海伦公式的证明(精选多篇).doc
《海伦公式的证明(精选多篇).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《海伦公式的证明(精选多篇).doc(17页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、海伦公式的证明(精选多篇)第一篇:海伦公式的证明与海伦在他的著作 metrica (度量论)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c,则余弦定理为cosc = (a2+b2-c2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*(1-cos2 c)=1/2*ab*1-(a2+b2-c2)2/4a2*b2=1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2)2=1/4*(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2=1/4*(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设p=(
2、a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以,三角形abc面积s=p(p-a)(p-b)(p-c)第二篇:海伦公式的几种证明与推广海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式海伦公式herons formula:假设有一个三角形,边长分别为a,b,c,,三角形的面积s可由以下公式求得:s?(p?a)(p?b)(p?c),而公式里的p?1
3、2(a?b?c),称为半周长。图1c海伦公式又译希伦公式,传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morris kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮,结构工整,有多种变形,如:s=p(p?a)(p?b)(p?c)222=141414(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a2=14(a?b
4、)?cc144ab22?(a?b)22?b22?c2?2ab)?(a22?b42?c42?2ab)4=?(a2?b?c)222ab2?2ac2?2bc22?a?b?c12absinc和余弦定理教课书中并以习题形式出现,给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s?121212c2?a2?b2?2abcosc的证明过程:s?absinc=ab1?cosnc=2ab1?(a2?b2?c22ab)2下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式,中国古代的天元术发展水平非常高,笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中,利用了解方程的方法,因此海伦公式可以作如下推证,从三角形
5、最基本的面积公式s?abc?12aha入手,利用勾股定理,布列方程组求高。如图2,b图2c?x2?y2?c2222?2a?c?b22在abc中,ad为边bc上的高,根据勾股定理,有?x?z?b解方程,得y?,2a?y?z?a?z?a?b?c2a,x?c?y?c?(a?c?b2a)?12a4ac22?(a?c?b)下略。在求22高的方法上,我们也可以用斯特瓦尔特定理,根据斯氏定理,abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定:abad?dc?ac?bd?ad?bc?bd?dc?bc,等式改写为?ab?dcbc?ac?bdbc?bc?dcbc?bdbcaa22而当点d是顶点a的正射影
6、时,有bddc?abcosbaccosc?c?b22?b?c22,利用比例的性质,变形得bdbc?a?c22?b2a,dcbc?a?b22?c2a,代入即求出高ad。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式,容易证明下列三角恒等式:若a+b+c =180那么abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1,222222zzc图3如图3,在abc中,内切圆o的半径是r,则tana2?rx, tanb2?ry,tanc2?rz,代入恒等式tana2?tanb2+tana2?tanc2+tanb2?tanc2=1,得rxy?rxz?ryz?1,两边同乘xyz,有等式r(x?y?z)?xy
7、z?又,b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x ,所以,x?z?a?b?cb?c?a,同理y?a?c?b,。?于是abc的面积s?12(a?b?c)r=12(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r=(x?y?z)r=14,把、式代入,即得s?(x?y?z)xyz(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系,我们不禁会类比猜想(更多请关注北京:生活读书新知三联书店,202*:142 王林全初等几何研究教程m广州:暨南大学出版社,第三篇:海伦公式海伦公式与海伦在他的著作 metrica (度量论)中的原始证明不同,在此我们用三角
8、公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c,则余弦定理为下述推导1cosc = (a2+b2-c2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*(1-cos2 c)=1/2*ab*1-(a2+b2-c2)2/4a2*b2=1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2)2=1/4*(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2=1/4*(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+
9、b-c)/2,上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以,三角形abc面积s=p(p-a)(p-b)(p-c)证明中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在九章算术中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术
10、”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以q=1/4a2*c2-(a2+c2-b2)/2 2当p=1时, 2=q,=1/4a2*c2-(a2+c2-b2)/2 2因式分解得 2=1/44a2c2-(a2+c2-b2)2=1/4(c+a) 2-b 2b 2-(c-a) 2=1/4(c+a+b)(c+a-b)(
11、b+c-a)(b-c+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/42p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得:s=p(p-a)(p-b)(p-c)其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦秦九韶公式”。s=1/4a2*c2-(a2+c2-b2)/2 2 .其中c b a.根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:已知四边形abcd为圆的内接四边形,且ab=bc=4,cd=2,da=6,求四边形abcd的面积这里用海伦公式的推广s圆内接四边形= 根
12、号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)代入解得s=8 3证明在abc中a、b、c对应边a、b、co为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2)=rr=(p-a)tana/2=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2 r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2)=(p-a)+(p-b)+(p-c)tana/2tanb/2tanc/2=pt
13、ana/2tanb/2tanc/2=rp2r2tana/2tanb/2tanc/2=pr3s2=p2r2=(pr3)/(tana/2tanb/2tanc/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)s=p(p-a)(p-b)(p-c)第四篇:求三角形面积海伦公式证明:海伦公式:若abc的三边长为a、b、c,则sabc=(abc)(abc)(abc)(abc)/4(这是海伦公式的变形,“负号“”从a左则向右经过a、b、c”,负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期!我觉得这么记更简单,还设个什么l=(a+b=c)/2啊,多此一举!)证明:设边c上的高为 h,则有(a2h2)(b2h2)=c(a2h2)=c(b
14、2h2)两边平方,化简得:2c(b2h2)=b2+c2-a2两边平方,化简得:h=(b2-(b2+c2-a2)2/(4c2)sabc=ch/2=c(b2-(b2+c2-a2)2/(4c2)/2仔细化简一下,得:sabc=(abc)(abc)(abc)(abc)/4用三角函数证明!证明:sabc=absinc/2=ab(1-(cosc)2)/2(1)cosc=(a2+b2-c2)/(2ab)代入(1)式,(仔细)化简得:sabc=(abc)(abc)(abc)(abc)/4第五篇:公式及证明初中数学几何定理1。同角(或等角)的余角相等。 2。对顶角相等。 3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
15、内角之和。 4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。5。同位角相等,两直线平行。 6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 7。直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。12。菱形性质:四条边相等、对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。13。正方形的四个角都是直角,四条边相等。两条对角线相等
16、,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。14。在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等,那么它们所对应的其余各对量都相等。 15。垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对弧。平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。17。相似三角形对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。18圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角。19。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。20。切线的性质定理经过圆
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 海伦 公式 证明 精选
限制150内