2022年最新人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解.pdf
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1、精品文档精品文档集合与函数概念11 集合(一)集合的有关概念定义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合, 也简称 集 。2. 表示方法 :集合 通常用大括号 或大写的拉丁字母A,B,C表示,而元素 用小写的拉丁字母a,b,c 表示。3. 集合相等: 构成两个集合的元素完全一样。4. 元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种 ) 若 a 是集合 A 中的元素,则称a 属于集合 A,记作 aA;若 a 不是集合 A 的元素,则称a 不属于集合A,记作 aA。5. 常用的数集及记法:非负整数集(或自然数集),记作 N;正整数集,记作N*或 N+;N内排除
2、0 的集 . 整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R ;6. 关于集合的元素的特征确定性: 给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如: “地球上的四大洋” (太平洋 ,大西洋,印度洋,北冰洋)。 “中国古代四大发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数” , “平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的. 互异性: 一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程 (x-2)(x-1)2=0 的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2无序性: 即集合中的元素无顺序, 可以任意排列、调换。练
3、 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:大于 3 小于 11 的偶数;我国的小河流;非负奇数;方程 x2+1=0 的解;某校 2011 级新生;血压很高的人;著名的数学家;平面直角坐标系内所有第三象限的点7. 元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种 ) 若 a 是集合 A 中的元素,则称a 属于集合 A,记作 aA;若 a 不是集合 A 的元素,则称a 不属于集合A,记作 aA。例如,我们A表示“ 120 以内的所有质数”组成的集合,则有3 A,4A,等等。练: A=2,4,8,16 ,则 4A,8A,32A. (二)例题讲解:例 1用“”或“”符号填空:精品
4、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 23 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档8 N ;0 N;-3 Z;2 Q;设 A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英国 A。练: 5 页题例 2已知集合P的元素为21,3m mm, 若 2P且-1P,求实数m的值。练:考察下列对象是否能形成一个集合?身材高大的人所有的一元二次方程直角坐标平面上纵横坐标相等的点细长的矩形的全体比 2 大的几个数2的近似值的全体所有的小正数所有的数学难题给出下面四个关系
5、:3R,0.7Q,00,0N,其中正确的个数是:( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个下面有四个命题: 若- a, 则 a若 a, b, 则 a+b 的最小值是2 集合 N中最小元素是1 x2+4=4x 的解集可表示为2,2 其中正确命题的个数是( 由实数 -a, a, a,a2, -5a5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么 ? 求集合 2a,a2+a中元素应满足的条件? 若t1t1t, 求 t 的值 . 一、集合的表示方法列举法 :把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如:1 ,2,3,4,5 ,x2, 3x+2,5y3-x ,x2+y
6、2 ,;说明: 书写时,元素与元素之间用逗号分开;一般不必考虑元素之间的顺序;在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;集合中的元素可以为数,点,代数式等;列举法可表示有限集,也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集用列举法表示为1,2,3,4,5,.例 1用列举法表示下列集合:(1)小于 5 的正奇数组成的集合;(2)能被 3 整除而且大于4 小于 15 的自然数组成的集合;(3)从 51 到
7、100 的所有整数的集合;(4)小于 10 的所有自然数组成的集合;(5)方程2xx的所有实数根组成的集合; 由 120 以内的所有质数组成的集合。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档描述法 :用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。方法 :在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式 :( )xA p x如: x|x-
8、32 ,(x,y)|y=x2+1 ,x|直角三角形 ,;说明 :描述法表示集合应注意集合的代表元素 ,如(x,y)|y= x2+3x+2 与 y|y= x2+3x+2 是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:整数 ,即代表整数集Z。辨析 :这里的 已包含“所有”的意思,所以不必写全体整数 。写法 实数集 ,R 也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意:、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式?、元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑。例 2用描述法表示下列集合:(1)
