力学竞赛理论力学部分练习题(共39页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上力学竞赛理论力学部分练习题一、 四叶玫瑰线你能一笔画出图示曲线吗?如图所示为一四叶玫瑰曲线,其极坐标表达式为。请你进行分析计算和设计:(1)写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式;(2)利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。 题2图解:(1)对于四叶玫瑰曲线,在直角坐标系中可写成(图3-1) 将代入上式,得 (1)利用三角函数的积化和差公式 可得 (2) 图3-1 图3-2(2)现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构,小齿轮在固定内齿轮内作纯滚动,其中内齿轮的半径为,小齿轮的半径为,画笔所在点离小齿轮圆心的距离为。随系杆的转动,其点的轨迹为利用
2、小齿轮的纯滚动条件,有,代入上式可得 作变换,令,上式可改写为 (3)对照式(2)和式(3)中的系数,有, , 联解之,得 , , (4)做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构,取式(4)中的参数,即可画出的四叶玫瑰曲线。二、 手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗?请你用下述刚体简化模型,进行分析计算:(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2)求出笔绕手指无滑动转一周中,手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小;(3)给出笔与手指间的摩擦因数随长度变化应满足的条件。手指转笔的刚体简化模型:如题2图所示,设手指为半径为的圆柱,笔为一回转半径为的细直杆(对质心C转动惯量为)。设手指保持不动,开始
3、时笔在距质心C距离为的A处与手指相切,初角速度为,设,且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动,忽略重力的影响。(江苏技术师范学院) 题2图解:(1)关键词:平面运动学分析,刚体平面运动微分方程,机械能守恒,。(2)设某瞬时杆与圆柱相切于点(圆柱上的点),此时杆绕旋转的角速度为,质心C与A距离为。杆对A的转动惯量为,依题意,A为杆此刻的速度瞬心,由机械能守恒可得 故 (1)设杆受压力和摩擦力,如图4-1(a)所示,分别为质心加速度的径向和切向分量,为杆转动的角加速度。 (a) (b)图4-1点加速度,由指向,且点的加速度无切向分量,而由基点法可知 (2)方向如图4-1b所示,其中 ,。代入式(2)
4、后,投影得, (3)根据刚体平面运动微分方程,可列出 (4)联立求解式(3)和式(4),可得 (5) (6)(3)、分析摩擦因数应满足的条件:若使杆始终不与圆柱脱离,则摩擦因数应满足 (7)因 ,对,有,()。则故 三、小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘,中心O用无摩擦轴固定,圆盘对此转轴的转动惯量为。在圆盘上P点有一个质量为的小虫,处于静止状态,如题(a)图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2)在时刻小虫开始爬行,当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图(b)所示时(假设小虫相对转盘逆时针运动),试求出转盘转过的角度。(3)若我们在转盘
