基于原对偶状态转移算法的分数阶多涡卷混沌系统辨识-王聪.pdf
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1、物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 6 (2016) 060503基于原对偶状态转移算法的分数阶多涡卷混沌系统辨识 王聪张宏立y(新疆大学电气工程学院,乌鲁木齐830047)(2015年11月1日收到; 2015年12月8日收到修改稿)未知分数阶混沌系统参数辨识问题可转化为函数优化问题,是实现分数阶混沌系统同步与控制的关键.结合正交学习机制和原对偶学习策略,提出一种原对偶状态转移算法,用于解决分数阶混沌系统的参数辨识问题.利用正交学习机制产生较优的初始种群增加算法的收敛能力,并引入原对偶操作增加状态在空间的搜索能力,提高算法的寻优性能.在有噪声和无噪声情况下以分数
2、阶多涡卷混沌系统的参数辨识为研究对象进行仿真.结果表明了该算法的有效性、鲁棒性和通用性.关键词:分数阶多涡卷混沌系统,参数辨识,原对偶状态转移算法,正交学习机制PACS: 05.45.Gg, 05.45.Pq DOI: 10.7498/aps.65.0605031引言作为一种典型的非线性系统,混沌理论的研究和应用在许多领域中受到了极大的关注,混沌现象被广泛应用到通信、经济、管理等领域.但以往的研究多是针对整数阶混沌系统,近年来,分数阶混沌系统的控制与同步研究受到越来越多的重视.由于分数阶的引入以及混沌系统本身的复杂性,使得对分数阶混沌系统参数的精确估计存在较大难度.因此根据观测到的数据确定混沌
3、系统模型的阶次和参数,是解决分数阶混沌系统控制与同步的关键问题,具有非常重要的研究意义.目前多是针对整数阶混沌系统的参数辨识,常用的辨识方法主要包括利用非线性模块化模型和利用群智能算法.利用非线性模块模型进行混沌系统辨识只需利用系统输入输出测量数据,而不需要知道确切的系统的内部结构.文献1提出一种基于Wiener模型自适应分段线性滤波器的超混沌系统辨识方法,线性和非线性部分分别采用线性和分段性滤波器表示,利用最小均方误差导出滤波器参数;文献2利用Hammerstein extreme learningmachine (Hammerstin-ELM) model进行混沌系统参数辨识,将ELM神经
4、网络代替模型的静态非线性函数,并利用广义的ELM算法进行参数的优化.群智能优化算法将混沌系统参数辨识问题转化为函数优化问题.张宏立和宋莉莉3提出量子粒子群算法(QPSO)对给定的混沌系统进行参数辨识;Hu和Yu4首先将分数阶混沌系统参数辨识问题转化为多维的函数优化问题,然后利用混合人工蜂群算法进行优化,解决了不确定分数阶混沌系统的参数辨识问题; Lin 5又将混合生物地理学算法用于辨识加入时间延迟参数的混沌系统参数; Li和Yin6将差分进化算法(DEA)与人工蜂群算法(ABC)相结合建立一种新型的混合算法,并用于混沌系统参数辨识; Li等7借助混沌局部搜索策略和引力搜索算法,提出了混沌引力搜
5、索算法(GSA)的混沌系统参数辨识方案.以上文献都是针对整数阶混沌系统提出的辨识方法,由于分数阶混沌系统的参数辨识问题的难度远大于整数阶系统,因此一般的控制模型和优化国家自然科学基金(批准号: 51575469)资助的课题.通信作者. E-mail: 2016中国物理学会Chinese Physical Society http:/060503-1物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 6 (2016) 060503方法很难得到精确的参数.黄宇等8将量子并行特性与粒子群算法(PSO)相结合,设计了一种新的量子编码方法,用于分数阶混沌系统的参数估计;Yuan等9利用粒
6、子群算法和主动控制理论实现了分数阶混沌系统的参数辨识和同步控制.为进一步解决复杂分数阶混沌系统的参数估计问题,本文提出一种原对偶状态转移算法(primal dual statetransition algorithm, PDSTA),并将其用于分数阶混沌系统的参数辨识,以分数阶多涡卷混沌系统的参数估计为研究对象,进行仿真和结果分析.分数阶多涡卷混沌系统参数辨识存在以下难点:1)与整数阶混沌系统相比,在分数阶的辨识中增加了分数阶混沌系统的求解以及分数阶次的辨识,增加了辨识参数的维数;2)与一般的分数阶混沌系统相比,分数阶多涡卷混沌系统含有复杂的非线性函数,增加了混沌系统的求解复杂性.仿真结果表明
