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1、恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题;这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜;感觉题型变化无常,没有一个固定的思想 方法去处理,始终困扰着同学,感到不知如何下手;在此为了更好的精确地把握快速解 决这类问题,本文通过举例说明这类问题的一些常规处理;一、函数法(一)构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决27对于一次函数f xkxbk0, x m, n 有:f x0恒成立k0k0或f m0;f x0恒成立f m0f m0f n0f n0f n0例 1 如不等式 2 x1mx 2m 对满意2m2 的全部 m 都成立, 求
2、x 的范 围;解析:将不等式化为:2m x1 2x10 ,构造一次型函数:gm x21) m 2x1原命题等价于对满意2m2 的 m,使g m0 恒成立;由函数图象是一条线段,知应g 202x 212 x10g 202 x212 x1017x13,所以 x 的范畴是 x17 , 13解得 ;2222小结:解题的关键是将看来是解关于x的不等式问题转化为以m 为变量, x 为参数的一次函数恒成立问题,再利用一次函数的图象或单调性解题;练习 :1如不等式 ax10 对 x1,2恒成立,求实数 a 的取值范畴;(2)对于 0p4 的一切实数,不等式 x 2px4 xp3 恒成立,求 x 的取值范畴;(
3、答案:或)(二)构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决;对于二次函数f xax 2bxc0a0 有:( 1)f x0在xR 上恒成立a0且0;( 2)f x0在xR 上恒成立a0且0( 3)当 a0 时,如f x0在, 上恒成立b2 a或bb2 a或2 af 00f 0如 f x0在, 上恒成立f 0f 0( 4)当 a0时,如f x0在, 上恒成立f 0f 0如 f x0在, 上恒成立b2 a或bb2 a或2 af 00f 0例 2 如关于 x的二次 不等式:ax2a1 xa10 的解集为 R ,求 a的取值范畴 .解:由题意知,要使原不等式的解集为R ,即对一切实数
4、x原不等式都成立;a0a0a0只须0a124aa103a22a10a0a1或a111a. a 的取值范畴是,333说明 :1、此题如无 “ 二次不等式” 的条件, 仍应考虑 a0 的情形, 但对此题讲 a0时式子不恒成立;2、只有定义在 R上的恒二次不等式才能实施判别式法;否就,易造成失解;练习: 1、 已知函数 ymx26mxm8 的定义域为 R,求实数 m 的取值范畴;(答案 0m1 )2、已知函数f xx22kx2 在1, 时 f xk 恒成立,求实数 k 的取值范畴;(答案3k1)提示: 构造一个新函数F xf xk 是解题的关键,再利用二次函数的图象性质进行分类争论,使问题得到圆满解
5、决;(三)、利用函数的最值分别参数法或值域法如在等式或不等式中显现两个变量,其中一个变量的范畴已知,另一个变量的范畴为所求,且简单通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分别参变量 , 就可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解;留意参数的端点值能否取到需检验;类型一: “ af x ”型一、(恒成立)( 1) xD , f xm 恒成立f xminm ;( 2)xD, f xm 恒成立mf xmax ;二、(能成立、有解) :( 1) xD , f xm 能成立mf x在D 内有解f xmaxm ;( 2) xD , f xm 能成立mf x在D内有解mf x min ;三、(恰成立
6、)( 1)不等式 fx( 2)不等式 fxA 在区间 D 上恰成立不等式 fx B 在区间 D 上恰成立不等式 fxA 的解集为 D ;B 的解集为 D .四、(方程有解)方程 mf x在某个区间上有解,只需求出f x 在区间上的值域 A 使 mA ;12xa4 x例 3:设f xlg,3其中 aR ,假如 x.1时,f x 恒有意义,求 a的取值范畴;解:假如 x.1 时,f x 恒有意义不等式 12 xa 4 x0 对 x,1 恒12xx2x成立ax22 , x4.1恒成立;令 t2 x ,g t t2t ,又 x.1 ,就 t1 ,2agt 对 t1, 恒成立,又2Q gt 在t1, 上
