华东师大版初中数学电子教材-第19章-全等三角形(共31页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上19 全等三角形219.1 命题与定理21命题22公理、定理319.2 三角形全等的判定41全等三角形的判定条件42边角边63角边角84边边边105斜边直角边12阅读材料1519.3 尺规作图161作一条线段等于已知线段162作一个角等于已知角163作已知角的平分线174经过一已知点作已知直线的垂线175作已知线段的垂直平分线19阅读材料2019.4 逆命题与逆定理211互逆命题与互逆定理212等腰三角形的判定223角平分线244线段垂直平分线25小结28复习题29课题学习3019 全等三角形你玩过拼图游戏吗?那是用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美丽的图画.那些拼板有
2、不少是形状相同、大小一样的.它们相互之间有什么关系?发挥你的智慧,想想看!19.1 命题与定理1.命题思 考我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于180”、“等腰三角形的两个底角相等”等根据我们学过的图形特性,试判断下列句子是否正确(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;(2)两直线平行,同位角相等;(3)同旁内角相等,两直线平行;(4)平行四边形的对角线相等;(5)直角都相等根据已有的知识可以判断出句子(1)、(2)、(5)是正确的,句子(3)、(4)是错误的像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题(proposition)正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题在数
3、学中,许多命题是由题设(或已知条件)、结论两部分组成的题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项这样的命题常可写成“如果,那么”的形式用“如果”开始的部分就是题设,而用“那么”开始的部分就是结论例如,在命题(1)中,“两个角是对顶角”是题设,“这两个角相等”是结论有的命题的题设与结论不十分明显,将它写成“如果,那么”的形式,也可分清它的题设与结论例如,命题(5)可写成“如果两个角是直角,那么这两个角相等”例1把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果,那么”的形式,并分别指出命题的题设与结论解这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是等边三角形”这个命题的题设
4、是“一个三角形的三个角都相等”,结论是“这个三角形是等边三角形”要判断一个命题是真命题,可以用逻辑推理的方法加以论证;而要判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不成立,即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了在数学中,这种方法称为“举反例”例如,要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题,只需举出一个反例“某一锐角与某一钝角的和不是180”即可练习1把下列命题改写成“如果,那么”的形式,并指出它的题设和结论(1)全等三角形的对应边相等;(2)平行四边形的对边相等2指出下列命题中的真命题和假命题(1)同位角相等,两直线平行;(2)多边形的内角和等于1
5、802公理、定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理(axioms)我们已经知道下列命题是真命题:一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;全等三角形的对应边、对应角分别相等在本书中我们将这些真命题均作为公理数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理(theorem)例如,有了“三角形的内角和等于180”这条定理后,我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关
6、系的命题:直角三角形的两个锐角互余已知:如图19.1.1,在RtABC中,C90.求证:AB90证明ABC180(三角形的内角和等于180),又C90,AB90此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据练习1把下列定理改写成“如果,那么”的形式,指出它的题设和结论,并用逻辑推理的方法证明题(1):(1)同旁内角互补,两直线平行;(2)三角形的外角和等于3602判断命题“内错角相等”是真命题还是假命题,并说明理由习题19.11判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,举一个反例加以证明(
