实变函数习题(共12页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章习题2、(ii) 证明:对于22、具体构造与之间的一个完全的一一映射.解:记中的有理数点集为;中的无理数点集为 ;,作映射 所以 29、求证:中任一集合的导集是闭集.证明:若,则为闭集,否则 要证明为闭集 为的聚点 中含有的无穷多个点也中含有的无穷多个点 从而为闭集30、(i)设是任意的两个集合,若,则.证明:为的聚点 为的聚点 (ii)若,求证:是闭集.根据(i)式可知,则是闭集32、中任一集合的孤立点是至多可数的证明:先来证明中的孤立点是至多可数的记为中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,则为可数集.设为中的孤立点全体,则对于任意的,则存在的一个以有理数为
2、端点的邻域,使得对于每一个,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个中的点,故对于中不同的两个点对应的邻域,也不同.令则与等价,而,则是至多可数集,从而是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集.33、若不可数,则也不可数.证明:假设是至多可数集,则设为的孤立点全体,则为至多可数集因为,则为至多可数集则为至多可数集与已知矛盾.第二章习题2、求证:证明:因为,所以又因为,而,其中为两两不交的开区间因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以因此3、设是两个不相交的开集,求证:证明:,所以 6、设求证:证明:要想证明,只需要证明下面来证明,即证明:而同理可证明:10、设是可测集列
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