挑战中考数学压轴题教师版)(2016版)(共85页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上目 录第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1,在平面直角坐标系中,双曲线(k0)与直线yx2都经过点A(2, m) (1)求k与m的值;(2)此双曲线又经过点B(n, 2),过点B的直线BC与直线yx2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求ABC的面积;(3)在(2)的条件下,设直线yx2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标图1 满分解答(1)将点A(2, m)代入yx2,得m4所以点A的坐标为(2, 4)将
2、点A(2, 4)代入,得k8(2)将点B(n, 2),代入,得n4所以点B的坐标为(4, 2)设直线BC为yxb,代入点B(4, 2),得b2所以点C的坐标为(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2),可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2,B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4所以AB,BC,ABC90 图2所以SABC8 (3)由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2),得AD,AC由于DACACD45,ACEACD45,所以DACACE所以ACE与ACD相似,分两种情况:如图3,当时,CEAD此时ACDCAE,相似比为1如图4,当时,解得CE此时C、E两
3、点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E(10, 8)图3 图4考点伸展第(2)题我们在计算ABC的面积时,恰好ABC是直角三角形一般情况下,在坐标平面内计算图形的面积,用割补法如图5,作ABC的外接矩形HCNM,MN/y轴由S矩形HCNM24,SAHC6,SAMB2,SBCN8,得SABC8图5例2 2014年武汉市中考第24题如图1,RtABC中,ACB90,AC6 cm,BC8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0t2),连接PQ(1)若BPQ与ABC相似,求t的值;(
4、2)如图2,连接AQ、CP,若AQCP,求t的值;(3)试证明:PQ的中点在ABC的一条中位线上图1 图2满分解答(1)RtABC中,AC6,BC8,所以AB10BPQ与ABC相似,存在两种情况: 如果,那么解得t1 如果,那么解得图3 图4(2)作PDBC,垂足为D在RtBPD中,BP5t,cosB,所以BDBPcosB4t,PD3t当AQCP时,ACQCDP所以,即解得图5 图6(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,垂足为F,交AB于E由于H是PQ的中点,HF/PD,所以F是QD的中点又因为BDCQ4t,所以BFCF因此F是BC的中点,E是AB的中点所以PQ的中点H在ABC的中位线EF
5、上考点伸展本题情景下,如果以PQ为直径的H与ABC的边相切,求t的值如图7,当H与AB相切时,QPAB,就是,如图8,当H与BC相切时,PQBC,就是,t1如图9,当H与AC相切时,直径,半径等于FC4所以解得,或t0(如图10,但是与已知0t2矛盾)图7 图 8 图9 图10例3 2012年苏州市中考第29题如图1,已知抛物线(b是实数且b2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C(1)点B的坐标为_,点C的坐标为_(用含b的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形
6、?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由图1满分解答(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, )(2)如图2,过点P作PDx轴,PEy轴,垂足分别为D、E,那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3,联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3(3)由,得A(1, 0),OA1如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么OQCQOA当,即时,B
7、QAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5,以OC为直径的圆与直线x1交于点Q,那么OQC90。因此OCQQOA当时,BQAQOA此时OQB90所以C、Q、B三点共线因此,即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而QOA与QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样,先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中,圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB4OC矛盾例4 2012年黄冈市中考模
8、拟第25题如图1,已知抛物线的方程C1: (m0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;(2)在(1)的条件下,求BCE的面积;(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BHEH最小,求出点H的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由图1满分解答(1)将M(2, 2)代入,得解得m4(2)当m4时,所以C(4, 0),E(0, 2)所以SBCE(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x1,当H落在线段EC上时,BHEH最小设
9、对称轴与x轴的交点为P,那么因此解得所以点H的坐标为(4)如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FFx轴于F由于BCEFBC,所以当,即时,BCEFBC设点F的坐标为,由,得解得xm2所以F(m2, 0)由,得所以由,得整理,得016此方程无解图2 图3 图4如图4,作CBF45交抛物线于F,过点F作FFx轴于F,由于EBCCBF,所以,即时,BCEBFC在RtBFF中,由FFBF,得解得x2m所以F所以BF2m2,由,得解得综合、,符合题意的m为考点伸展第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长例5 2010年义乌市中考第24题如图1,
