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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 姓名同学姓学习必备欢迎下载苏填写时间名学科教材版本数学年级阶段观看期 :第()周保护期 本人课时统第()课时计共()课时课题名称恒成立存在性问题课时方案第()课时上课时间2022.08. 共()课时同步教学学问内教学目标容 个性化学习问题解决教学难点教学过程学问点梳理设计意第 1 页,共 7 页图1 、 恒 成 立 问 题 的 转 化 :afx恒 成 立afxmax;afx恒成立afxmin2 、 能 成 立 问 题 的 转 化 :afx能 成 立afxmin;afx能成立afxmax3 、 恰 成 立 问 题 的 转 化 : afx在 M 上
2、 恰 成 立afx 的 解 集 为Mafx在M上恒成立afx在C M上恒成立另一转化方法:如xD,fxA在 D上恰成立,等价于fx在 D上的最小值fminxA,如xD,fxB在 D上恰成立,就等价于fx在 D上的最大值fmaxxB. 4 、 设 函 数fx、gx, 对 任 意 的x 1a,b, 存 在x 2c,d, 使 得名师归纳总结 fx 1gx2,就fminxgminx5 、 设 函 数fx、gx, 对 任 意 的x 1a,b, 存 在x 2c,d, 使 得fx 1gx2,就fmaxxgmaxx6、设函数fx、gx,存在x 1a,b,存在x2c,d,使得fx 1gx2,就fmaxxgmin
3、x7、设函数fx、gx,存在x 1a,b,存在x2c,d,使得fx1gx2,就fminxgmaxx8、如不等式 fxg x 在区间 D上恒成立,就等价于在区间D上函数 yfx和图象在函数yg x 图象上方;9、如不等式 fxg x 在区间 D上恒成立,就等价于在区间D上函数 yfx和图象在函数yg x 图象下方;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例题讲解:题型一、常见方法1、已知函数fxx22ax1,gx a,其中a0,x0x1)对任意x,12 ,都有fxgx a 的取值范畴;恒成立,求实数2)对任意x 1,12,x22 ,4,都有f
4、x 1gx2恒成立,求实数a 的取值范围;2、设函数 h x a x b,对任意 a 1, 2 ,都有 h x 10 在 x 1 1, 恒x 2 4成立,求实数 b 的取值范畴x3、已知两函数 f x x 2,g x 1m,对任意 1x 0 , 2,存在 x 2 ,1 2,2使得 f x 1 g x 2,就实数 m的取值范畴为题型二、主参换位法 已知某个参数的范畴,整理成关于这个参数的函数 1、对于满意 p 2 的全部实数 p, 求使不等式 x 2px 1 p 2 x 恒成立的 x 的取值范畴;2、已知函数f x lnexa a为常数)是实数集 R 上的奇函数, 函数g xf x sinx是区
5、间1,1 上的减函数,1,1上恒成立,求t 的取值范畴; 求 a 的值; 如g x t2t1 在x题型三、分别参数法(欲求某个参数的范畴,就把这个参数分别出来)1、当 x 1,2 时,不等式 x 2 mx 4 0 恒成立,就m 的取值范畴是 . 题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、如对任意 x R, 不等式| x | ax 恒成立,就实数 a 的取值范畴是 _ 2、已知函数 f x x 2 kx 2,在 x 1 恒有f x k ,求实数 k 的取值范畴;2题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法如在区间D 上存在实数x 使不等式xffxxA 成立 , 就
6、等价于在区间D 上1a2fxmaxA;B 成立 , 就等价于在区间D 上的如在区间D 上存在实数x 使不等式fxminB . 3a 有解,就实数a 的取值范畴为1、存在实数x ,使得不等式x3_;2、已知函数fxlnx1ax 22x a0存在单调递减区间,求a 的取值范2围小结:恒成立与有解的区分恒成立和有解是有明显区分的,以下充要条件应细心摸索,甄别差异, 恰当使用,等价转化,切不行混为一体;不等式fxM 对 xI 时恒成立fmax M., xI ;即 fx 的上界小于或等于 M ;不等式fxM 对 xI 时有解fmin M., xI ; 或 fx 的下界小于或等于M ;不等式fxM 对 x
