题型五 二次函数与几何图形综合题.doc
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1、. .目录题型五二次函数与几何图形综合题2类型一与特殊三角形形状有关2类型二与特殊四边形形状有关8类型三与三角形相似有关18类型四与图形面积函数关系式、最值有关23类型五与线段、周长最值有关29题型五 二次函数与几何图形综合题类型一 与特殊三角形形状有关针对演练1. (16原创)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1,与y轴的交点第1题图C为(0,3),与x轴交于点A、B,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)求A、B、D的坐标,并确定四边形ABDC的面积;(3)点P是x轴上的动点,连接CP,若CBP是等腰三角形,求点P的坐标.2. (15XX模拟)如图,抛物线y=ax2+bx
2、+c的图象过点M(-2,),顶点为N(-1,),与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.(1)求抛物线解析式;(2)判断ABC的形状,并说明理由;(3)若点Q是抛物线对称轴上一点,当QBC是直角三角形时,求点Q的坐标.3. (16原创)如图,抛物线y = -x2+mx+n与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,其对称轴与x轴的交点为D,已知A(-1,0),C(0,2).(1)求抛物线的解析式;(2)判断ACD的形状,并说明理由;(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形,若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.4. 如图,已知二次函数L1:y
3、=x2-4x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.(1)写出A、B两点的坐标;(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k0),顶点为P.直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;是否存在实数k,使ABP为等边三角形?如果存在,请求出k的值;如不存在,请说明理由;若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否会发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.答案1. 解:(1)抛物线y =-x2+bx+c的对称轴为,解得b=2,抛物线过点C(0,3),c=3,抛物线解析式为y=-x2+2x+3;(2)由抛物线y=-x2+2
4、x+3,令y=0得,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,点A(-1,0),点B(3,0),当x=1时,y=-12+2+3=4,点D的坐标为(1,4).如解图,过D作DMAB于M,则OM=1,DM=4,S四边形ABDC=SAOC+S四边形OMDC+SBMD=AOOC+(OC+MD)OM+BMDM=13+(3+4)1+42=9.(3)设点P的坐标为(t,0),则PC2=t2+32,PB2=(3-t)2,BC2=32+32=18,若PBC是等腰三角形,则有PC2=PB2,即t2+9=(3-t)2,解得t=0,此时点P的坐标为(0,0);PC2=BC2,则t2+9=18,解得t=3(舍)或
5、t=-3,此时点P的坐标为(-3,0);PB2=BC2则(3-t)2=18,解得t=3+或t=3-,此时点P的坐标为(3+,0)或(3-,0).2.解:(1)由抛物线的顶点为N(-1, ),故设抛物线的顶点式为y=a(x+1)2+,将点M(-2, )代入解析式得,a(-2+1)2+=3,解得a =,抛物线的解析式为y = - (x+1)2+.即y=x2x+.(2)对于抛物线y=x2-x+,令y=0,得x2-x +=0,解得x1=1,x2=-3,点A(1,0),点B(-3,0),令抛物线x=0,得y=,点C的坐标为(0,).AB2=42=16,AC2=12+()2=4,BC2=32+()2=12
6、,AB2=AC2+BC2,ABC是直角三角形.(3)由抛物线顶点N(-1,)知抛物线的对称轴为x=-1,设点Q的坐标为(-1,t),则BQ2=(-3+1)2+t2=4+t2,CQ2=(-1)2+(t-)2=t2-t+4,BC2=12.要使BQC是直角三角形,() 当BQC90,则BQ2+QC2=BC2,即4+t2+t2-t+4=12,解得t1=+,t2=-,此时点Q的坐标为(-1,+)或(-1,-);()当QBC90,则BQ2+BC2=QC2,即4+t2+12=t2-t+4,解得t=-,此时点Q的坐标为(-1,-);()当BCQ=90时,则QC2+BC2=BQ2,即t2-t+4+12=4+t2
7、,解得t=,此时点Q的坐标为(-1,).综上,当QBC是直角三角形时,点Q坐标为(-1,),(-1,)3.解:(1)点A(-1,0),C(0,2)在抛物线上,解得抛物线解析式为y=-x2+x+2;(2)ACD是等腰三角形.理由:抛物线y=-x2+x+2的对称轴为直线x=,点D(,0),A(-1,0),C(0,2),AC=,AD=1+=,CD=,AD=CDAC,ACD是等腰三角形;(3)令抛物线y=-x2+x+2=0,得x1=-1,x2=4,点B的坐标为(4,0),则BC=,取BC的中点为S,则点S的坐标为(2,1);设点P(,t),则PS=BC=,即(2-)2+(t-1)2=5,解得t1=1+
8、,t2=1-,存在这样的点P,其坐标为(,1+)或(,1-).4. 解:(1)当y=0时,x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,即:A(1,0),B(3,0); (2) 二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质:()对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标都为2;()都经过A(1,0),B(3,0)两点;存在实数k,使ABP为等边三角形.y=kx2-4kx+3k=k(x-2)2-k,顶点P(2,-k).A(1,0),B(3,0),AB = 2,要使ABP为等边三角形,必满足|-k|=3,k=3;线段EF的长度不会发生变化.直线y=8k与抛物线L2交于点E、F两点,kx2-4kx+3k=8k,k0
