33 n元向量的线性关系.pps
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1、3.3 n元向量的线性关系,一.线性组合和等价向量组,定义3.1 n 个数组成的有序数 称为n 元向量,其中 称为这n 元向量的第i个分量,常用 或 表示n 元向量。,n 元列向量(常用):,n 元行向量:,定义3.2 两个n 元向量:,当他们各个分量对应相等时,即 则称 与 相等,记做,定义3.2 设n 元向量 与 ,k为数,则n 元向量,称为 与 的和, k与 的数量乘积。,通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。,定义3.3 设一组向量 ,若存在一组数 ,使,则称 是向量组 的线性组合,或称 可以由向量组 线性表示。,(1).零向量 可以经任意向量组线性表示。(2).任一n 元向量
2、 可以经由n 元向量组 线性表示式:,向量 是矩阵A各列向量 的线性组合的两个充要条件:线性方程组 相容。矩阵 的秩与矩阵 相同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。,例1 已知向量 试问 可否经向量组 线性表示。,解 记,记,可以看出, 根据充要条件(2) ,可以得出 可以经由 线性表示。,的解:,进一步求解线性表示式:,定义3.4 若向量组 中每一个向量 都可以经由向量组 线性表示,则称向量组 可以经 线性表示。两个可以互相线性表示的向量组等价。,等价的向量组有以下性质:,(1). 自反性:每个向量组都与它自身等价;,(2). 对称性:若向量组与向量组 等价,则 向量组也与向量组等
3、价;,(3). 传递性:若向量组与向量组 等价,且向 量组与向量组等价,则向量组与向量组 等价。,二.线性相关与线性无关,定义3.5 对于向量组 ,若存在全不为零的数 ,使成立,称向量组 线性相关;当且仅当 时,上面等式才成立,则称向量组线性无关或者线性独立。,由于当 时,等式必成立,因此,只要当 ,必有 ,就可以得向量组线性无关。,例2 设分别讨论向量组 及向量组 是线性相关还是线性无关。,解 设 即,解得 故 线性无关。,设 即,解得 令 得 有所以, 线性相关。,几个重要结论:,(1). 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。,(2). 如果一个向量组中有一部分向量线性相关,则 整个向量
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