9、 由适合 x2-x-20的所有解组成的集合; (2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程220 x的所有实数根组成的集合(4) 由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。说明: 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。练习: 5 页 2 题1用适当的方法表示集合:大于0 的所有奇数2集合 Ax|43xZ,xN,则它的元素是。3. 已知集合 Ax|-3x3 ,xZ,B(x,y)|yx2+1,xA,则集合 B用列举法表示是.判断下列两组集合是否相等?(1)A=x|y=x+1与 B=y|y=x+1; (2)
10、A= 自然数 与 B= 正整数 二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0 x3; 3. xRx2+1=0由此可以得到集合的分类:()emptyset有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示:A 3,9,27 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 23 页 - - - - - - -
11、- - - 精品文档精品文档典型例题【题型一】元素与集合的关系、设集合A, a,b,B= a,a,ab,且 A=B ,求实数 a,b.、已知集合Aa+ 2,(a+1),a+3a+3若 1A, 求实数 a 的值。【题型二】元素的特征、已知集合M= xNx16Z,求 M 已知集合C=x16Zx N,求 C 点拔 :要注意 M 与 C 的区别,集合M 中的元素是自然数x,满足x16是整数,集合C 是的元素是整数x16,满足条件是xN 练习:.给出下列四个关系式:3R;Q; 0N; 0其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 .方程组的解组成的集合是( ) A.2,1B.-1,2C.(
12、2,1)D. (2,1) 3.把集合 -3x3,xN用列举法表示,正确的是( ) A.3,2,1B.3,2,1,0C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,3 4.下列说法正确的是( ) A.0是空集B.xQx6Z是有限集C.xQx2+x+2=0是空集D.2,1与 1,2是不同的集合二填空题:、以实数为元素构成的集合的元素最多有个;、以实数a, 2-a.,4 为元素组成一个集合A,A 中含有个元素,则的a 值为. 、集合 M= yZy=x38,x Z,用列举法表示是M 。、已知集合A 2a,a2-a ,则 a 的取值范围是。三、解答题:、设 Axx2+(b+2)x+b+1=0
13、,b R求 A 的所有元素之和。10.已知集合 A a,2b-1,a+2bB=xx3-11x2+30 x=0,若 A=B ,求 a,b 的值。集合间的基本关系比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系:(1)1,2,3A,1,2,3,4,5B;(2)C北京一中高一一班全体女生,D北京一中高一一班全体学生;(3)|Ex x是两条边相等的三角形,Fx x是等腰三角形观察可 得:13yxyx表示任意一个集合A 表示 3,9,27 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 23 页 - - -
14、- - - - - - - 精品文档精品文档子集: 对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合 B 的子集( subset ) 。记作 :()ABBA或读作 :A 包含于 B,或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合B 时,记作 A? B( 或 B? A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:集合相等 定义: 如果 A 是集合 B 的子集,且集合B 是集合 A 的子集,则集合A 与集合 B 中的元素是一样的,因此集合A 与集合 B 相等,即若ABBA且,则AB。如: A=x|x=2m+1 ,mZ ,B=x|x=2n-
15、1 ,nZ ,此时有A=B 。真子集定义 :若集合AB,但存在元素,xBxA且,则称集合A 是集合 B 的真子集。记作: A B(或 BA)读作: A 真包含于 B(或 B 真包含 A)4. 空集定义: 不含有任何元素的集合称为空集。记作:用适当的符号填空:0; 0 ;0 5. 几个重要的结论:空集是任何集合的子集;对于任意一个集合A 都有A。空集是任何非空集合的真子集;任何一个集合是它本身的子集;对于集合A,B,C,如果AB,且BC,那么AC。练习:填空:2 N;2N;A; 已知集合Ax|x23x20 ,B1,2 ,Cx|x3 ,Bx|x3 ,Bx|x6 ,则 AB。3. 一些特殊结论A B
16、 A(B) A B B A B A (阴影部分即为A 与 B 的交集)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 23 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档若 AB,则 AB=A ;若 BA,则 AB=A ;若 A,B 两集合中, B=,,则 A=, A=A 。【题型一】并集与交集的运算【例 1】设 A=x|-1x2,B=x|1x3,求 AB。解:AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x-2 ,B=x|x-2x|x3=x|-2x3。【例 3】已知集合A y|y=x2
17、-2x-3,x R,B=y|y=-x2+2x+13,x R求 AB、AB【题型二】并集、交集的应用例:设集合A a+1,3,5,B=2a+1,a2+2a,a2+2a-1 ,当 AB= , 时,求 A B 解: a+1 2 a1 或-3 当 a1 时,集合 B 的元素 a2+2a 3,2a+13,由集合的元素应具有互异性的要求可知a1. 当 a-3 时,集合 B=-5 , AB=-5 , 5练: .已知 3,4,m2-3m-1 m,-= -3,则 m。练习:.设 A=x|x是等腰三角形 ,B=x|x 是直角三角形 ,则 AB。x|x 是等腰直角三角形。设 A=4 ,5,6,8 ,B=3 ,5,7
