概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答(共25页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上习题3-11、设的分布律为 12求。解:由分布律的性质,得,即,解得,。注:考察分布律的完备性和非负性。2、设的分布函数为,试用表示:(1);(2);(3)。解:根据分布函数的定义,得(1);(2);(3)。3、设二维随机变量的分布函数为,分布律如下: 123410020300试求:(1);(2);(3)。解:由的分布律,得(1);(2);(3)。4、设X,Y为随机变量,且,求。解:。注:此题关键在于理解表示,然后再根据概率的加法公式。5、只取下列数值中的值:,且相应概率依次为,。请列出的概率分布表,并写出关于的边缘分布。解:(1)根据的全部可能取值以及相应概率,得的
2、概率分布表为 (2)根据的边缘分布与联合分布的关系,得 所以,的边缘分布为6、设随机向量服从二维正态分布,其概率密度函数为,求。解:由图形对称性,得,故。注:本题的求解借助与图形的特点变得很简单,否则若根据概率密度函数的性质3进行求解会相对复杂些。7、设随机变量的概率密度为,(1)确定常数;(2)求;(3)求;(4)求。分析:利用,再化为累次积分,其中解:(1)由概率密度函数的完备性,得,解得。(2);(3);(4)。8、已知和的联合密度为,试求:(1)常数;(2)和的联合分布函数。解:(1)由概率密度函数的完备性,得,解得。(2)。9、设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度。解:。10、设
3、在曲线,所围成的区域内服从均匀分布,求联合概率密度和边缘概率密度。解:据题意知,区域的面积为,由于在区域内服从均匀分布,故的概率密度函数为。,。注:此题求解首先必须画出区域的图形。然后根据图形确定积分上下限。习题3-21、二维随机变量的分布律为 (1)求的边缘分布律;(2),;(3)判定与是否独立?解:(1)由边缘分布与联合分布的关系,知 所以,的边缘分布律为(2),;(3)根据二维随机变量的分布律可知其边缘分布律 由于,所以与不独立。2、将某一医药公司9月份和8月份的青霉素制剂的订货单数分别记为与。据以往积累的资料知,和的联合分布律为 5152535455510.060.050.050.01
4、0.01520.070.050.010.010.01530.050.100.100.050.05540.050.020.010.010.03550.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律。解:(1)由联合分布律与边缘分布律的关系,得 5152535455510.060.050.050.010.010.18520.070.050.010.010.010.15530.050.100.100.050.050.35540.050.020.010.010.030.12550.050.060.050.010.030.200.280.
5、280.220.090.13(2),8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律为51525354553、已知的分布律如表所示, 01201/41/80101/3021/601/8求:(1)在的条件下,的条件分布律;(2)在的条件下,的条件分布律。 解:根据联合分布律可得边缘分布律,如下: 01201/41/803/8101/301/321/601/87/245/1211/241/8(1)根据上表,可得,所以,在的条件下,的条件分布律为(2)根据上表,可得,所以,在的条件下,的条件分布律为4、已知的概率密度函数为,求:(1)边缘概率密度函数;(2)条件概率密度函数。解:(1);(2)当时,
6、;当时,。注:此题求解时最好画出联合密度函数不为零时的区域,以便准确的确定自变量的取值或积分上下限。5、设与相互独立,其概率分布如表所示,-2-101/21/41/31/121/3 -1/2131/21/41/4求的联合概率分布,。解:由于与相互独立,故对任意,有,所以,的联合概率分布为 -1/213-21/81/161/161/4-11/61/121/121/301/241/481/481/121/21/61/121/121/31/21/41/4,。6、某旅客到达火车站的时间均匀分布在早上7:558:00,而火车这段时间开出的时间的密度函数为,求此人能及时上火车的概率。解:令7:55看作时刻
7、0,以分为单位,故,即的概率密度函数为,而与相互独立,故的联合概率密度函数为,所以,此人能及时上火车的概率为。7、设随机变量与都服从分布,且与相互独立,求的联合概率密度函数。解:据题意知,由于随机变量与都服从分布,所以与的概率密度函数分别为,又由于与相互独立,即,故的联合概率密度函数为。8、设随机变量与相互独立,且分别服从二项分布与,求证:。证:据题意知,故与的分布律分别为,又由于与相互独立,故,。9、设随机变量的概率密度为,问:与是否相互独立?解:【法一】任意给定所以,因而与不独立。【法二】若与相互独立,则对任意,有,而,即,所以,解得,或,很显然这是不成立的,故与不是相互独立的。10、设和
8、是两个相互独立的随机变量,。(1)求与的联合概率密度;(2)设有的二次方程,求它有实根的概率。解:因为,所以;因为,所以,又相互独立,所以(1)(2)所求概率为。习题3-31、设随机变量和相互独立,且都等可能地取为值,求随机变量和的联合分布。解:由题意,和的分布律为X(Y)123pk1/31/31/3可见,下求(1)当时,(2)当时,(3)当时,所以得到关于,的联合分布律为V U1231231/9002/91/902/92/91/93、设,且求和的联合概率分布。解:由题意,所以,和的联合概率分布为 0101/4011/41/24、设的联合密度函数为,求的密度函数。解:当时,当时,所以,所以5、
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- 概率论 数理统计 第三 多维 随机变量 及其 分布 习题 解答 25
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