千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第18炼-利用导数解函数的最值-Word版含解析(共9页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上第18炼 函数的最值一、基础知识:1、函数的最大值与最小值:(1)设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最大值点,称为函数的最大值(2)设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最小值点,称为函数的最小值(3)最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点(4)最值为函数值域的元素,即必须是某个自变量的函数值。例如:,由单调性可得有最小值,但由于取不到4,所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到。没有最大值。(5)一个函数其最大值(或最小值)至多有一个,而最大值点(或最小值点)的个数可以不唯一,例如,其最大值点为,有无穷多个。2“最值”
2、与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间上的函数的图象图中与是极小值,是极大值函数在上的最大值是,最小值是(1)“最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一;(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值3、结论:一般地,在闭区间上函数的图像是一条
3、连续不断的曲线,那么函数在上必有最大值与最小值4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生,其余的点位于单调区间中,意味着在这些点的周围既有比它大的,也有比它小的,故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地,求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求在内的极值;(2)将的各极值与端点处的函数值、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数在上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性,所以说,函数的单调区间是求最值与极值的基础 7、在比较的过程中也可简化步骤:(1)利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点(2)极小值点不会是最大值点,极大值点也不会
4、是最小值点8、最值点的作用(1)关系到函数的值域(2)由最值可构造恒成立的不等式:例如:,可通过导数求出,由此可得到对于任意的,均有,即不等式二、典型例题:例1:求函数的最值思路:首先判定定义域为,对函数进行求导,根据单调区间求出函数的最值解:,令,解得:的单调区间为:,无最小值小炼有话说:函数先增再减,其最大值即为它的极大值点,我们可以将这种先增再减,或者先减再增的函数成为“单峰函数”,在单峰函数中,极值点即为函数的某个最值点。例2:已知函数,是的一个极值点,求:(1)实数的值(2)判断在区间上是否存在最大值和最小值解:(1) 是的一个极值点(2)思路,由第(1)问可得,进而求出单调区间得到
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