18、,8,则 AB。设 A=x|x 是锐角三角形 ,B=x|x 是钝角三角形 ,则 AB。4.已知集合 Mx|x-20,则 MN 等于。设 A不大于20 的质数, Bx|x 2n+1,nN* ,用列举法写出集合AB。6.已知集合 Mx|y=x2-1,N=y|y=x2-1, 那么 MN 等于()A.B.NC.MD.R 7、若集合 A 1,3,x,B=1,x2,A B1,3,x,则满足条件的实数x 的个数有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个8.满足条件 M1 1,2,3的集合 M 的个数是。9.已知集合 A x|-1x2,B=x|2axa+3,且满足 A B,则实数 a的聚取值啊范围是。集合
19、的基本运算思考 1 U= 全班同学 、A= 全班参加足球队的同学、B= 全班没有参加足球队的同学,则 U、A、B 有何关系?集合 B 是集合 U 中除去集合A 之后余下来的集合。(一) . 全集、补集概念及性质:全集的定义 :一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作 U,是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义 :对于一个集合A,由全集 U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合,叫作集合 A 相对于全集U 的补集 , 记作:UC A, 读作: A 在 U 中的补集,即,UC Ax xUxA且Venn 图表示:(阴影部分即为A 在全集 U 中的
20、补集)-2 3 -1 1 2 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档AUCUA说明:补集的概念必须要有全集的限制讨论:集合A 与UC A之间有什么关系?借助Venn 图分析,()UUUUACAACAUCCAA,UUC UCU巩固练习(口答) : U=2,3,4 ,A=4,3 ,B=,则UC A= ,UC B= ;设 Ux|x8 ,且 xN ,Ax|(x-2)(x-4)(x-5) 0 ,则UC A;设 U三角形 ,A
21、锐角三角形 ,则UC A。【题型 1】求补集【例 1】 设全集,1 2 33 4 5 6UxABx是小于 9的正整数, , ,求UC A,UC B【例 2】设全集4 ,23 ,33Ux xAxxBxx集合,求UC A,AB,,(),()(),()(),()UUUUUUAB CABC AC BC AC BCAB。(结论:()()(),()()()UUUUUUCABC AC BCABC AC B)【例 3】设全集 U 为 R,22120 ,50Ax xpxBx xxq,若()2 ,()4UUC ABAC B,求AB。 (答案:2,3,4)【例 4】设全集 U x|-1x3,A= x|-1x3,B=
22、x|x2-2x-3=0 ,求UC A,并且判断UC A和集合B 的关系。【题型 1】集合的混合运算已知全 集为 R,集合 P=x|xa2+4a+1,aR,Q=y|y -b2+2b+3,bR求 PQ 和 PRQC。(III )课堂练习 :若 S=2 ,3,4 ,A=4 ,3 ,则 CSA=2 ;若 S= 三角形 ,B= 锐角三角形 ,则 CSB= 直角三角形或钝角三角形 ;若 S=1 ,2,4,8 ,A=? ,则 CSA= S ;若 U=1 ,3,a2+2a+1 ,A=1 ,3,CUA=5 ,则 a= ; -15已知 A=0 ,2,4,CUA=-1 ,1,CUB=-1 ,0,2 ,求 B=1 ,
23、4 ;设全集 U=2 ,3,m2+2m-3 ,A=|m+1| ,2,CUA=5 ,求 m 的值;(m= - 4 或 m=2)已知全集U=1 ,2, 3, 4 ,A=x|x2-5x+m=0 ,xU ,求 CUA、m; (答案: CUA=2 , 3 ,m=4;CUA=1 ,4 ,m=6)已知全集U=R,集合 A=x|00,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10,且,XAXBX,试求 p、q;集合 A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0, 若 AB=-2 ,0,1 ,求 p、q;A=2 ,3, a2+4a+2 ,B=0 ,7,a2+4a-2,2-a ,且 AB =3 ,7 ,求
24、B 22.某班举行数、理、化三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27 人,参加物理竞赛的有25 人,参加化学竞赛的有27 人,其中参加数学、物理两科的有10 人,参加物理、化学两科的有7 人,参加数学、化学两科的有11 人,而参加数、理、化三科的有4人,求全班人数。集合中元素的个数在研究集合时, 经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集,用 card(A) 表示集合 A 中元素的个数。例如:集合A=a,b,c 中有三个元素,我们记作card(A)=3. 结论 :已知两个有限集合A,B,有: card(AB)=card(A)+card(B)- car
25、d(A B). 例 1 学校先举办了一次田径运动会,某班有8 名同学参赛,又举办了一次球类运动会,这个班有12名同学参赛,两次运动会都参赛的有3 人,两次运动会中,这个班共有多少名同学参赛?解设 A= 田径运动会参赛的学生,B= 球类运动会参赛的学生,AB= 两次运动会都参赛的学生,A B= 所有参赛的学生 因此 card(AB)=card(A)+card(B)-card( AB)=8+12 -3=17. 答:两次运动会中,这个班共有17名同学参赛 . .在某校高一 (5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小组的有 25人,既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人,既未参加
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