7、1)两个锐角的和等于直角;(2)两条直线被第三条直线所截,同位角相等(第3题)2把下列命题改成“如果,那么”的形式(1)全等三角形的对应边相等;(2)菱形的对角线相互垂直;(3)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形3试证明“如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行”即,已知:如图,ABMN,CDMN,垂足分别为E、F求证:ABCD(第3题)19.2 三角形全等的判定1.全等三角形的判定条件我们知道:若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等,则这两个三角形全等.那么能否减少一些条件,找到更为简便的判定三角形全等的方法?显然由于三角形的内角和等于180,如果两个角分别对应相等,那么另一
8、个角必然也相等这样,若两个三角形的三条边、两个角分别对应相等,则这两个三角形仍然全等能否再减少一些条件?对两个三角形来说,六个元素(三条边、三个角)中至少要有几个元素分别对应相等,两个三角形才会全等呢?1.我们从最简单的开始,如果只知道两个三角形有一组对应相等的元素(边或角),这两个三角形一定全等吗?(1)如果只知道两个三角形有一个角对应相等,那么这两个三角形全等吗?(2)如果只知道两个三角形有一条边对应相等,那么这两个三角形全等吗?2.如果两个三角形有两组对应相等的元素(边或角),那么这两个三角形一定全等吗?想一想,会有几种可能的情况?分别按照下面的条件,用刻度尺或量角器画三角形,并和周围的
9、同学比较一下,所画的图形是否全等(1)三角形的两个内角分别为30和70;(2)三角形的两条边分别为3cm和5cm;(3)三角形的一个内角为60,一条边为3cm;(i)这条长3cm的边是60角的邻边;(ii)这条长3cm的边是60角的对边你一定会发现,如果只知道两个三角形有一组或两组对应相等的元素(边或角),那么这两个三角形不一定全等(甚至形状都不相同)思 考如果两个三角形有三组对应相等的元素(边或角),那么会有哪几种可能的情况?这时,这两个三角形一定会全等吗?练习1. 如图,点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,AOB绕O旋转180,可以与_重合,这说明AOB_.这两个三角形的对应边是AO与
10、_,OB与_,BA与_;对应角是AOB与_,OBA与_,BAO与_.2如图,AE是平行四边形ABCD的高,将ABE沿AD方向平移,使点A与点D重合,点E与点F重合,则ABE_,F_3如图,点D是等腰直角三角形ABC内一点,ABAC,将ABD绕点A逆时针旋转90,点D与点E重合,则ABD_,AD_,BD_2边角边如果两个三角形有3组对应相等的元素,那么含有以下的四种情况:两边一角、两角一边、三角、三边我们将对这四种情况分别进行讨论如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两个三角形一定全等吗?如图19.2.1所示,此时应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一种情况是角不
11、夹在两边的中间,形成两边一对角如图19.2.2,已知两条线段和一个角,以这两条线段为边,以这个角为这两条边的夹角,画一个三角形把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,所有的三角形都全等吗?换两条线段和一个角试试,是否有同样的结论步骤:1画一线段AB,使它等于4cm;2画MAB45;3在射线AM上截取AC3cm;4连结BC ABC即为所求如图19.2.3,在ABC和ABC中,已知ABAB,BB,BCBC由于ABAB,我们移动其中的ABC,使点A与点A、点B与点B重合;因为BB,因此可以使B与B的另一边BC与BC重叠在一起,而BCBC,因此点C与点C重合于是ABC与ABC重合,这就说明这两个三
12、角形全等由此可得判定三角形全等的一种简便方法:如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等简记为S.A.S.(或边角边)例1如图19.2.4,在ABC中,ABAC,AD平分BAC,求证:ABDACD证明AD平分BAC,BADCAD在ABD与ACD中,ABAC,BADCAD,ADAD,ABDACD(S.A.S.)由ABD与ACD全等,还能证得BC,即证得等腰三角形的两个底角相等这条定理你还能证得哪些结论?如图19.2.5,已知两条线段和一个角,以长的线段为已知角的邻边,短的线段为已知角的对边,画一个三角形把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,那么所有的三角形都全等吗?此时
13、符合条件的三角形的形状能有多少种呢?练习1根据题目条件,判断下面的三角形是否全等(1)ACDF,CF,BCEF;(2)BCBD,ABCABD2点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点,求证AMDBMC3角边角前面,我们已经知道,当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形未必一定全等现在,讨论相对的情况:如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等,那么这两个三角形能全等吗?这时同样应有两种不同的情况:如图19.2.6所示,一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边如图19.2.7,已知两个角和