5、中看到小虫的轨迹如题图(c)所示的圆弧时,试求出转盘转过的角度,并求出当小虫沿圆弧爬行一周时,转盘转过的角度。(江苏技术师范学院) (a) (b) (c) 题3图五、小虫爬行问题解答解:(1) 关键词:点的合成运动,动量矩守恒。(2) 取小虫为动点,定参考系,动参考系固连在转盘上,与转盘一起转动。根据题中提供的条件,转盘和小虫的重力平行于转轴,系统对转轴O的动量矩守恒。设在时刻,为小虫相对于定参考系的速度(即绝对速度),为小虫相对于转盘参考系的速度,转盘的角速度为,为小虫相对于定参考系的位矢,为小虫相对于动参考系的位矢,牵连速度。根据点的速度合成公式,有 (1)由于系统对转轴的动量矩守恒,有
6、(2)在此问题中,可以得到 进一步有 (3)设与的夹角为,则上式可以化为 (4)所以,转盘转过的角位移为 (5)将式中的用小虫在动参考系中爬行的路程表示,可得转盘转过的角位移为 (6)若用极坐标描述,有 (7)则式(6)可表示为 (8)从以上可知,转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。(3) 当小虫爬行的轨迹为圆弧时,有 代入式(8),得 (9)当小虫沿圆弧爬行一周时,将代入上式,可得转盘转过的角度为 (10)四、四两拨千斤(南京工程学院)中国武术中有“四两拨千斤”的招式。请你分析一下:(1)“四两拨千斤”与力学中的什么内容有关系?(2)试用力学原理简要解析一下“四两拨千斤”的关键所在
7、?(3)试分析图示拔桩装置的力学原理。解:(1)力的合成(2)“四两拨千斤”是用很小的力去改变一个很大的力的方向。设需改变的力为,用的力为,两力的合力为。为有效的改变力的方向,使合力与间的夹角为最大。以小力为半径画一圆,如上图示,由的起点到圆的切线方向为合力与原力间的最大值。与切线垂直的半径方向为小力的最有效方向。当时,可认为需施加的力与原力方向垂直时作用的效果最为明显。(3)分析图示装置的力学原理图示A、B两点的受力为两个力三角形如图示, 则:当较小时,很大,即可用很小的力拉动很大的力五、自动向上滚的论子(1)与力学相关的内容重力做功(2)力学原理解释轮子上滚的原因由于轨道与轮子形状特殊,保
8、证轮子的重心在轨道低处时比在高处时高,重力做功时得轮子向上滚。(3)求直轨道和轮子的尺寸及夹角的关系设有效轨道的最低处为A ,最高处为B ,其高度分别为、,两端的水平距离为,以表示轮子在轨道A、B处与两侧轨道接触点之间的距离。有上三图:轮子在A处其重心到轨道底部距离:轮子在B处其重心到轨道底部距离:由图三: (1)由图(1)(3): (2)轮子在A、B处重心的高度差: 当,即轮子的重心在最低处大于在轨道处的最高处,轮子向上滚动。即满足:且:六、难中的奖 七、火车过桥建筑工程中常用的钢筋混凝土结构,在设计上希望钢筋承受拉力,混凝土承受压力。今有一座钢筋混凝土结构的桥梁,如图()所示。在使用中出现
9、了险情:列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人说:这好办,只要中间部位再加一个桥墩就行。请问:(1) 该问题与力学中的什么内容有关系?(2) 试分析一下加桥墩方案是否可行?为什么?(列车通过时可按均布荷载考虑)(3) 请你提出一个可行方案来,并说明理由。(淮海工学院)解:(1)关键词:梁的弯曲变形,弯矩,超静定。(2)不可行。此结构变成如图(b)所示超静定结构,若设桥的跨度为2L 载荷集度,抗弯刚度为。则按力法求解得:B点弯矩为(上侧受拉)。由此可见:混凝土上表面出现拉应力,这与设计上混凝土承受压力相矛盾,所以,在中间加一桥墩的方案不可行。(3)可以考虑所加桥墩与桥底面有一间隙a的办法,如图(
