们思考？用几何画板或者教学视频展示圆台旋转形成的过程问题5：观察生活中的球并思考该如何定义它呢?用几何画板或者教学视频展示球形成的过程，并让学生讨论在球形成过程中的重要因素！归纳出球的相关概念：球及相关概念图形及表示定义 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球用表示球心的字母表示图中的球记作： 相关概念球心：半圆的 叫做球的球心；半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径问题6：现实生活中的物体表示的几何体，除柱体、椎体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体 请你说一说教材P103图8.1-14中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的并总结形成概念！(1)概念由 组合而成的几何体叫做简单组合体(2)两种构成形式由简单几何体 而成； 由简单几何体 一部分而成三 课堂新知运用教材练习展示 P105 第1，2，3，4，5题四 随堂测试（40分钟） 批改日期： 评价：一、单选题1用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（    ）A32BCD【答案】B【分析】利用圆柱的轴截面的面积求法求解.【详解】当圆柱的高时，所以圆柱的轴截面的面积为；当圆柱的高，所以圆柱的轴截面的面积为，故选：B2如图所示，下列四个几何体，其中判断正确的是（    ）  A是四棱台B是圆台C是棱锥D是四棱柱【答案】C【分析】根据几何体判断即可【详解】A选项：侧棱不交于一点，故不是四棱台，A错误；B选项：上下底面不平行，故不是圆台，B错误；C选项：是三棱锥，故C正确；D选项：是五棱柱，故D错误3如图，圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，其中，则该圆台的高为（    ）  A1BCD4【答案】C【分析】利用扇形的弧长公式结合已知条件求出圆台上、下底面圆的半径，在建立与圆台高的关系式求解即可.【详解】因为圆台的侧面展开图扇环的圆心角为，所以在圆锥中有：，所以，又在圆锥中有：，所以，所以该圆台的高为：，故选：C.4一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ）A圆柱B圆锥C圆台D球【答案】D【分析】根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断.【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意故选：D5球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ）ABCD【答案】C【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为，即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径，则，所以甲、乙两地的球心角为，故甲、乙两地的球面距离为.故选：C.6某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）  A该几何体的面是等边三角形或正方形B该几何体恰有12个面C该几何体恰有24条棱D该几何体恰有12个顶点【答案】B【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可.【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确故选：B二、填空题7以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为 （）【答案】或【分析】利用旋转体圆柱的特征直接求解即可.【详解】以长的边所在直线为旋转轴，即得圆柱的底面半径为，所以底面面积为；以宽的边所在直线为旋转轴，即得圆柱的底面半径为，所以底面面积为.故答案为：或8用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线 【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解.【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”.故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚.9已知圆锥的底面直径为8，高是3，则母线长为 .【答案】5【分析】根据勾股定理得到母线长.【详解】由题意得，由勾股定理得.故答案为：510已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 .【答案】【分析】设圆柱的高为，求得，进而得到圆锥的底面半径为，母线长为，结合圆锥的侧面展开图，即可求解.【详解】如图所示，设圆柱的高为，则，可得，因为，所以为的中位线，所以，则，即圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面展开图所得的扇形的弧长为，圆心角为，所以从点绕圆锥的侧面到点的最短距离为.故答案为：.11如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 .（填序号）    【答案】【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如所示；  当截面如下图不为轴截面时，截面图形如所示，下侧为抛物线的形状.  故答案为:.12如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为   【答案】 1【分析】求出圆柱的高，即可求解圆锥过轴的截面面积，通过比例关系求出圆柱的底面半径即可【详解】圆锥的高，圆锥过轴的截面面积为：；  设圆柱的底面半径，由相似知识可知，解得故答案为：；113一个棱长为2的正方体容器，将8个直径均为1的球放入容器内，容器正中央能放入的最大的球的直径为 【答案】/【分析】说明8个小球的位置关系, 利用正方体的中心与8个小球的中心的距离关系推出结果即可.【详解】将原正方体分为8个棱长为1的小正方体，则每个小正方体都有一个直径为1的球，原正方体的中心到小正方体的中心的距离为，又小正方体的中心到球表面的距离为，所以原正方体的中心到球的表面的最近距离为，所以正中央空间能放下的最大的球的直径为故答案为：.三、解答题14如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？【答案】详见解析.【分析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得.【详解】如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形，其中，分别为，的中点，在矩形中，连接，则；可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为.15圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为，求过两条母线的最大截面的面积【答案】答案见解析【分析】过圆锥的顶点的截面为等腰三角形，选顶角为自变量，建立目标函数，再求最值.【详解】如图，   轴截面中，过母线的截面为等腰三角形，设它的顶角为，则其面积为当时为增函数，当时为减函数，注意到过两条母线的所有截面中以轴截面的顶角为最大（1）当时，最大截面为轴截面，其最大面积为（2）当，时，截面积最大，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司