7、, PDSTA在无噪声和有噪声情况下,均可以取得很好的辨识效果.2问题描述如下n维分数阶混沌系统:Dq0X = F(X;X0; 0); (1)其中, X = (x1;x2; ;xn)T 2 Rn表示原系统的n维状态变量, X0表示系统初值, q0 =(q01;q02; ;q0n)T表示原系统的分数阶阶次,0 = ( 01; 02; ; 0D)T为系统参数的真实值.将分数阶混沌系统的参数辨识转化为函数优化问题,假设参考系统如下:DqY = F(Y;X0; ) (2)其中, Y = (y1;y2; ;yn)T 2 Rn表示参考系统的n维状态变量, X0表示系统初值, q =(q1;q2; ;qn)
8、T表示参考系统的分数阶阶次,= ( 1; 2; ; D)T为参考系统的参数值.则分数阶混沌系统辨识原理图如图1所示.根据分数阶混沌系统的辨识可以看作一个多维连续优化问题,决策变量为q和 ,选取如下的适应度函数:minJ = 1NNi=1Xk Yk2; (3)其中, N表示状态变量序列的长度, Xk(k =1;2; ;N)表示混沌系统在其参数真实值下演化时系统的状态变量序列, Yk(k = 1;2; ;N)表示混沌系统在其参数辨识值下演化时系统的状态变量序列.V_ e-+x0 x1, , xny1, , ynDq0X=F(X, X0, 0)DqY=F(Y, X0, )图1分数阶混沌系统参数辨识原
9、理图Fig. 1. The principle of parameter estimation forfractional-order chaotic systems.由于混沌系统的动态行为,参数不易获取,又引入分数阶,使得参数更难获得,用传统的优化算法难以取得最优解,本文利用正交策略增加初始种群的多样性,并引入原对偶操作增加状态在空间的搜索能力,提出一种原对偶状态转移算法.3原对偶状态转移算法3.1基本状态转移算法状态转移算法(state transition algorithm,STA)是周晓君等10在2011年提出的,借鉴状态及状态转移的概念,将待优化问题的解理解为状态,优化算法的思想描
10、述为状态转移,则解待优化问题的过程便是一个状态转移过程.状态转移算法具有易于理解、参数少、算法结构简单等优点.定义如下的状态转移形式: 8,则当前状态(xk;f(xk)距离最佳状态较远,执行算法的外循环.所以, (X)是评价当前状态与最佳状态的指标.如果 (X)没有满足要求, xk会沿着执行方向按照一定的步长更新为新状态xk+1:xk+1 = xk + x: (11)其中 为设定的步长,步长过大会降低精度,步长过小会增加寻优时间.060503-3物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 6 (2016) 0605033.4原对偶状态转移算法本文将正交学习机制和原对偶机制
11、与状态转移算法相结合,通过正交学习机制产生初始群体,能有效地提高算法的整体收敛速度,而原对偶操作能保证群体的多样性,提高算法的寻优能力.原对偶状态转移算法主要步骤如下:步骤1设置算法相关的参数,利用正交学习机制产生初始群体;步骤2计算各状态的适应度值,记录当前所有状态对应的解和适应度值;步骤3按照(5)(8)式进行四种变换操作,进行状态的更新,记录适应度值并评价;步骤4确定最优状态的邻域,进行原对偶机制的操作,比较当前状态的适应度值和存储状态适应度值,若当前适应度值更优,则替换掉存储状态;步骤5若终止条件满足,则输出最优状态及其适应度值,否则转向步骤3.4基于原对偶状态转移算法的分数阶多涡卷参
12、数辨识4.1分数阶多涡卷混沌系统本文以分数阶多涡卷混沌系统为研究对象,进行分数阶多涡卷混沌系统的参数辨识.单方向偶数个多涡卷混沌系统的状态方程16如下:8:d xd = ay;d yd = bz;d zd = x y cz +F(x);F(x) = Asgn(x) +ANn=1sgn(x 2nA)+ANm=1sgn(x+ 2mA);(12)其中, a = 1, b = 1, c = 0.6为系统参数; F(x)为非线性函数; A为变量比例压缩系数,通过调节A可以改变涡卷的大小; 2 N+2为所要涡卷的数量.当; ; = 1时为整数阶多涡卷混沌系统,当 ; ; 为分数时,则多涡卷混沌系统则变为分
13、数阶混沌系统.图2为8涡卷仿真图.整数阶多涡卷混沌系统通常是在双涡卷混沌系统的基础上通过扩展其指标2的鞍焦平衡点产生.由(12)式可以看出,多涡卷混沌系统因含有非线性函数F(x),增加了该混沌系统的复杂性,使混沌系统的求解更为复杂,进一步增加了模型的复杂性.分数阶微积分把传统整数阶微积分的阶次推广到分数甚至复数领域,因而极大地拓展了传统微积分的概念.在分数阶多涡卷混沌系统的辨识问题中,不仅要辨识系统参数,还需辨识分数阶次,分数阶多涡卷混沌系统则进一步增加了分数阶混沌系统辨识的复杂性.4.2分数阶混沌系统的求解在分数阶混沌系统的参数辨识中,其分数阶微分方程的求解方法的选择也是辨识中的一个关键技术