10、c)所示。首先要求 ; 其次按支座移动求解如图(d)所示。力法方程为:,得解得: 所以:即所设计的间隙为: 八、四人追车平直轨道上有一节质量的车厢,速度为,车厢与铁轨间摩擦可以忽略。有4个人列队前行,前两个人质量同为,第3个人质量为,第4个人质量为。当前两个人发现车厢后,以速度2追上车厢并且登上去坐下。第3个人发现较晚,但是也以2.2 的速度追上登上去坐下。第4个人发现最晚,但最后还是以1.15 速度追上去刚好登上了车厢。根据以上条件,回答下下列问题:(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2),与有没有关系?如果有关系,请找出它们与的关系。(3) 如果其它条件不变,第4个人的质量增加,登上车
11、厢后坐下,对车厢的速度影响有多大?(淮海工学院)(1)动量守恒。(2)假设第3个人登上去坐下后,车厢的速度为u,根据动量守恒: 得 又 由上面两式得:m4与m没有关系。(3)假设第4个人登上去坐下后,车厢的速度仍然为,所以如果其他条件不变其的质量对速度没有影响。V0M m m m3 m4 九、魔术表演利用一无底的薄壁圆桶(设半径R),再找两个乒乓球,如果满足就可以进行魔术表演了:把两乒乓球如图所示放在圆桶内,那么有时候圆桶会翻倒,有时候不会翻倒。(淮海工学院)1、 为什么要满足2、 假设圆桶重Q,球重P,圆桶不翻倒需要满足什么条件? 3、 要使得圆桶有时候翻倒,有时候不翻倒,这里面有什么“机关
12、”?解1、,保证球可以放入桶内。,保证两球重心不在一水平线,从而产生翻倒力矩。2、整体受力如图,在临界翻倒的情况下,应有NA=0,对B取矩,有 取两球为研究对象,可得联立求解,可得:故要使得圆桶不翻倒,必须满足。3、 魔术的机关在于:2个乒乓球的重量不一样,一个是普通的乒乓球,一个是注水的乒乓球。表演魔术时,如果先放空心乒乓球再放注水乒乓球,圆桶就会翻倒,若先放注水乒乓球再放空心乒乓球,圆桶不会翻倒。要满足的条件:根据2的结果,注水乒乓球的重量十、绊马索古代战争中,绊马索常用于拦截敌方的骑兵队伍。下图为一隐蔽在树林中的绳索,两端系于树根部。当敌方的骑兵向绊马索的中部冲杀过来时,坐骑可能会被绊倒
13、。若设绳索的弹性模量为,强度极限为,系于两树之间的长度为,横截面积为。试问:(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2)绳子中部的变形量与冲击力的关系?(3)若绳索的初始张力为,坐骑与士兵的总质量为。试问,要想冲断绳索,骑兵的极限速度至少为多少?(南京理工大学)解:(1) 冲击问题,强度问题FFL/2(2),=,=,得到(3)能量守恒,故极限速度十一、飞鸟栖木(南京理工大学)质量为的鸟以与圆木垂直的水平速度站到了圆木的一头。圆木的质量为,长度为,位于结了冰的湖面上。(1) 若要求圆木的运动规律,将使用什么力学原理?(2) 鸟与圆木一起运动时,圆木的质心速度是多少?(3) 鸟与圆木一起运动时,圆
14、木运动的角速度是多少?解:(1)动量守恒,动量矩守恒,(2)动量矩守恒,质点系质心坐标由质心坐标计算公式确定,由平行轴定理确定,(3)动量守恒,圆木质心G速度CG十二、摆钟调准 某人在新加坡购买一高档精密挂钟,带回北京后发觉时间不准了,经过钟表店仔细检查,发现无任何质量问题,十分迷惑。后经多方打听,终于找到一钟表专家将其。问:(1)该问题涉及何力学原理?(2)在北京该挂钟每天与标准时间相差多少秒?(已知:新加坡纬度为,北京纬度为,地球半径为6370km,南北两极处重力加速度)(3)如何调整摆锤的位置?设摆锤与摆杆质量相同,分别视为均质圆盘与均质细杆,摆杆长为0.3m,摆锤半径为0.05m,摆锤
15、可沿摆杆滑动。(南京理工大学)解:1) 非惯性参考系中质点动力学,振动。2) 为当地纬度,为当地表观加速度。每天比标准时间慢228.9秒。3) 摆锤沿摆杆上移约2mm。十三、一个小孩在平面上沿一曲线行走,此曲线由两个时间的函数X(t)和Y(t)确定假设小孩借助长度为a的硬棒,拉或推某玩具,试推导玩具满足的微分方程;(常州工学院)十四、一梯子AB架在墙与地面之间,当未处于临界状态时,梯子两端所受的来自墙或地面的反力与其摩擦力如图2所示对于这样一个平面力系,如何用平衡方程求这4个未知力? (常州工学院)十五、神奇的“不倒翁”十六、滚动圆环的力学问题十七、图示悬臂刚架的横梁上的中间有一重P的物体,与