7、为减函数,2gt max133g,a244例 4:如关于 x的不等式 x 2axa3 的解集不是空集,就实数a 的取值范畴;解:设f xx2axa . 就关于x 的不等 式 x 2axa3 的解集 不是空 集f x3 在 R 上能成立f xmin3 ,即 f x min4 aa 243 ,解得 a6或a22例 5 不等式kx 2k20 有解,求 k 的取值范畴;解 : 不 等 式kxk20 有 解k x212 能 成 立2k2能 成 立x1k2x2 max12 , 所以 k,2 ;|x|例 6( 2022 年上海)已知函数f x 2x 1 如不等式 2t2f 2t+ m f t 0 对于 t
8、1, 2 恒成立,求实数 m 的取值范畴解:此题可通过变量分别来解决当 t1,2 时,2t 2 2t122t m2t1 02t2t即 m212 4t1 , 22t10 , m2 2t1 t1,2 ,22t117,5故 m 的取值范畴是 5,xxx例 7(1990 年全国)设 f为xlg 123n1 xnn x a,其中 a 为实数, n任意给定的自然数,且n2 ,假如 f x 当 x,1 时有意义,求 a 的取值范畴解:此题即为对于 x, 1 ,有 1x2xn1 xnx a0 恒成立这里有三种元素交错在一起,结构复杂,难以下手,如考虑到求a 的范畴,可先将 a分别出来,得a1 x2 x n1
9、x n2) ,对于 x, 1 恒成立nnn构 造 函 数 g x1 x2 xn1 x , 就 问 题 转 化 为 求 函 数 g x 在nnnx,1上 的 值 域 , 由 于 函 数 u xk x1, 2 , n1在 knx,1 上是单调增函数,就 g x 在 ,1 上为单调增函数于是有g x 的最大值为 g11 n21 ,从而可得 a1 n21 如何在区间 D 上求函数 fx的最大值或者最小值问题, 我们可以通过习题的实际, 实行合理有效的方法进行求解, 通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x)的最值类型二:“
10、fxg x ”型(1) xD, fxg x恒成立f x的图象恒在g x的图象的上方f x ming xmax xD恒成立hxf xgx0恒成立;例 8 已知 fx=lgx+1, gx=lg2x+t,如当 x0,1时, fx gx 恒成立, 求实数 t 的取值范畴 .解 fx gx在x0,1恒 成 立 , 即在x0,1恒 成 立在0,1上的最大值小于或等于零.令,.x0,1,Fx 0,即 Fx 在0,1上单调递减, F0 是最大值 .fx F0=1 - t 0,即 t 1.类型三:“ fx1g x2 ”型(恒成立和能成立交叉) :( 1)x1D,x2E, f x1g x2 成立f x1 ming
11、 x2 f x1 ming x2 f x1 ming xmin;例 9 已知两个函数f x8 x216 xk, g x2 x35 x 24 x ,其中 k 为实数;( 1)对任意 x3,3,都有f xg x 成立,求 k 的取值范畴;( 2)存在 x3,3 ,使f xg x 成立,求 k 的取值范畴;( 3)对任意x1, x23,3,都有f x1g x2 ,求 k 的取值范畴;解析:( 1)设hxg xf x2 x33 x212 xk 问题转化为 x3,3 时,hx0 恒成立,故h x min0 ;令h x6 x 26 x120 ,得 x1或x2 ;由 h17k, h220k, h 3k45,
12、 h3k9 ,故h xmin45k由 k450k45;( 2)据 题 意 : 存 在 x3,3 , 使f xg x 成 立hxg xf x0 在x3,3有解,故h xmax0 ,由( 1)知h x maxk7 ,于是得 k7 ;( 3)分析:它与(1 )问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区分;对任意x1, x23,3,都有f x1g x2成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,x1, x2的取值在3,3上具有任意性,因而要使原不等式恒成立的充要条件是:f xmaxg x min , x3,3 ,由 g x6 x210x40 ,得 x1或x2,易得3g xming 321 ,又 f x8
