创造教育:思考原始问题 - 中国·上杭-教师进修学校.ppt
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1、4,4,1,数学课堂教学中数学本质的揭示,华东师范大学数学系 张奠宙 2005. 7. 22 福州!,4,4,2,教育数学是数学的教育形态:,数学的原始形态: 繁复曲折的数学思考。 书面发表的数学是数学的学术形态: 简洁冰冷的形式化美丽。教师的责任:把数学的学术形态化为教育形态: 1 高效率地进行火热的思考, 2 揭示数学本质; 3 使学生容易接受。,4,4,3,数学教育中的“去数学化”倾向,香港科技大学教授项武义认为, 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。 “去数学化”, 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律, 忽视数学实质的揭示。,4,4,4,结实数学本质, 才能提高效率,教育不等于认
2、识论。 数学教学是要在很短的时间里, 让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质,精中求简,保持核心价值 一万年以后怎么办? 老是探究, 自己发现,还有效率可谈吗? 没有效率的教学理论是走不远的!,4,4,5,第一部分,关于数学本质的把握与呈现,4,4,6,数学教学成功的标志,主要看是否达到教学目标:学生是否理解和掌握了数学(数学的科学性), 包括: 数学本质的理解; 数学知识的掌握; 数学能力的形成。教育方式是手段(现在的标准: 学生活跃?合作?用计算机? 探究?游离于数学本身)奇谈怪论: 结果不是最重要的, 重要的在于参与; 知识不是最重要的, 重要的在于过程。,4,4,7,4,4
3、,8,数学知识的储备:一个比喻,一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 没有水可以打井取水 教师的作用:鱼, 渔 数学本质的把握需要数学修养,4,4,9,“数学本质”的内涵:,1。 数学知识的内在联系; 2。 数学规律的形成过程; 3。 数学思想方法的提炼; 4。 数学理性精神的体验。形成数学的教育形态: “返朴归真”, “平易近人”, “言之有理”,“感悟真情”,4,4,10,数学本质被两种活动所掩盖:,1。过度的形式化。 “淡化形式,注重实质”。 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。,4,4,11,例一。 乘法交换律: ab =ba,某杂志刊登的特优教案这样设计: 学生
4、交换位置 (没有说人数不变); 兔子和鸭子交换任务:兔子摸螺蛳,鸭子拔青草。 (没有谈不变性) 用柄很长的勺子喝水, 自己喝不到, 互相帮助, 交换勺子喝水。(只有交换, 没有不变的规律)。交换律的数学本质: 交换后乘积不变。,4,4,12,例二。三角形内角和问题,姜伯驹院士在政协的提案指出“三角形内角和等于180度这样的基本定理,让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然,如何培养思辨能力?” 不鼓励学生问为什么,数学课就失去了灵魂。 李大潜院士:“老是量, 就倒退到尼罗河时代去了”,4,4,13,三角形内角和定理的价值,没有实际价值, 超越日常经验。 当初古希腊学者不是“量”出
5、来的。价值在于理性思维, 从公理出发的演绎推理。 建议:要么作公理, 要么进行推理。 例如:所有矩形的四个角都是直角 直角三角形内角和为180度 任意三角形内角和为180度,4,4,14,例三。正弦定理的教学 (一个忽视数学实质的设计),请同桌同学任意画一个三角形,测量它的各角大小和各边的长,并用计算器分别计算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值,看看有什么结果?(学生一个人在画和测量,另一个人在记录和计算,进行合作学习),4,4,15,根据你们的计算结果和三个小组的交流情况,你们有什么看法?,4,4,16,正弦定理是量出来的吗?,分组测量, 汇报结果, 这是败笔。 数学不能靠大
6、家意见相同得到结论。必须证明。正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介, 比一下立刻推得。正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”, 平面几何“大边对大角”的数量化。三角是几何的定量化,沟通代数和几何的桥梁。,4,4,17,例四。 Freudenthal经典情景:巨人的手(通过“量”掌握数学本质),比例只是“照片放大”、“地图比例尺”?黑板上留下巨人的手印, 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。 活动设计: 1。 用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下“比值” 3。 量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大 (量得有价值, 有意义),4,4,18,例五。坐标活动(长宁),将教
7、室的课桌并拢,用两根有箭头的绳子做成坐标轴; 坐标对应学生, 请学生自己看坐标; 两坐标都是非负的站起来; 两坐标相等的站起来; 换一个同学做坐标原点。 这样活动, 抓住了“坐标”的数学实质。,4,4,19,例六:美国德州(Austin)的一个 斜率概念教学设计,为了联系学生生活实际, 提出情景: “早上起床时, 你先要从床上起来(rise), 然后走到厨房去做早餐(run)” 由此联系到斜率的概念: 纵距离与横距离之比 rise over run.评论:教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思, 并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例. 难道每个rise和run 都有斜率