16、横梁之间存在摩擦角为,今有一个人重P,向上跳高后落在自由端处,使得重物正好产生滑动。问(1)该问题与力学中的什么内容有关?(2)物体与横梁之间摩擦因数为多少?(3)在考虑物体滑到自由端的时间时,还需要注意到什么问题?(江苏工业学院)十八、现有一个半圆薄壁筒,平均半径为,质心在C点,且处。(1)无任何计时仪器,能否利用这个半圆薄壁筒来估算自己的脉搏跳动情况?(2)如果不能,请说明原因;如果能,请给出相应的原理。(3)为方便估算脉搏跳动次数,请给出的一个数值。(江苏工业学院)十九、奇妙的舞蹈A0C0B0三名舞蹈演员在舞台上(当作平面上三点)组成一正三角形(边长为a)。音乐一开始,每一演员即朝向右侧
17、的另一演员以常速率缓v慢前进,如音乐时间足够长,问:(1)三名演员有没有可能相遇?(2)如相遇,每个演员共转过多少转?(3)演员走过的轨迹是什么曲线?二十、神奇的圈操(中国矿业大学)艺术体操运动员有在进行圈操表演时,使圈高速转动,并在地面上向前抛出,不久圈可自动返回到运动员跟前。假定圈为均质圆环,质量为m,半径为r。试对圈的运动进行分析:(1)本问题与力学中的什么内容有关系?(2)圈的运动有几种形式?(3)需要满足什么条件,圈才能返回,其返回的速度是多少?(4)若在圈的出发点有一高为h(ha/2)的台阶,圈与台阶发生完全非弹性碰撞,则应满足什么条件圈才能滚上台阶继续前进?Cw0v0h图2 神奇
18、的圈操二十一、一重F置于有四条腿的边长为a的正方形桌面上的一点(如图),求每条腿上的压力。桌面可视为刚性。(中国矿业大学)二十二、设计一辆赛车,使它能在由静止发动时,获得可能的最大加速度.我们假定赛车的发动机施加确定的很大的转矩于后轮,我们的问题是要确定赛车的最佳重量分布.需要考虑的作用于赛车的外力有(1)重力;(2)轮子上支持赛车的法向力;(3)摩擦力。图示给出了赛车的草图。其中赛车的重心C的高度位置h确定,需要确定重心到后轮中心的距离。(中国矿业大学)60060010m8m图 82图 81二十三、分析计算题:如何逃离大坑地面有一圆锥台形的大坑(图81),见图82,底面直径为8m,深10m,
19、坑壁倾角600。现假设有两人落入坑中。(1) 若人与坑壁的摩擦因数为1.0,请问两人是否可以沿坑壁爬上地面,为什么?(需作必要的计算)。图8312m12m图84图8510m图86(2)如给他们两张梯子(图83)、两个销钉(图84)、两块板(图85)和一根带有弯钩的伸缩杆(图86,长约46m)。梯子两端都有圆柱形孔(孔径略大于销钉的直径)。假设它们的质量都不计,梯子、板、坑壁之间的摩擦也不计,人与梯子、板之间有摩擦,摩擦因数为0.8。问两人利用这些工具是否可以离开坑到达地面?要说明过程及符合哪些力学原理。(给出2种或2种以上方法本小题才能得满分)(3)两人是否可以不借助于任何工具,各自离开坑到达
20、地面。要说明方法和作必要的计算。给出一种可行方法即可。 (本题人的几何尺寸不考虑)(命题人:河海大学)二十四、分析计算题边长4米的正方形房间,初始时刻四角各有一只臭虫。其中A、C为雄性,B、D为雌性。A相中了B,B相中了C,C相中了D,D相中了A。它们同时以每小时1米的速度向自己的意中虫爬去,且眼里只有“我的那个它”。请计算:(1)多长时间后,它们能聚在一起,讨论它们之间的事。(2)当夹角为时,A虫到中点的距离r。(3)在夹角为处,A虫爬行轨迹的曲率半径。(河海大学)rABCD二十五、大家在日常生活中通常遇到这样的情景,如果没有打开瓶盖的起子,当然可用牙齿咬开,也可以把瓶盖挨着桌子,猛击瓶盖而
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