立体几何(向量法)—建系难(共9页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何(向量法)建系难例1 (2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案)如图,四棱锥中,为的中点,.(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.【答案】解:(1)如图,联结BD交AC于O,因为BCCD,即BCD为等腰三角形,又AC平分BCD,故ACBD.以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,则OCCDcos1,而AC4,得AOACOC3.又ODCDsin,故A(0,3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(,0,0)因PA底面ABCD,可设P(0,3,z),由F为PC边中点,得F,又,(,3,z),因
2、AFPB,故0,即60,z2 (舍去2 ),所以|2 .(2)由(1)知(,3,0),(,3,0),(0,2,)设平面FAD的法向量为1(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为2(x2,y2,z2)由10,10,得因此可取1(3,2)由20,20,得故可取2(3,2)从而向量1,2的夹角的余弦值为cos1,2.故二面角BAFD的正弦值为.例2(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对)如图,四棱锥中,与都是等边三角形.(I)证明: (II)求二面角的大小.【答案】解:(1)取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形过P作PO平面ABCD,垂足为O.联
3、结OA,OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD,所以OAOBOD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OEBD,从而PBOE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OECD.因此PBCD.(2)解法一:由(1)知CDPB,CDPO,PBPOP,故CD平面PBD.又PD平面PBD,所以CDPD.取PD的中点F,PC的中点G,连FG.则FGCD,FGPD.联结AF,由APD为等边三角形可得AFPD.所以AFG为二面角APDC的平面角联结AG,EG,则EGPB.又PBAE,所以EGAE.设AB2,则AE2 ,EGPB1,故AG3,在AFG中,FGCD,AF,AG3.所以c
4、osAFG.因此二面角APDC的大小为arccos.解法二:由(1)知,OE,OB,OP两两垂直以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设|2,则A(,0,0),D(0,0),C(2 ,0),P(0,0,),(2 ,),(0,),(,0,),(,0)设平面PCD的法向量为1(x,y,z),则1(x,y,z)(2 ,)0,1(x,y,z)(0,)0,可得2xyz0,yz0.取y1,得x0,z1,故1(0,1,1)设平面PAD的法向量为2(m,p,q),则2(m,p,q)(,0,)0,2(m,p,q)(,0)0,可得mq0,mp0.取m1,得p1,q1,故2(1,
5、1,1)于是cos,2.由于,2等于二面角APDC的平面角,所以二面角APDC的大小为arccos.例3(2012高考真题重庆理19)(本小题满分12分 如图,在直三棱柱 中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点()求点C到平面的距离;()若求二面角 的平面角的余弦值.【答案】解:(1)由ACBC,D为AB的中点,得CDAB.又CDAA1,故CD面A1ABB1,所以点C到平面A1ABB1的距离为CD.(2)解法一:如图,取D1为A1B1的中点,连结DD1,则DD1AA1CC1.又由(1)知CD面A1ABB1,故CDA1D,CDDD1,所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角因A1D
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