9、,x2-4x+3=8,x1=-1,x2=5,EF =x2-x1=6,线段EF的长度不会发生变化且EF6.类型二 与特殊四边形形状有关针对演练1. 抛物线y=x2+bx+c经过A(0,2),B(3,2)两点,点D在x轴的正半轴.(1)求抛物线与x轴的交点坐标;(2)若点C为抛物线与x轴的交点,是否存在点D,使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由.2. 如图,已知平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=-x2+bx+c(c0)的顶点D在第二象限,与y轴的交点为C,过点C作CAx轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使AC =2BC,连接OA
10、,OB,BD和AD.(1)若点A的坐标为(-4,4),求抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,求直线BD的解析式;(3)是否存在b、c使得四边形AOBD是矩形,若存在,直接写出b与c的关系式;若不存在,说明理由.3. 如图,已知直线y =x+8与x轴交于点A,与y轴交于点B,C是线段AB的中点,抛物线y=ax2+bx+c(a0)过O、A两点,且其顶点的纵坐标为.(1)分别写出A、B、C三点的坐标;(2)求抛物线的函数解析式;(3)在抛物线上是否存在点P,使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形?若存在,求所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.4. (15XX16分)如图,抛物线yx
11、2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,顶点M关于x轴的对称点是M.第4题图(1)求抛物线的解析式;(2)若直线AM与此抛物线的另一个交点为C,求CAB的面积;(3)是否存在过A、B两点的抛物线,其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ为正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.5. (15黄冈14分)如图,在矩形OABC中,OA5,AB4,点D为边AB上一点,将BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.(1)求OE的长;(2)求经过O,D,C三点的抛物线的解析式;(3)一动点P从点
12、C出发,沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;(4)若点N在(2)中的抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.答案1. 解:(1)把A(0,2),B(3,2)代入y=x2+bx+c,得,解得,抛物线的解析式为:y=x2-3x+2,当y=0时,x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0).(2)
13、存在.理由:A(0,2),B(3,2),ABx轴,且AB=3,要使A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形,则只要CD=AB=3.当C点坐标为(1,0)时,D坐标为(4,0);当C点坐标为(2,0)时,D坐标为(5,0).存在点D,使以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形,D点的坐标为(4,0)或(5,0).2.解:(1)CAx轴,点A的坐标为(-4,4),点C的坐标为(0,4),将点A与点C代入y=-x2+bx+c得,解得,抛物线的解析式为y=-x2-4x+4;(2)AC=2BC,BC=2,点B的坐标为(2,4),由抛物线y=-x2-4x+4得顶点D的坐标为(-2,8),设直线B
14、D的解析式为y=kx+m,则,解得,直线BD的解析式为y=-x+6.(3)存在,b与c的关系式为b=-c.【解法提示】点C的坐标为(0,c),抛物线的对称轴为x=0,即b0,ACx轴,点A的坐标为(b,c),AC=2BC,点B的坐标为(-,c),则AB的中点坐标为(,c),若四边形AOBD是矩形,则需OD的中点坐标为(,c);OD=AB,由得点D的坐标为(,2c),由得()2=()2+(2c)2,整理得2c2=b2,c0,b0,b=-c.3.解:(1)令y=0,即-x+8=0,得x=6,A点坐标为(6,0),令x=0,则y=8,B点坐标为(0,8),C点坐标为(3,4).(2)点C在抛物线的对
15、称轴上,抛物线顶点坐标为(3,-).依题意有,解得,抛物线的函数解析式为;(3)存在.AOB90,A(6,0)、B(0,8),,C是AB的中点,OC=AB=BC=5,OB=8,OBOC,且OBBC,当以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形时,OB是菱形的对角线,连接PC,则OB是PC的垂直平分线,点P与点C关于y轴对称,C(3,4),P(-3,4),把点P(-3,4)代入抛物线解析式得:当x-3时,y(-3)2-(-3)4,点P(-3,4)在抛物线上.故在抛物线上存在点P,使以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形,且点P的坐标是(-3,4).4.解:(1)抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,
16、0),抛物线的解析式为y(x+1)(x-3)x2-2x-3;(4分)(2)抛物线yx2-2x-3=(x-1)2-4,点M的坐标为(1,-4).点M与点M关于x轴对称,点M的坐标为(1,4),(6分)设直线AM的解析式为y=kx+m,将点A(-1,0),点M(1,4)代入得,解得,直线AM的解析式为y2x+2,(8分)将直线AM与抛物线yx2-2x-3联立得,解得,点C的坐标为(5,12),(10分)又AB=3-(-1)4,SCAB=41224. (12分)(3)四边形APBQ是正方形,PQ垂直且平分AB,且PQ=AB,设PQ与x轴交点为N,则PN=AB2,抛物线的对称轴为x1,点P的坐标为(1
17、,2)或(1,-2). (13分)设过A、B两点的抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),将点(1,2)代入得a=-,此时抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+x+;(15分)将点(1,-2)代入得a=,此时抛物线解析式为.(16分)5.解:(1)四边形OABC为矩形,BCOA5,OCAB4,COA90,又CED是BCD沿直线CD折叠得到的,点B的对应点为点E,CEBC5,在RtCOE中,OE 2CE 2-OC 2,OE ,OE3. (2分)(2)设AD =m,则DE=BD=4-m.OE3,AEOA-OE5-32.在RtADE中,AD2+AE 2=DE 2,即m 2+22=(4
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