13、x128k , x3,3 .故 f xmaxf 3120k ,令 120k21k141;例 10:( 2022 山东)已知函数f xlnxax1a1 aR .x 当 a1时,争论2f x 的单调性;()设g x2x2bx4. 当 a1时,如对任意x140, 2,存在 x21,2 ,使f x1g x2 ,求实数 b 取值范畴 .解析: 当 a0 时,函数f x 在 0,1 单调递减, 1, 单调递增;当 a1 时2x1x2 , h x0 恒成立,此时f x0 ,函数f x 在0, 单调递减;当 0a11时,函数2f x 在 0,1 单调递减,1,1a1 单调递增,1, 单调递减 .a()当 a1
14、 时, f4x 在( 0, 1)上是减函数,在( 1, 2)上是增函数,所以对任意 x10, 2 ,有f x11f 1-,2又已知存在 x1,2,使 f x g x ,所以1g x ,x1,2,()2又 gx xb 24b 2 , x122221,2当 b1时,gxming 152b0 与()冲突;当 b1,2 时,gxming 14b 20 也与()冲突;当 b2 时,g xming 284b117, b.综上,实数 b 的取值范畴是2817 , .8例 11 已知函数,如对任意x1 ,x2-2,2,都有fx 1 gx 2 ,求 c 的范畴 .解 由于对任意的 x1, x2-2,2,都有 f
15、x 1 gx 2 成立,fxmax gxmin.2f x=x-2x-3 ,令 f x 0 得 x 3 或 x -1 ;f x 0 得-1 x 3.fx 在 -2,-1为增函数,在 -1,2为减函数 .f -1=3 , f2=-6,fxmax=3. .c -24.类型四: “f x1fxf x2 ”型例 12:已知函数,如对任意 xR,都有 fx 1 fx fx2 成立,就|x 1-x 2| 的最小值为解 对任意 .xR,不等式fx 1 fx fx2 恒成立,fx 1 , fx2 分别是 fx的最小值和最大值.对于函数 y=sinx ,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是,即半个周期.又函数的
16、周期为 4,|x 1-x 2| 的最小值为 2.2类型五:x例 13 2005湖北 在 y=2, y=log 2 x, y=x, y=cosx 这四个函数中,当0 x 1x 2 1 时,使恒成立的函数的个数是A.0B.1C.2D.3解 此题实质就是考察函数的凸凹性,即满意条件的函数, 应是凸函数的性质,画草图即知y=log 2x 符合题意 .类型六: . “0”型例 14 已知函数 fx定义域为 -1,1, f1=1,如 m,n-1,1,m+n0 时,都有取值范畴 .2,如 fx t-2at+1对全部 x-1,1,a-1,1恒成立,求实数 t 的解 任取- 1x1 x21,就.由已知 0,又
17、x 1-x 20,fx 1-fx2 0,即 fx在-1,1上为增函数 .f1=1 ,x-1,1,恒有 fx 1.2要使 fx t -2at+1对全部 x-1,1,a-1,1恒成立,即要 t成立,2- 2at+1 1恒2故 t - 2at 0恒成立 .2令 ga=t-2at ,只须 g- 1 0且 g1 0,解得 t -2 或 t=0 或 t 2.评注 形如不等式“0”或“0”恒成立,实际上是函数的单调性的另一种表现形式,在解题时要留意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.类型七:“ |fx1 fx 2| tt为常数 ”型43例 15 已知函数 fx=-x+2x ,就对任意 t 1,t 2-,2t1
18、t 2 都有|fx1-fx2| 恒成立,当且仅当t 1= , t 2= 时取等号 .解 由于|fx1-fx2| |fxmax-fxmin| 恒成立,由,x-,2 ,易求得,.|fx1-fx2| 2.类型八:“ |fx1-fx2| |x 1-x 2| ”型3例 16 已知函数 fx=x+ax+b,对于 x 1,x 20,x 1x2 时总有 |fx1-fx2| |x 1-x 2| 成立,求实数 a 的范畴 .解 由 fx=x3+ax+b,2得 f x=3x+a,当 x0, 时, af x 1+a.|fx1-fx2| |x 1-x 2| ,- 1a0.评注 由导数的几何意义知道,函数y=fx图像上任
