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1、8.2 一元线性回归模型及其应用(精讲)思维导图常见考法考点一 样本中心解小题【例1】(2021江西赣州市)某产品在某零售摊位上的零售价(元)与每天的销售量(个)统计如下表:16171819503431据上表可得回归直线方程为,则上表中的的值为( )A38B39C40D41【答案】D【解析】由题意,所以,解得故选:D【一隅三反】1(2021江西景德镇市景德镇一中)随机变量与的数据如表中所列,其中缺少了一个数值,已知关于的线性回归方程为,则缺少的数值为( )234565679A6B6.6C7.5D8【答案】A【解析】设缺少的数值为,由于回归方程为过样本中心点,且,代入,所以,解得.故选:A.2(
2、2021河南信阳市)根据如下样本数据:2345642.5得到的回归方程为,则( )A,B,C,D,【答案】B【解析】由图表中的数据可得,变量随着的增大而减小,则,又回归方程经过点,可得,故选:B3(2021安徽六安市六安一中)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率(每分钟鸣叫的次数)与气温(单位:)存在着较强的线性相关关系某地观测人员根据下表的观测数据,建立了关于的线性回归方程.(次数/分钟)则当蟋蟀每分钟鸣叫次时,该地当时的气温预报值为( )ABCD【答案】D【解析】由表格中的数据可得,由于回归直线过样本中心点,可得,解得.所以,回归直线方程为.在回归直线方程中,令,可
3、得.故选:D.考点二 一元线性方程【例2】(2021兴义市第二高级中学)在2010年春节期间,某市物价部门,对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查,五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:价格x99.51010.511销售量y1110865通过分析,发现销售量y对商品的价格x具有线性相关关系,求(1)销售量y对商品的价格x的回归直线方程;(2)若使销售量为12,则价格应定为多少.附:在回归直线中,【答案】(1) (2) 8.75【解析】(1)由题意知,线性回归方程是;(2)令,可得,预测销售量为12件时的售价是8.75元【一隅三反】1(2020河南开封市)配速是
4、马拉松运动中常使用的一个概念,是速度的一种,是指每公里所需要的时间,相比配速,把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率(单位:次/分钟)和配速(单位:分钟/公里)的散点图,图2是一次马拉松比赛(全程约42公里)前3000名跑者成绩(单位:分钟)的频率分布直方图.(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,求与的线性回归方程;(2)该跑者如果参加本次比赛,将心率控制在160左右跑完全程,估计他跑完全程花费的时间,并估计他能获得的名次.参考公式:线性回归方程中,参考数据:.【答案】(1);(2)210分钟,192名【解析】(1)由散点图中数据和参考
5、数据得,所以与的线性回归方程为.(2)将代入回归方程得,所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为分钟.从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为,有的跑者成绩超过该跑者,则该跑者在本次比赛获得的名次大约是名.2(2020云南红河哈尼族彝族自治州)随着电商事业的快速发展,网络购物交易额也快速提升,特别是每年的“双十一”,天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节,加班加点做了大量准备活动,截止2020年11月11日24时,2020年的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元,天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜,同时又对2021年充满
6、了憧憬,因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值),进行分析统计如下表:年份2014201520162017201820192020年份代码()1234567总交易额(单位:百亿)5.79.112.116.821.326.837(1)通过分析,发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系,请用相关系数加以说明;(2)利用最小二乘法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1),预测2021年天猫“双十一”的总交易额.参考数据:,;参考公式:相关系数;回归方程中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.【答案】(1)答案见解析;(2)回归方程为,预测202
7、1年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.【解析】(1),所以因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为0.98,说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强,从而可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系.(2)因为,所以,所以y关于t的回归方程为又将2021年对应的代入回归方程得:.所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.3(2021湖北省武昌实验中学高二期末)根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数r并加以说明(
8、若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);(2)求y关于x的回归方程,并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少?附:相关系数公式参考数据:,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,【答案】(1)0.95;答案见解析;(2);610千克.【解析】(1)由已知数据可得,所以,所以相关系数因为,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系(2),所以回归方程为当时,即当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为610千克考点三 非一元线性方程【例3】(2020全国高二课时练习)在一次抽样调查中测得个样本点,得到下表及散点图(1)根据散点图判断与哪一个适宜
9、作为关于的回归方程;(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果试建立与的回归方程;(计算结果保留整数)(3)在(2)的条件下,设且,试求的最小值参考公式:回归方程中,.【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)由题中散点图可以判断,适宜作为关于的回归方程;(2)令,则,原数据变为由表可知与近似具有线性相关关系,计算得,所以,则所以关于的回归方程是(3)由(2)得,任取、,且,即,可得,因为,则,所以,所以,函数在区间上单调递增,则.【一隅三反】1(2020江苏省如皋中学高二月考)某种新产品投放市场一段时间后,经过调研获得了时间x(天数)与销售单价y(元)的一组数据,且做了一定
10、的数据处理(如表),并作出了散点图(如图).表中.(1)根据散点图判断,与哪一个更适合作价格y关于时间x的回归方程类型?(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程.(3)若该产品的日销售量(件)与时间x的函数关系为,求该产品投放市场第几天的销售额最高?最高为多少元?附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.【答案】(1)更适合作价格y关于时间x的回归方程;(2);(3)第10天,最高销售额为2420元;【解析】(1)根据散点图知更适合作价格y关于时间x的回归方程类型;(2)令,则,而,即有;(3)由题意结合(2)知:日销售额为,若,令,时,即天,
11、元,所以该产品投放市场第10天的销售额最高,最高销售额为2420元.2(2021江苏苏州市)我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额(单位:亿元)对年盈利额(单位:亿元)的影响,研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析,建立了两个函数模型:,其中,均为常数,为自然对数的底数令,经计算得如下数据:262156526805.36112501302.612(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?(2)()根据(1)的选择及表中数据,建立关于的回归方程;(系数精确到0.01)()若希望2021年盈利额为250亿元,请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元?(结果精确到0.01)附:相关系数,回归直线中:,参考数据:,【答案】(1)模型的拟合程度更好;(2)();()27.56.【解析】(1)设和的相关系数为,和的相关系数为,由题意,则,因此从相关系数的角度,模型的拟合程度更好(2)()先建立关于的线性回归方程,由,得,即,所以关于的线性回归方程为,所以,则()2021年盈利额(亿元),所以,则,因为,所以所以2021年的研发资金投入量约为27.56亿元 13 / 13
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