14、.常采用四阶龙格库塔算法进行求解,本文采用一种新的求解分数阶微分方程的Radau IIA方法17.考虑非线性分数阶微分方程初值问题:80; t 2 0;T: (14)为了构造求解问题(13)式的数值方法,引入定义4.定义4如果y(t)在0;T上l 1次连续可微,且y(l)(t)在区间0;T上可积,则Riemann-Liouville分数阶导数18和Caputo分数阶导数18间的关系为0D t y(t) = C0 D t y(t) +l 1k=0tk yk(0)(k + 1); (15)其中, l 1 :d xd = ay;d yd = bz;d zd = y cz +F(x);(18)其中,
15、a = 1, b = 1, c = 0:6是系统参数, x;y;z为系统的状态变量.当 ; ; = 1时为整数阶双涡卷Jerk混沌系统19;20,当 ; ; = 0:9时,分数阶Jerk系统呈现混沌现象21.待辨识的参数为 ; ; ;a;b;c,在本文算法中,设定最大迭代次数为200,种群大小为50,各待辨识参数搜索范围设置如下: 0 6a6 5, 0 6b6 5,0 6 c 6 2, 0:2 6 ; ; 6 1,状态转移算法的四个常数因子设置为1,间歇性交流频率为5.将在有噪声和无噪声情况下PDSTA得到的辨识结果和STA, PSO的计算结果相比较,并进行分析.4.4无噪声参数辨识将PDST
16、A, STA和PSO算法都独立运行20次,得到其平均结果、最好结果、最差结果和平均仿真时间的统计信息,见表1.由表1可以看出, PDSTA和STA的结果都更接近真实值,无论最好结果、平均结果还是最差结果都明显优于PSO算法. PDSTA的参数估计与STA相比更为精确,最优值的精度达到10 17数量级,且最差值得精度也达到10 6数量级.从仿真时间看, PSO平均运行一次的时间达到231.4 s,是STA和PDSTA的3倍以上. PDSTA与STA平均运行一次的时间都在70 s左右,且PDSTA的仿真时间比STA少了1 s.以上分析表明,在无噪声干扰的情况下, PDSTA具有非常好的搜索性能,比
17、基本的STA算法具有更高的精度和收敛速度.为了进一步验证算法的有效性,图3,图4和图5给出了目标函数和各参数的进化曲线图.060503-5物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 65, No. 6 (2016) 060503表1无噪声时各算法辨识结果Table 1. Statistical results from the three algorithms with no noise.算法a b c J t/s真值1.0000 1.0000 0.6000 0.9000 0.9000 0.9000 最优PSO 1.0011 0.9998 0.5998 0.9002 0.8998 0.9
18、001 2:13 10 4 STA 0.9996 1.0001 0.5999 0.9001 0.9000 0.9001 1:19 10 6 PDSTA 1.0000 1.0000 0.6000 0.9000 0.9000 0.9000 3:12 10 17 平均PSO 1.0017 0.9984 0.6012 0.9021 0.8974 0.8817 3:21 10 3 231.4STA 1.0009 1.0011 0.6013 0.8984 0.9020 0.8912 6:12 10 4 71.2PDSTA 1.0003 1.0005 0.5997 0.9009 0.8989 0.9013
19、2:17 10 7 70.3最差PSO 1.2101 0.9762 0.6132 1.0001 0.9789 0.8164 4:02 10 1 STA 0.9769 0.9871 0.5831 0.9781 0.8243 0.9437 1:23 10 2 PDSTA 0.9934 1.0034 0.5956 0.9056 0.8912 0.9243 5:77 10 6 0 50 100 150 20000.010.020.030.040.050.060.070.080.09=S,f_JPDSTASTAPSO图3无噪声时目标函数进化曲线Fig. 3. The convergence proces
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