轨迹方程交轨法(共4页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上 第六讲:轨迹方程.交轨法 21 第六讲:轨迹方程.交轨法 若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变量?设出这个变量为t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数t,化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法. 一.解析形式例1:(2003年新课程高考试题)己知常数a0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O,以c+i为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2c为方向向量的直线相交于点P,其中R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若
2、存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.解析:()由c=(0,a),i=(1,0)c+i=(,a),i-2c=(1,-2a)直线OP、AP的方程分别为y=ax、y-a=-2ax,消去参数,得点P(x,y)的坐标满足y(y-a)=-2a2x2,即=1.当a=时,点P的轨迹为圆,故不存在满足题意的定点;当a时,点P的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意.类题:1.(2011年安徽高考试题)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.()证明l1与l2相交;()证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试
3、题)己知常数a0,向量p=(1,0),q=(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为p+q的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p+2q的直线相交于点R,其中R.()求点R的轨迹方程;()设a=,过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A、B两点,求的取值范围. 二.平几形式例2:(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC中, yO为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0, C B10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2, Bi,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi B1交于点Pi(iN+,1i9). O A1 Ai A x()
4、求证:点Pi(iN+,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;()过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若OCM与OCN的面积比为4:1,求直线l的方程.解析:()因Bi(10,i)直线OBi:y=x;直线AiPi:x=iPi(i,)点Pi(iN+,1i9)在抛物线E:x2=10y上;()设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:y=kx+10;由x2-10kx-100=0x1+x2=10k,x1x2=-100;因OCM与OCN的面积比为4:1|x1|=4|x2|(x1x20,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a, yO为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上
5、移动,且, D F CP为CE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的 G P E和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. A O B x 三.解析条件例3:(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A1、A2是椭圆+=1(ab0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是 .解析:设点P1的坐标为(m,n),则有P2(m,-n),A1P1所在直线的方程为y=(x+a),A2P2所在直线的方程为y=(x-a),两式相乘,并利用+=1消去m、n有-=1.类题:1.(1990年上海高考试题)己知
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