7、I 时恒成立fmin M., xI ;即 fx 的下界大于或等于 M ;不等式fxM 对 xI 时有解fmax M , xI . ; 或 fx 的上界大于或等于M;名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题型一、常见方法1、已知函数fxx22ax1,gx a,其中a0,x0x1)对任意x,12 ,都有fxgx a 的取值范畴;恒成立,求实数2)对任意x 1,12,x22 ,4,都有fx 1gx2恒成立,求实数a 的取值范围;【分析:】1)思路、等价转化为函数 f x g x 0 恒成立,在通过分别变量,创
8、设新函数求最值解决2)思路、对在不同区间内的两个函数 f x 和 g x 分别求最值,即只需满意f min x g max x 即可3 3简解:(1)由 x 22 ax 1 a0 a x2 x成立,只需满意 x x2 xx 2 x 1 2 x 1的最小值大于 a 即可对 x 2 xx 32 x1 求导, x 2 x2 4x 2 x 21 2 10,故 x 在 x 1 2, 是 增 函 数 ,minx 1 2, 所 以a 的 取 值 范 围 是320 a32、设函数 h x a x b,对任意 a 1, 2 ,都有 h x 10 在 x 11, 恒x 2 4成立,求实数 b 的取值范畴分析:思路
9、、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数以本题为例,实质仍是通过函数求最值解决名师归纳总结 方法 1:化归最值,hx10hmaxx10;第 3 页,共 7 页方法 2:变量分别,b10ax 或ax2 10bx;x方法 3:变更主元,a 1axb100,a1,2x2简解:方法1:对hxgxxbaxb求导,xhx 1a xa xa ,2 x2 x由此可知,hx在11,上的最大值为h1与h1 中的较大者44h 1 4104 aa1bb10b39a4 a,对于任意a1,2 ,得 b 的取值范4410110b2h 19围是b743、已知两函数fxx2,gx 1xm,对任意1x0 ,2,存在
10、x2,12,2使得fx 1gx2,就实数 m的取值范畴为解 析 : 对 任 意x1,02, 存 在x2,12, 使 得fx1gx2等 价 于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载xg x 1 m 在 ,1 2 上的最小值 1 m 不大于 f x x 2在 0 2, 上的最小2 4值 0,既 1m 0,m 14 4题型二、主参换位法 已知某个参数的范畴,整理成关于这个参数的函数 1、对于满意 p 2 的全部实数 p, 求使不等式 x 2px 1 p 2 x 恒成立的 x 的取值范畴;2 2解:不等式即 x 1 p x 2 x 1 0 , 设
11、 f p x 1 p x 2 x 1,就f p 在 -2,2 上 恒 大 于 0,故 有:f 2 0 x 24 x 3 0 x 3 或 x 1f 2 0 x 21 0 x 1 或 x 1 x 1 或 x 32、已知函数 f x ln exa a为常数)是实数集 R 上的奇函数, 函数 g x f x sin x是区间 1,1 上的减函数, 求 a 的值; 如 g x t t 1 在 x 1,1 上恒成立,2求 t 的取值范畴; 分析:在不等式中显现了两个字母:一个变量,另一个作为常数;明显可将及 t , 关键在于该把哪个字母看成是 视作自变量,就上述问题即可转化为在, 1 内关于的一次函数大于
12、等于0 恒成立的问题; 略解:由 知:yy|x|f x x,g x xsinx,g x 在11,上单调递减,g x cosx0cosx在1 1上恒成立,1,g x maxg 1sin1,只需sin1t2t1,t1t2sin110( 其 中1 ) 恒 成 立 , 由 上 述 结 论 : 可 令ft1t2sin1101), 就t1t21010,t2t10,而tsin1tsin1t2tsin10恒成立,t1;y|x|yaxO yaxx题型三、分别参数法(欲求某个参数的范畴,就把这个参数分别出来)1、当x1,2时,不等式x2mx40恒成立,就m 的取值范畴是 . 解析 : 当x1,2时,由x2mx40