8、的问题 (起床和去厨房这个过程的斜率是什么?),4,4,20,另一个美国数学教育故事,一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”毕达哥拉斯定理”. Cindy请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是: “因为那里有平方”.?! 数学的本质完全被曲解了。Cindy继续提问, 希望他们能意识到问题所在, 结果惹得众人很不愉快. 事后, 那个学区的教师间接告诉Cindy: “请她以后不要再到我们学区来了. 我们不欢迎她!”,4,4,21,例7 方程概念,外在的逻辑形式: 含有未知数的等式叫方程。 内在的数学本质: 方程是为了寻求未知数, 在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。“方程”思想
9、的本质在于建立关系 为了认识“未知数”先生, 必须请已知数“先生为媒介, 找到一种关系, 根据关系就能认识“未知数”先生了。,4,4,22,方程思想(三根电线的长度),上海51中学陈振宣提供: 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到10楼的三根电线不一样长。 如何测知他们的电阻?袁枚(清):“学如箭镞, 才如弓弩; 识以领之, 方能中鹄”。,4,4,23,例8 复数的定义,一对有序的实数(x,y), 称做复数。前者成为实部, 后者成为虚部。(错)但是,向量也是一对实数! 复数的本质在于它的乘法: (a,b) (c,d) = (ac bd, ad+bc),4,4,24,例9 “圆的认识”这样
10、说, 对吗?,1用甩动系在细绳上的小球形成圆, 是传统的灌输方法。 让小朋友排成圆形公平玩套花游戏, 是好的结合学生实践的方法。2用圆形纸片折纸找圆心的活动,是传统的。 甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心, 则是探究的好方法。3用圆规划圆在认识圆之后, 是传统的灌输的。 在认识圆之前使用圆规划圆, 是“过程性“的好方法。 我的看法是, 凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的, 有的是静态的。有的适合找圆心,有的适合找半径, 有的便于表达,有的着重理解。它们没有好坏之分。,4,4,25,例10。 勾股定理(毕达哥拉斯定理)的教学设计,用各种方法发现:方格纸上3,4,5 的
11、计算等。 6张工作单:发现猜想 a2 + b2 = c2换一种思维:将勾股定理直接告诉学生, 用各种美丽的画面, 讲述中外有关历史,包括和外星人联系使用的信息。 把重点放在如何证明上。 多种证明。 最后联系到费马大定理 an + bn = cn (n3)。 哪一种更能体现数学本质?,4,4,26,例11。文字代表数的本质: 符号运算 (只代表, 不运算, 没有价值),项武义教授: “ 文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算。 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) (教材上没有讲为什么可以这样做)。 解二次方程: 因子分解、配方、同解变换 根 数学家之所以有饭吃, 在于能够运用
12、符号获得结果 (复旦 张荫南),4,4,27,数学符号是一种语言,语文靠想象, 将符号(方块字)用语法表示出来。 说话写下来就是文章。 数学靠理性, 将数学符号通过运算、演绎得到结论。 这是人为构造的语言。 语文、数学、诗词、定理, 都是符号运作 语文是“饭”, 不吃要死,容易煮熟。便宜 数学是“菜”,不吃菜也可以活,但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。 诗词是“酒”, 酒可以不喝,酿酒更难。有人喜欢,闲时享受才喝。定理也是酒。,4,4,28,例12一个例子怎能概括出负负得正?,探究式教学。例:一列每小时80公里的火车向西开, 12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负, 12点之
13、后之前为时间的正负。 问10点时火车在什么位置? 答案:(-2) x (-80)= 160于是概括得出数的运算的规律负负得正。 (先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律 )数学不允许这样的概括。 有意义的接受(先做后说)。先有规则, 后有解释。先执行, 然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。 先举例是探究, 后举例说明是有意义接受。,4,4,29,例13。函数的两个定义: 宏观与微观,人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部;物理学上的宇宙与原子; 艺术上的写意与工笔 初中的函数从大局发展着眼, 宏观地观察数量之间彼此依存的关系, 看总体发展趋势。 宏观函数概念的本质是变量之间的依
14、赖性。 高中函数定义讲究微观地、静态地观察, 用两个数集之间的对应来描述。 微观函数概念的本质在于精确化的对应。 两种定义互有短长,并非高级与低级之分 。,4,4,30,函数定义中 “唯一”重要吗?,唯一不是本质。 不唯一成多值函数而已。 多值函数单值化即可。 描写圆的函数, 上半圆和下半圆。 反三角函数,4,4,31,例14。 函数的单调性,单调性的本质是描述函数的变化趋势。这可以直观地观察, 画图,数列等 但是,单调性概念的数学本质在于处理无限变化的趋势;呈现的方式对“任意”两个自变量 x1 x2 ,都有 f(x1)0, 糖水变甜; b/a (b+m) / (a+m)如果 b/a d/c
15、是两杯不一样甜的糖水倒再一起, 甜度会怎样? b/a (b+d)/(a+c) d/c这不是证明, 却把握了数学过程的本质,4,4,37,20。 放烟火 (Interactive Mathematics Project) 主题教学,一元二次函数的单元模型。 高楼上放烟火, 形成的曲线。 顶点 落地点 与物理的关系: 抛物线。 大模型, 不是一节课的引入问题,4,4,38,例21。三角函数。 单摆,电磁波,y = ASin(t +) 周期性。这是基本概念。 举例(波动, 简谐运动, 课程表, 潮汐 和谐性。 这是三角函数的特征。 音乐, 单摆,电磁波。 相位性。理解三角函数变换的难点。 原始性。
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