19、意两点 Px 1,y 1 , Qx 2,y 2 连线的斜率x 1x2 的取值范畴, 就是曲线上任一点切线的斜率 假如有的话 的范畴,利用这个结论,可以解决形如|fx1-fx2| m|x 1-x 2| 或|fx1 -fx2| m|x 1-x 2|m 0 型的不等式恒成立问题.(四)数形结合法数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明白数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用;我们知道,函数图象和不等式有着亲密的联系 ,对一些不能把数放在一侧的,可以利用构造对应两个函数的图象法求解;1) fxg x函数 fx 图象恒在函数g x 图象上方;2) fxgx
20、函数 f x 图象恒在函数g x图象下上方;例 17 已知 a的取值范畴;0, a1, fxx2a x ,当x1,1时, 有f x1 恒成立2,求实数 a解析: 由f xx2a x1 ,得x221a x ,构造出两个函数并在同始终角坐21标 系 中 作 出 它 们 的 图 象 , 如 果 两 个 函 数 分 别 在 x1和x1 处 相 交 , 就 由1212a及1 212a得到 a 分别等于 2 和 0.5 ,并作出函数 y2 x 及y 1 x2的图象,所以,要想使函数x21 a x2在区间 x 1,1 中恒成立, 只须y2x 在区间 x1,1对应的图象在yx 21在区间 x2 1,1对应图象
21、的上面即可;当a1时,只有 aa12 才 能 保 证 , 而 0a1时,只有 a1才 可 以 , 所 以2,121,2 ;24例 18 设f xx4x ,g xx1a , 如恒有3f xg x 成立, 求实数 a的取值范畴 .分析:在同始终角坐标系中作出f x及 g xy的图象如下列图,f x的图象是半圆 x22y 24 y0-2gx 的图象是平行的直线系4 x3 y3 3a0 ;要使 f xg x 恒成立,-4-4O x就圆心 2,0 到直线 4x3 y33a0 的距离满意d833a25解得 a5或a5(舍去 3练习:如对任意 xR, 不等式 xax 恒成立,求实数 a 的取值范畴;1a1练
22、习:1、已知二次函数满意f 01 ,而且f x1f x2 x ,请解决以下问题( 1)求二次函数的解析式;f xx2x1( 2)如( 3)如( 4)如f x2 xm 在区间 1,1上恒成立 ,求 m 的取值范畴; ,1 f x2 xm 在区间 1,1上恒成立 ,求 m 的取值范畴;1,5f x2 xm 在区间 1,1上有解 ,求 m 的取值范畴; ,52、已知函数 f xx2a x x0, aR ,如 fx 在区间 2,是增函数,求实数 a 的取值范畴;答案:3、已知函数 fa16 xln x1 ax 222 xa0 存在单调递减区间,求a 的取值范畴;答案: 1,00,4、已知函数f x 的
23、值域 0,4 x2,2,函数g xax1, x2,2 ,x12, 2,x02, 2 使得gx0f x1 成立,就实数 a 的取值范畴是;答: ,55 U, ;225、已知函数f x =x2, x2, 2 ,g xa 2 sin2 x3a, x0, ,x12, 2 , 总 x00, 使得 g x02f x1 62成 立 , 就 实 数 a 的 取 值 范 围是答: ,4 U6,1、 x1,2 ,1 x22ln xa0 ,就实数 a 的取值范畴是.分析x1,2 , 1 x22ln xa0x1,2 , a1 x 2ln x .2 x1,2 时,f x1 x 22ln x 递增,其值域为 1 ,22ln 2 ,1 a22、 x.1, , 1 x22ln xa0 ,就实数 a 的取值范畴是.分析x1, , 1 x 22ln xa0x1, , a1 x 22ln x . x1, 时,函数f x1 x22ln x 递增,其值域为 1 , ,2 a.3、 x1,2 ,1 x 22ln xa0 ,就实数 a 的取值范畴是.分析x1,2 ,1 x 22ln xa0x1,2 , a1 x 22ln x . x1,2 时,f x1 x 22ln x递增,其值域为 1 ,22ln 2 , a2ln 2 .小结当函数f x 的最值 不存在 时的“恒成立”和“有解”问题该如何处理?
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