13、得mx2x4. m5. 题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、如对任意 xR, 不等式|x|ax 恒成立,就实数a 的取值范畴是 _ 解 析 : 对xR , 不 等 式|x|ax 恒 成 立 、 就 由 一 次 函 数 性 质 及 图 像 知1a1,即1a1;2、已知函数fxx22 kx2,在x1恒有fxk ,求实数k 的取值范畴;分析:为了使fxk 在x1,恒成立,构造一个新函数Fxfxk ,就把原题转化成左边二次函数在区间1,时恒大于等于0 的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类争论,使问题得到圆满解决;解:令F xfxkx22kx2k ,就F x0对x1,恒
14、成立, 而F x是开口向上的抛物线;名师归纳总结 当图象与x 轴无交点满意0 ,即4 k22 2k0,解得2k1;第 4 页,共 7 页当图象与x 轴有交点,且在x1,时F x0,就由二次函数根与系数的分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载布学问及图象可得:0F10解得3k2,故由知3k1;2k1ax2bxc a0大于 0 恒成立,就有a0,同理,如二次2小结:如二次函数y0函数yax2bxc a0小于 0 恒成立,就有a0;如是二次函数在指定区间上0的恒成立问题,仍可以利用韦达定理以及根与系数的分布学问求解;题型五、不等式能成立问题(
15、有解、存在性)的处理方法如在区间D 上存在实数x 使不等式xffxxA 成立 , 就等价于在区间D 上fxmaxA;B 成立 , 就等价于在区间D 上的如在区间D 上存在实数x 使不等式1a2fxminB . 3a 有解,就实数a 的取值范畴为1、存在实数x ,使得不等式x3_;解:设fxx3x1,由fx2 a3 a 有解,2 a3 afxmin,a 的取值范又x3x1x3x14,a23 a4,解得a4 或a1;2、已知函数fxlnx1ax22x a0存在单调递减区间,求2围,所以解:因为函数fx存在单调递减区间fx1ax2ax22x10xx. 0,有解 . 即a12x0,能成立 , 设u x
16、12x2xx2x由u x121121 得 , u minx1. 于是 ,a1, x 2xx由题设a0, 所以 a 的取值范畴是,10,0小结:恒成立与有解的区分:恒成立和有解是有明显区分的,以下充要条件应细心摸索,甄别差异, 恰当使用,等价转化,切不行混为一体;不等式fxM 对 xI 时恒成立fmax M., xI ;即 fx 的上界小于或等于M;不等式fxM 对 xI 时有解fmin M., xI ; 或 fx 的下界小于或等于M ;fxM 对 xI 时恒成立fmin M., xI ;即 fx 的下界大于或等不等式于M;不等式fxM 对 xI 时有解fmax M , xI . ; 或 fx
17、的上界大于或等于M;名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载练习 : 1. 已知两函数fx7 x228xc ,g x2 x34 x240x ;(1)对任意x3,3,都有fxg x 成立,求实数c 的取值范畴;(2)存在x3,3,使fxg x 成立,求实数c 的取值范畴;(3)对任意x 1,x23,3,都有fx 1g x 2,求实数c的取值范畴;(4)存在x 1,x23,3,都有fx 1g x2,求实数c的取值范畴;2. 设函数f x 13 x2 2 ax2 3 a xb0a1,bR . 3名师归纳总结 ()求函数fx 的单调区间和极值;fxa 成立,求 a 的取值范畴;第 6 页,共 7 页()如对任意的xa,1a2,不等式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 已 知A 、 B 、 C是 直 线学习必备欢迎下载上 的 三 点 , 向 量 OA , OB , OC 满 足 :名师归纳总结 OAy2f1OBlnx1OC0. 3时,x1,1及b1,1都恒成立,第 7 页,共 7 页(1)求函数 y fx的表达式;2x(2)如 x0,证明: fxx2;(3)如不等式1x2fx2m22 bm2求实数 m的取值范畴- - - - - - -
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