14、一条线段,以这两个角为内角,以这条线段为这两个角的夹边,画一个三角形把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,所有的三角形都全等吗?换两个角和一条线段,试试看,是否有同样的结论步骤:1画一线段AB,使它等于4cm;2画MAB60、NBA40,MA与NB交于点CABC即为所求如图19.2.8,在ABC和ABC中,已知ABAB,AA,BB由于ABAB,我们移动其中的ABC,使点A与点A、点B与点B重合,且使点C与点C分别位于线段AB的同侧因为AA,因此可以使A与A的另一边AC与AC重叠在一起;同样因为BB,可以使B与B的另一边BC与BC重叠在一起由于两条直线只有一个交点,因此点C与点C重合于是A
15、BC与ABC重合,这就说明这两个三角形全等由此可得判定三角形全等的又一种简便方法:如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等简记为A.S.A.(或角边角)例2如图19.2.9,已知ABCDCB,ACB DBC,求证:ABCDCB证明在ABC和DCB中,ABCDCB,BCCB,ACBDBC,ABCDCB(A.S.A.)思 考如图19.2.10,如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?分析 因为三角形的内角和等于180,因此有两个角分别对应相等,那么第三个角必对应相等,于是由“角边角”,便可证得这两个三角形全等下面我们证明这个定理:
16、如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等简记为A.A.S.(或角角边)已知:如图19.2.10,AA,BB,ACAC求证:ABCABC证明AA,BB,又ABC180(三角形的内角和等于180),同理ABC180,CC在ABC和ABC中,AA,ACAC,CC,ABCABC(A.S.A.)练习1如图,已知ABCD,ACBCBD,判断图中的两个三角形是否全等,并说明理由2如图,ABC是等腰三角形,AD、BE分别是BAC、ABC的角平分线,ABD和BAE全等吗?试说明理由4 边边边我们已经讨论了两个三角形有两边一角,以及两角一边分别对应相等,这两个三角形能否全等的情况
17、我们很容易发现,如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等(如图19211)最后,如果两个三角形有三条边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等呢?如图19212,已知三条线段,以这三条线段为边,画一个三角形把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,所有的三角形都全等吗?换三条线段,试试看,是否有同样的结论?步骤:1 画一线段AB,使它等于线段c(45cm);2 以点A为圆心、线段b(3cm)的长为半径画圆弧,以点B为圆心、线段a(4cm)的长为半径画圆弧,两弧交于点C;3 连结AC、BCABC即为所求如图19213,在ABC和ABC中,已知ABAB,ACAC, BCBC
18、不妨假设三角形最长的边为AB边,由于ABAB,我们移动其中的ABC,使点A与点A、点B与点B重合,且使点C与点C分别位于线段AB的两侧,连结CC(如图 19214)因为ACAC,即ACAC,所以ACCACC同理可知BCCBCC因此ACBACB又因为ACAC,BCBC,由“边角边”,便可知这两个三角形全等于是可得判定三角形全等的第3种简便方法:如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等简记为SSS(或边边边).例3如图19215,在四边形ABCD中,ADBC, ABCD,求证: ABCCDA证明在ABC和CDA中, CBAD, ABCD(已知),又ACCA(公共边), ABCCDA
19、(SSS)至此,我们已经知道,若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别对应相等,则这两个三角形全等在本书中我们也将这些真命题作为公理我们可以将前面探索得到的结论归纳成下表:对应相等的元素两边一角两角一边三角三边两边及其夹角两边及其中一边的对角两角及其夹边两角及其中一角的对边三角形是否全等一定(S.A.S)不一定一定(A.S.A)一定(A.A.S)不一定一定(S.S.S)以前我们通过探索得出的结论,如等腰三角形的性质、平行四边形的性质等,均可从所有的公理出发,经过逻辑推理证得,作为定理.练习1 根据条件分别判定下面的三角形是否全等(1) 线段AD与BC相交于点O,AODO, BO
20、CO. ABO与BCO;(2) ACAD, BCBD. ABC与ABD;(3) AC, BD. ABO与CDO;(4) 线段AD与BC相交于点E,AEBE, CEDE, ACBD. ABC与BAD?2 如图,四边形ABCD是平行四边形,ABC和CDA是否全等?若四边形是菱形、矩形、梯形,是否还有相同的结论?5 斜边直角边我们已经知道,对于两个三角形,如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等,那么这两个三角形一定全等如果有“角角角”分别对应相等,那么不能判定这两个三角形全等,这两个三角形可以有不同的大小如果有“边边角”分别对应相等,那么也不能保证这两个三角形全等那么在两个
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