10、已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3)(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2)用含S的代数式表示x2x1,并求出当S=36时点A1的坐标;(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发
11、,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由 图1 图2满分解答(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,)(2) 梯形O1A1B1C1的面积,由此得到由于,所以整理,得因此得到当S=36时, 解得 此时点A1的坐标为(6,3)(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的GAF与GQE,有一个公共角G在GEQ中,GEQ是直线AB与抛物线对称轴的
12、夹角,为定值在GAF中,GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能,GQEGAF这时GAFGQEPQD由于,所以解得 图3 图4考点伸展第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3例6 2009年临沂市中考第26题如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,2)三点(1)求此抛物线的解析式;(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P
13、的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D的坐标,图1满分解答 (1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标(0,2),解得所以抛物线的解析式为(2)设点P的坐标为如图2,当点P在x轴上方时,1x4,如果,那么解得不合题意如果,那么解得此时点P的坐标为(2,1)如图3,当点P在点A的右侧时,x4,解方程,得此时点P的坐标为解方程,得不合题意如图4,当点P在点B的左侧时,x1,解方程,得此时点P的坐标为解方程,得此时点P与点O重合,不合题意综上所述,符合条件的 点P的坐标为(2,1)或或
14、图2 图3 图4(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为所以因此当时,DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1) 图5 图6考点伸展第(3)题也可以这样解:如图6,过D点构造矩形OAMN,那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积设点D的横坐标为(m,n),那么由于,所以1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2015年重庆市中考第25题如图1,在ABC中,ACB90,BAC60,点E是BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DHAC
15、,垂足为H,连接EF,HF(1)如图1,若点H是AC的中点,AC,求AB、BD的长;(2)如图1,求证:HFEF(3)如图2,连接CF、CE,猜想:CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由图1 图2满分解答(1)如图3,在RtABC中,BAC60,AC,所以AB在RtADH中,DAH30,AH,所以DH1,AD2在RtADB中,AD2,AB,由勾股定理,得BD(2)如图4,由DAB90,BAC60,AE平分BAC,得DAE60,DAH30在RtADE中,AE在RtADH中,DH所以AEDH因为点F是RtABD的斜边上的中线,所以FAFD,FADFDA所以FAEFDH所以FAEF
16、DH所以EFHF图3 图4 图5(3)如图5,作FMAB于M,联结CM由FM/DA,F是DB的中点,得M是AB的中点因此FM,ACM是等边三角形又因为AE,所以FMEA又因为CMCA,CMFCAE30,所以CMFCAE所以MCFACE,CFCE所以ECFACM60所以CEF是等边三角形考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图,看看有没有熟悉的感觉如图6,如图7,当点F落在BC边上时,点H与点C重合图6 图7如图8,图9,点E落在BC边上如图10,图11,等腰梯形ABEC图8 图9 图10 图11例2 2014年长沙市中考第26题如图1,抛物线yax2bxc(a、b、c是常数,a0)的对称轴为y轴
17、,且经过(0,0)和两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的P总经过定点A(0, 2)(1)求a、b、c的值;(2)求证:在点P运动的过程中,P始终与x轴相交;(3)设P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标图1满分解答(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以yax2所以b0,c0将代入yax2,得解得(舍去了负值)(2)抛物线的解析式为,设点P的坐标为已知A(0, 2),所以而圆心P到x轴的距离为,所以半径PA圆心P到x轴的距离所以在点P运动的过程中,P始终与x轴相交(3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN在RtPMH中,所
18、以MH24所以MH2因此MN4,为定值等腰AMN存在三种情况:如图3,当AMAN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0图2 图3如图4,当MAMN时,在RtAOM中,OA2,AM4,所以OM2此时xOH2所以点P的纵坐标为如图5,当NANM时,点P的纵坐标为也为图4 图5考点伸展如果点P在抛物线上运动,以点P为圆心的P总经过定点B(0, 1),那么在点P运动的过程中,P始终与直线y1相切这是因为:设点P的坐标为已知B(0, 1),所以而圆心P到直线y1的距离也为,所以半径PB圆心P到直线y1的距离所以在点P运动的过程中,P始终与直线y1相切例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1
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