2022年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .pdf
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1、全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5 分,共 20 分)1计算()ln(1)d d1Dyxyxx yxy_,其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域. 2设)(xf是连续函数,且满足220( )3( )d2f xxf xx,则( )f x_. 3曲面2222xzy平行平面022zyx的切平面方程是_. 4设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定,其中f具有二阶导数,且1f,则22ddxy_. 二、 (5 分) 求极限xenxxxxneee)(lim20,其中n是给定的正整数. 三、 (15 分)设函数)(xf连
2、续,10( )()g xf xt dt,且Axxfx)(lim0,A为常数, 求( )g x 并讨论)(xg在0 x处的连续性 . 四、 (15 分)已知平面区域0,0|),(yxyxD,L为D的正向边界, 试证:(1)LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin;(2)2sinsin25ddLyyxyeyxe. 五、 (10 分) 已知xxexey21,xxexey2,xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程. 六、 (10 分) 设抛物线cbxaxyln22过原点 .当10 x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积
3、为31.试确定cba,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 V 最小 . 七、 (15 分) 已知)(xun满足1( )( )1,2,nxnnuxuxxen,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和 . 八、 (10 分) 求1x时,与02nnx等价的无穷大量. 20XX 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、 (25 分,每小题5 分)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - - (1)设22(1)(1)(1)n
4、nxaaa,其中| 1,a求lim.nnx(2)求21lim1xxxex. (3)设0s,求0(1,2,)sxnnIex dx n. (4)设函数( )f t有二阶连续导数,221,( , )rxyg x yfr,求2222ggxy. (5)求直线10:0 xylz与直线2213:421xyzl的距离 . 二、 (15 分)设函数( )f x 在(,)上具有二阶导数,并且( )0fx, lim( )0 xfx,lim( )0 xfx,且存在一点0 x,使得0()0f x. 证明: 方程( )0f x在 (,)恰有两个实根 . 三、( 15 分)设函数( )yf x由参数方程22(1)( )xt
5、ttyt所确定,且22d3d4(1)yxt,其中( ) t具有二阶导数,曲线( )yt 与22132tuyedue在1t出相切,求函数( ) t. 四、 (15 分)设10,nnnkkaSa,证明:(1)当1时,级数1nnnaS收敛;(2)当1且()nsn时,级数1nnnaS发散 . 五、 (15 分)设l是过原点、方向为( , ), (其中2221)的直线,均匀椭球2222221xyzabc(其中0cba,密度为 1)绕l旋转 . (1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向( , )的最大值和最小值. 六、 (15 分)设函数( )x具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,
6、曲线积分422d( )d0Lxy xxyxy的值为常数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - - (1)设L为正向闭曲线22(2)1xy,证明422d( )d0Lxy xxyxy;(2)求函数( )x;(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422d( )dCxy xxyxy. 20XX 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、计算下列各题(本题共3 小题,每小题各5 分,共 15 分)(1)求11 cos0sinli
7、mxxxx;(2).求111lim.12nnnnn;精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - - (3)已知2ln 1arctanttxeyte,求22ddyx. 二、 (本题 10 分)求方程24 d1 d0 xyxxyy的通解 . 三、 (本题 15 分)设函数( )f x 在0 x的某邻域内具有二阶连续导数,且0 ,0 ,0fff均不为 0,证明:存在唯一一组实数123,k kk ,使得12320230lim0hk fhk fhk fh
8、fh. 四、 (本题 17 分)设2221222:1xyzabc,其中0abc,2222: zxy ,为1与2的交线,求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值. 五、( 本题 16 分) 已知 S是空间曲线22310 xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z)(取上侧),是 S在( , , )P x y z 点处的切平面,( , , )x y z 是原点到切平面的距离,, ,表示 S的正法向的方向余弦. 计算:(1)d, ,SzSx y z; (2)3dSzxyzS六、 (本题12 分)设( )f x 是在 (,)内的可微函数,且( )( )fxmf x ,其中01m,任取实数
9、0a ,定义1ln(),1,2,.nnaf an,证明:11()nnnaa绝对收敛 . 七、( 本题 15 分) 是否存在区间0,2 上的连续可微函数( )fx , 满足(0)(2)1ff,( )1fx,20( )d1f xx?请说明理由 . 20XX 年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、 (本大题共5 小题,每小题6 分,共 30 分)解答下列各题(要求写出重要步骤). (1)求极限21lim( !)nnn. (2)求通过直线2320:55430 xyzlxyz的两个互相垂直的平面1和2,使其中一个平面过精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
10、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - - 点 (4 ,3,1) . (3)已知函数( ,)ax byzu xy e,且20ux y. 确定常数a和 b ,使函数(,)zz xy 满足方程20zzzzx yxy. (4)设函数( )uu x 连续可微,(2)1u,且3(2 ) d() dLxy u xxuu y在右半平面与路径无关,求( ,)u xy . (5)求极限13sinlimdcosxxxtxttt. 二、 (本题 10 分)计算20sindxexx . 三、 (本题 10 分)求方程21sin2501
11、xxx的近似解,精确到0.001. 四、(本题12 分)设函数( )yf x 二阶可导,且( )0fx,(0)0f,(0)0f,求330( )lim( )sinxx f uf xu,其中u是曲线( )yf x 上点( ,( )P xf x处的切线在x轴上的截距 . 五 、 ( 本 题12分 ) 求 最 小 实 数 C , 使 得 满 足10() d1fxx的 连 续 函 数( )f x都 有10()fx dxC . 六、 (本题 12 分)设( )f x 为连续函数,0t. 区域是由抛物面22zxy 和球面2222xyzt(0)z所围起来的部分. 定义三重积分222( )()dF tf xyz
12、v ,求( )F t 的导数( )Ft . 七、 (本题 14 分)设1nna 与1nnb 为正项级数,证明:(1)若111lim0nnnnnaabb,则级数1nna 收敛;(2)若111lim0nnnnnaabb,且级数1nnb 发散,则级数1nna 发散 . 20XX 年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、解答下列各题(每小题6 分,共 24 分,要求写出重要步骤)1. 求极限2lim 1sin14nnn. 2. 证明广义积分0sindxxx不是绝对收敛的. 3. 设函数( )yy x 由323322xx yy确定,求( )y x 的极值 . 精品资料 - - - 欢迎下载
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